Cono de mapeo (álgebra homológica)

Herramienta en álgebra homológica

En álgebra homológica , el cono de mapeo es una construcción sobre un mapa de complejos de cadenas inspirada en la construcción análoga en topología . En la teoría de categorías trianguladas es una especie de núcleo y conúcleo combinados : si los complejos de cadenas toman sus términos en una categoría abeliana , de modo que podamos hablar de cohomología , entonces el cono de un mapa f es acíclico significa que el mapa es un cuasiisomorfismo ; si pasamos a la categoría derivada de complejos, esto significa que f es un isomorfismo allí, lo que recuerda la propiedad familiar de mapas de grupos , módulos sobre un anillo o elementos de una categoría abeliana arbitraria de que si el núcleo y el cokernel desaparecen, entonces el mapa es un isomorfismo. Si trabajamos en una categoría t , entonces, de hecho, el cono proporciona tanto el núcleo como el conúcleo de las aplicaciones entre los objetos de su núcleo.

Definición

El cono puede definirse en la categoría de complejos de cocadenas sobre cualquier categoría aditiva (es decir, una categoría cuyos morfismos forman grupos abelianos y en la que podemos construir una suma directa de dos objetos cualesquiera). Sean dos complejos, con diferenciales , es decir, ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle d_{A},d_{B};}$

${\displaystyle A=\dots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d_{A}^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\to \cdots }$

y de la misma manera para ${\displaystyle B.}$

Para un mapa de complejos definimos el cono, a menudo denotado por o como el siguiente complejo: ${\displaystyle f:A\to B,}$ ${\displaystyle \operatorname {Cone} (f)}$ ${\displaystyle C(f),}$

${\displaystyle C(f)=A[1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots }$en terminos,

con diferencial

${\displaystyle d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}}$(actuando como si estuviera en vectores de columna ).

Aquí está el complejo con y . Tenga en cuenta que el diferencial on es diferente del diferencial natural on y que algunos autores utilizan una convención de signos diferente. ${\displaystyle A[1]}$ ${\displaystyle A[1]^{n}=A^{n+1}}$ ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}}$ ${\displaystyle C(f)}$ ${\displaystyle A[1]\oplus B}$

Así, si por ejemplo nuestros complejos son de grupos abelianos, el diferencial actuaría como

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}}$

Propiedades

Supongamos ahora que estamos trabajando sobre una categoría abeliana , de modo que se define la homología de un complejo. El uso principal del cono es identificar cuasiisomorfismos : si el cono es acíclico , entonces el mapa es un cuasiisomorfismo. Para ver esto, usamos la existencia de un triángulo.

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

donde los mapas están dados por los sumandos directos (ver categoría de homotopía de complejos de cadenas ). Como se trata de un triángulo, da lugar a una secuencia larga y exacta de grupos de homología : ${\displaystyle B\to C(f),C(f)\to A[1]}$

${\displaystyle \dots \to H_{i-1}(C(f))\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f))\to \cdots }$

y si es acíclico entonces, por definición, los términos externos anteriores son cero. Dado que la secuencia es exacta, esto significa que induce un isomorfismo en todos los grupos de homología y, por lo tanto (nuevamente por definición) es un cuasi-isomorfismo. ${\displaystyle C(f)}$ ${\displaystyle f^{*}}$

Este hecho recuerda la caracterización alternativa habitual de los isomorfismos en una categoría abeliana como aquellos mapas cuyo núcleo y cokernel desaparecen. Esta apariencia de un cono como una combinación de semilla y cocanilla no es accidental; de hecho, bajo ciertas circunstancias el cono encarna literalmente ambos. Digamos, por ejemplo, que estamos trabajando sobre una categoría abeliana y tenemos solo un término distinto de cero en grado 0: ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A=\dots \to 0\to A_{0}\to 0\to \cdots ,}$

${\displaystyle B=\dots \to 0\to B_{0}\to 0\to \cdots ,}$

y por tanto es justo (como un mapa de objetos de la categoría abeliana subyacente). Entonces el cono es solo ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle f_{0}\colon A_{0}\to B_{0}}$

${\displaystyle C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}}{\xrightarrow {f_{0}}}{\underset {[0]}{B_{0}}}\to 0\to \cdots .}$

(El texto debajo indica el grado de cada término). La homología de este complejo es entonces

${\displaystyle H_{-1}(C(f))=\operatorname {ker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{0}(C(f))=\operatorname {coker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{i}(C(f))=0{\text{ for }}i\neq -1,0.\ }$

Esto no es un accidente y de hecho ocurre en todas las categorías t .

Cilindro de mapeo

Una noción relacionada es la de cilindro cartográfico : sea un morfismo de complejos de cadenas y, además, el mapa natural. El cilindro cartográfico de f es, por definición, el cono cartográfico de g . ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle g\colon \operatorname {Cone} (f)[-1]\to A}$

Inspiración topológica

Este complejo se llama cono en analogía con el cono de mapeo (topología) de un mapa continuo de espacios topológicos : el complejo de cadenas singulares del cono topológico es equivalente en homotopía al cono (en el sentido del complejo de cadenas) del cono inducido. mapa de cadenas singulares de X a Y. El cilindro cartográfico de un mapa de complejos está relacionado de manera similar con el cilindro cartográfico de mapas continuos. ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle cone(\phi )}$

Referencias

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.
• Joeseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 ( Ver capítulo 9 )