Curva normal racional

En matemáticas , la curva normal racional es una curva suave y racional C de grado n en el espacio n proyectivo P ⁿ . Es un ejemplo simple de variedad proyectiva ; formalmente, es la variedad veronesa cuando el dominio es la línea proyectiva. Para n = 2 es el plano cónico Z ₀ Z ₂ = Z²
₁, y para n = 3 es la cúbica torcida . El término "normal" se refiere a normalidad proyectiva , no a esquemas normales . La intersección de la curva normal racional con un espacio afín se llama curva de momento .

Definición

La curva normal racional se puede dar paramétricamente como la imagen del mapa.

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{n}}$

que asigna a las coordenadas homogéneas [ S  : T ] el valor

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto \left[S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\cdots :T^{n}\right].}$

En las coordenadas afines de la carta x ₀ ≠ 0 el mapa es simplemente

${\displaystyle \nu :x\mapsto \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).}$

Es decir, la curva normal racional es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín.

${\displaystyle \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).}$

De manera equivalente, la curva normal racional puede entenderse como una variedad proyectiva , definida como el lugar cero común de los polinomios homogéneos.

${\displaystyle F_{i,j}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)=X_{i}X_{j}-X_{i+1}X_{j-1}}$

¿Dónde están las coordenadas homogéneas en P ⁿ ? No es necesario el conjunto completo de estos polinomios; es suficiente elegir n de estos para especificar la curva. ${\displaystyle [X_{0}:\cdots :X_{n}]}$

Parametrización alternativa

Sean n + 1 puntos distintos en P ¹ . Entonces el polinomio ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}]}$

${\displaystyle G(S,T)=\prod _{i=0}^{n}\left(a_{i}S-b_{i}T\right)}$

es un polinomio homogéneo de grado n + 1 con raíces distintas. los polinomios

${\displaystyle H_{i}(S,T)={\frac {G(S,T)}{(a_{i}S-b_{i}T)}}}$

son entonces una base para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . El mapa

${\displaystyle [S:T]\mapsto \left[H_{0}(S,T):H_{1}(S,T):\cdots :H_{n}(S,T)\right]}$

o, equivalentemente, dividiendo por G ( S , T )

${\displaystyle [S:T]\mapsto \left[{\frac {1}{(a_{0}S-b_{0}T)}}:\cdots :{\frac {1}{(a_{n}S-b_{n}T)}}\right]}$

es una curva normal racional. Se puede entender que se trata de una curva normal racional observando que los monomios

${\displaystyle S^{n},S^{n-1}T,S^{n-2}T^{2},\cdots ,T^{n},}$

son solo una base posible para el espacio de grado n polinomios homogéneos. De hecho, cualquier base servirá. Esta es solo una aplicación de la afirmación de que dos variedades proyectivas cualesquiera son proyectivamente equivalentes si son congruentes módulo del grupo lineal proyectivo PGL _{n + 1} ( K ) (siendo K el campo sobre el cual se define el espacio proyectivo).

Esta curva racional envía los ceros de G a cada uno de los puntos coordenados de P ⁿ ; es decir, todos menos uno de los H _i desaparecen para un cero de G . Por el contrario, cualquier curva normal racional que pase por los puntos de coordenadas n + 1 se puede escribir paramétricamente de esta manera.

Propiedades

La curva normal racional tiene una variedad de propiedades interesantes:

• Cualquier n + 1 puntos en C son linealmente independientes y abarcan P ⁿ . Esta propiedad distingue la curva normal racional de todas las demás curvas.
• Dados n + 3 puntos en P ⁿ en posición general lineal (es decir, sin n + 1 en un hiperplano ), hay una curva normal racional única que los atraviesa. La curva se puede especificar explícitamente usando la representación paramétrica, organizando n + 1 de los puntos para que se encuentren en los ejes de coordenadas y luego asignando los otros dos puntos a [ S  : T ] = [0 : 1] y [ S  : T ] = [1: 0] .
• Las rectas tangente y secante de una curva normal racional son disjuntas por pares, excepto en los puntos de la curva misma. Esta es una propiedad compartida por incorporaciones suficientemente positivas de cualquier variedad proyectiva.
• Hay

${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}-2n-1}$

cuádricas independientes que generan el ideal de la curva.

• La curva no es una intersección completa , para n > 2 . Es decir, no puede definirse (como un subesquema del espacio proyectivo) mediante únicamente n − 1 ecuaciones, siendo esa la codimensión de la curva en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$
• El mapeo canónico para una curva hiperelíptica tiene una imagen de una curva normal racional y es 2 a 1.
• Toda curva irreducible no degenerada C ⊂ P ⁿ de grado n es una curva normal racional.

Ver también

• Desplazamiento normal racional

Referencias

• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97716-3