En geometría algebraica , el anillo de coordenadas homogéneo R de una variedad algebraica V dada como una subvariedad de espacio proyectivo de una dimensión dada N es por definición el anillo cociente
donde I es el ideal homogéneo que define V , K es el campo algebraicamente cerrado sobre el cual se define V , y
es el anillo polinómico en N + 1 variables X i . El anillo polinómico es, por tanto, el anillo de coordenadas homogéneo del propio espacio proyectivo, y las variables son las coordenadas homogéneas , para una determinada elección de base (en el espacio vectorial subyacente al espacio proyectivo). La elección de la base significa que esta definición no es intrínseca, pero se puede lograr usando el álgebra simétrica .
Dado que se supone que V es una variedad y, por tanto, un conjunto algebraico irreducible , se puede elegir que el ideal I sea un ideal primo , por lo que R es un dominio integral . Se puede utilizar la misma definición para ideales homogéneos generales, pero los anillos de coordenadas resultantes pueden contener elementos nilpotentes distintos de cero y otros divisores de cero . Desde el punto de vista de la teoría de esquemas, estos casos pueden tratarse en pie de igualdad mediante la construcción Proj .
El ideal irrelevante J generado por todos los X i corresponde al conjunto vacío, ya que no todas las coordenadas homogéneas pueden desaparecer en un punto del espacio proyectivo.
El proyectivo Nullstellensatz da una correspondencia biyectiva entre variedades proyectivas e ideales homogéneos I que no contienen J .
En la aplicación de técnicas de álgebra homológica a la geometría algebraica, ha sido tradicional desde David Hilbert (aunque la terminología moderna es diferente) aplicar resoluciones libres de R , consideradas como un módulo graduado sobre el anillo polinomial. Esto produce información sobre las sicigias , es decir, las relaciones entre generadores del yo ideal . En una perspectiva clásica, tales generadores son simplemente las ecuaciones que uno escribe para definir V. Si V es una hipersuperficie , sólo es necesario que haya una ecuación, y para intersecciones completas, el número de ecuaciones puede tomarse como codimensión; pero la variedad proyectiva general no tiene un conjunto definitorio de ecuaciones que sea tan transparente. Los estudios detallados, por ejemplo de las curvas canónicas y las ecuaciones que definen las variedades abelianas , muestran el interés geométrico de las técnicas sistemáticas para manejar estos casos. El tema también surgió de la teoría de la eliminación en su forma clásica, en la que se supone que la reducción del módulo I se convierte en un proceso algorítmico (ahora manejado por las bases de Gröbner en la práctica).
Por razones generales, existen resoluciones libres de R como módulo graduado sobre K [ X 0 , X 1 , X 2 , ..., X N ]. Una resolución se define como mínima si la imagen en cada módulo tiene morfismo de módulos libres
en la resolución se encuentra en JF i − 1, donde J es el ideal irrelevante. Como consecuencia del lema de Nakayama , φ toma una base dada en Fi a un conjunto mínimo de generadores en Fi − 1 . El concepto de resolución libre mínima está bien definido en un sentido fuerte: único hasta el isomorfismo de complejos de cadenas y que ocurre como una suma directa en cualquier resolución libre. Dado que este complejo es intrínseco a R , se pueden definir los números de Betti graduados β i, j como el número de imágenes de grado j provenientes de F i (más precisamente, al pensar en φ como una matriz de polinomios homogéneos, el recuento de entradas de ese grado homogéneo incrementado por las calificaciones adquiridas inductivamente desde la derecha). En otras palabras, los pesos en todos los módulos libres se pueden inferir a partir de la resolución, y los números Betti graduados cuentan el número de generadores de un peso determinado en un módulo determinado de la resolución. Las propiedades de estas invariantes de V en una incrustación proyectiva dada plantean preguntas de investigación activas, incluso en el caso de curvas. [1]
Hay ejemplos en los que la resolución libre mínima se conoce explícitamente. Para una curva normal racional, es un complejo de Eagon-Northcott. Para curvas elípticas en el espacio proyectivo, la resolución puede construirse como un cono de mapeo de complejos de Eagon-Northcott. [2]
La regularidad de Castelnuovo-Mumford puede leerse como la resolución mínima del ideal I que define la variedad proyectiva. En términos de los "desplazamientos" imputados a i , j en el i -ésimo módulo Fi , es el máximo sobre i de a i , j − i ; por lo tanto, es pequeño cuando los cambios aumentan solo en incrementos de 1 a medida que nos movemos hacia la izquierda en la resolución (sólo sizigias lineales). [3]
La variedad V en su incrustación proyectiva es proyectivamente normal si R está integralmente cerrado . Esta condición implica que V es una variedad normal , pero no a la inversa: la propiedad de normalidad proyectiva no es independiente de la incrustación proyectiva, como lo muestra el ejemplo de una curva cuártica racional en tres dimensiones. [4] Otra condición equivalente es en términos del sistema lineal de divisores en V cortado por el dual del haz de líneas tautológicas en el espacio proyectivo, y sus d -ésimas potencias para d = 1, 2, 3, ...; cuando V es no singular , es proyectivamente normal si y sólo si cada uno de esos sistemas lineales es un sistema lineal completo . [5] Alternativamente, se puede pensar en el dual del haz de líneas tautológicas como el haz de torsión de Serre O (1) en el espacio proyectivo, y usarlo para torcer el haz de estructura O V cualquier número de veces, digamos k veces, obteniendo un haz O V ( k ). Entonces V se llama k -normal si las secciones globales de O ( k ) se asignan sobreyectivamente a las de O V ( k ), para una k dada , y si V es 1-normal se llama linealmente normal . Una variedad no singular es proyectivamente normal si y sólo si es k -normal para todo k ≥ 1. La normalidad lineal también se puede expresar geométricamente: V como variedad proyectiva no puede obtenerse mediante una proyección lineal isomórfica desde un espacio proyectivo de dimensión superior. , excepto en la forma trivial de estar en un subespacio lineal adecuado. La normalidad proyectiva puede traducirse de manera similar, utilizando suficientes asignaciones veronesas para reducirla a condiciones de normalidad lineal.
Si analizamos la cuestión desde el punto de vista de un conjunto de líneas muy amplio dado que da lugar a la incrustación proyectiva de V , se dice que dicho conjunto de líneas ( haz invertible ) se genera normalmente si V incrustado es proyectivamente normal. La normalidad proyectiva es la primera condición N 0 de una secuencia de condiciones definidas por Green y Lazarsfeld. Para esto
se considera como un módulo graduado sobre el anillo de coordenadas homogéneo del espacio proyectivo, y se toma una resolución libre mínima. La condición N p se aplicó a los primeros p números de Betti graduados, lo que requiere que desaparezcan cuando j > i + 1. [6] Para las curvas, Green demostró que la condición N p se cumple cuando deg( L ) ≥ 2 g + 1 + p , que para p = 0 fue un resultado clásico de Guido Castelnuovo . [7]
