Suma de cuña

Una suma en cuña de dos círculos

En topología , la suma de cuña es una "unión de un punto" de una familia de espacios topológicos . Específicamente, si X e Y son espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos y ), la suma de cuña de X e Y es el espacio cociente de la unión disjunta de X e Y por la identificación ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$ $${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

donde es el cierre de equivalencia de la relación De manera más general, supongamos que es una familia indexada de espacios apuntados con puntos base La suma de cuña de la familia está dada por: donde es el cierre de equivalencia de la relación En otras palabras, la suma de cuña es la unión de varios espacios en un solo punto. Esta definición es sensible a la elección de los puntos base a menos que los espacios sean homogéneos . ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$ $${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

La suma de cuña es nuevamente un espacio puntiagudo, y la operación binaria es asociativa y conmutativa (hasta el homeomorfismo).

A veces, la suma de cuñas se denomina producto de cuña , pero este no es el mismo concepto que el producto exterior , que a menudo también se denomina producto de cuña.

Ejemplos

La suma en cuña de dos círculos es homeomorfa de un espacio en forma de ocho . La suma en cuña de círculos se suele llamar ramo de círculos , mientras que un producto en cuña de esferas arbitrarias se suele llamar ramo de esferas . ${\displaystyle n}$

Una construcción común en homotopía es identificar todos los puntos a lo largo del ecuador de una -esfera . Al hacerlo, se obtienen dos copias de la esfera, unidas en el punto que era el ecuador: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ $${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

Sea el mapa , es decir, la identificación del ecuador hasta un único punto. Entonces la adición de dos elementos del grupo de homotopía de dimensión - de un espacio en el punto distinguido puede entenderse como la composición de y con : ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$ ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

Aquí hay mapas que llevan un punto distinguido al punto Nótese que lo anterior utiliza la suma de cuña de dos funciones, lo cual es posible precisamente porque coinciden en el punto común a la suma de cuña de los espacios subyacentes. ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ ${\displaystyle s_{0},}$

Descripción categórica

La suma de cuña puede entenderse como el coproducto en la categoría de espacios puntuales . Alternativamente, la suma de cuña puede verse como la salida del diagrama en la categoría de espacios topológicos (donde es cualquier espacio de un punto). ${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Propiedades

El teorema de van Kampen da ciertas condiciones (que usualmente se cumplen para espacios con buen comportamiento , como los complejos CW ) bajo las cuales el grupo fundamental de la cuña suma de dos espacios y es el producto libre de los grupos fundamentales de y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Véase también

• Producto destrozado
• Pendiente hawaiano , un espacio topológico parecido, pero no igual, a una suma en cuña de un número contable de círculos

Referencias

• Rotman, Joseph. Introducción a la topología algebraica , Springer, 2004, pág. 153. ISBN  0-387-96678-1