Espacio topológico obtenido al unir una colección de círculos a lo largo de un único punto
Una rosa con cuatro pétalos.
En matemáticas , una rosa (también conocida como ramo de n círculos ) es un espacio topológico que se obtiene al unir una colección de círculos a lo largo de un único punto. Los círculos de la rosa se denominan pétalos . Las rosas son importantes en la topología algebraica , donde están estrechamente relacionadas con los grupos libres .
Una rosa es una suma en cuña de círculos . Es decir, la rosa es el espacio cociente C / S , donde C es una unión disjunta de círculos y S un conjunto formado por un punto de cada círculo. Como complejo de celdas , una rosa tiene un único vértice y una arista para cada círculo. Esto la convierte en un ejemplo simple de grafo topológico .
También se puede obtener una rosa con n pétalos identificando n puntos en un solo círculo. La rosa con dos pétalos se conoce como la rosa en forma de ocho .
Relación con grupos libres
La cobertura universal de la figura ocho se puede visualizar mediante el gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores a y b
Las cubiertas intermedias de la rosa corresponden a subgrupos del grupo libre. La observación de que cualquier cubierta de una rosa es un grafo proporciona una prueba sencilla de que todo subgrupo de un grupo libre es libre ( teorema de Nielsen-Schreier ).
Como la cubierta universal de una rosa es contráctil , la rosa es en realidad un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo libre asociado F. Esto implica que los grupos de cohomología H n ( F ) son triviales para n ≥ 2.
Un disco al que se le han quitado n puntos (o una esfera a la que se le han quitado n + 1 puntos) se retrae sobre una rosa con n pétalos. Un pétalo de la rosa rodea cada uno de los puntos quitados.
Un toro al que se le ha quitado un punto de deformación se retrae sobre una figura de ocho, es decir, la unión de dos círculos generatrices. De manera más general, una superficie de género g al que se le ha quitado un punto de deformación se retrae sobre una rosa de 2 g pétalos, es decir, el límite de un polígono fundamental .
Una rosa puede tener infinitos pétalos, lo que da lugar a un grupo fundamental que está libre en infinitos generadores. La rosa con infinitos pétalos numerables es similar al pendiente hawaiano : hay una biyección continua de esta rosa sobre el pendiente hawaiano, pero los dos no son homeomorfos . Una rosa con infinitos pétalos no es compacta, mientras que el pendiente hawaiano sí lo es.
