En matemáticas , el concepto de variedad abeliana es la generalización de dimensiones superiores de la curva elíptica . Las ecuaciones que definen las variedades abelianas son un tema de estudio porque toda variedad abeliana es una variedad proyectiva . Sin embargo, en la dimensión d ≥ 2, ya no es tan sencillo discutir tales ecuaciones.
Existe una gran literatura clásica sobre esta cuestión, que en una reformulación es, para la geometría algebraica compleja , una cuestión de describir relaciones entre funciones theta . El tratamiento geométrico moderno ahora se refiere a algunos artículos básicos de David Mumford , de 1966 a 1967, que reformularon esa teoría en términos de geometría algebraica abstracta válida en campos generales .
Los únicos casos "fáciles" son aquellos para d = 1, para una curva elíptica con un tramo lineal en el plano proyectivo o espacio tridimensional proyectivo. En el plano, toda curva elíptica viene dada por una curva cúbica. En P 3 , se puede obtener una curva elíptica como la intersección de dos cuádricas .
En general, las variedades abelianas no son intersecciones completas . Las técnicas de álgebra informática ahora pueden tener cierto impacto en el manejo directo de ecuaciones para valores pequeños de d > 1.
El interés en la geometría del siglo XIX por la superficie de Kummer se debió en parte a la forma en que una superficie cuártica representaba un cociente de una variedad abeliana con d = 2, por el grupo de orden 2 de automorfismos generados por x → − x en la variedad abeliana.
Mumford definió un grupo theta asociado a una gavilla invertible L en una variedad abeliana A. Este es un grupo de automorfismos de L , y es un análogo finito del grupo de Heisenberg . Los principales resultados se centran en la acción del grupo theta sobre las secciones globales de L. Cuando L es muy amplio , se puede describir la representación lineal , mediante la estructura del grupo theta. De hecho, el grupo theta es de manera abstracta un tipo simple de grupo nilpotente , una extensión central de un grupo de puntos de torsión en A , y la extensión es conocida (en efecto, está dada por el emparejamiento de Weil ). Existe un resultado de unicidad para las representaciones lineales irreducibles del grupo theta con un carácter central dado , o en otras palabras, un análogo del teorema de Stone-von Neumann . (Para ello se supone que la característica del campo de coeficientes no divide el orden del grupo theta).
Mumford mostró cómo esta formulación algebraica abstracta podría explicar la teoría clásica de las funciones theta con características theta , como el caso en el que el grupo theta era una extensión de la torsión doble de A.
Una innovación en esta área es utilizar la transformada de Mukai-Fourier .
El objetivo de la teoría es probar resultados en el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad abeliana incrustada A , es decir, situada en un espacio proyectivo según una L muy amplia y sus secciones globales. El anillo conmutativo graduado que se forma por la suma directa de las secciones globales de la
es decir , el producto tensorial n veces de sí mismo, se representa como el anillo cociente de un álgebra polinomial por un ideal homogéneo I. Las partes calificadas de I han sido objeto de intenso estudio.
Bernhard Riemann proporcionó las relaciones cuadráticas . El teorema de Koizumi establece que normalmente se genera la tercera potencia de un haz de líneas amplio . El teorema de Mumford-Kempf establece que la cuarta potencia de un conjunto de líneas amplias se presenta cuadráticamente. Para un campo base de característica cero , Giuseppe Pareschi demostró un resultado que incluye estos (como los casos p = 0, 1) que habían sido conjeturados por Lazarsfeld: sea L un conjunto de líneas amplias en una variedad abeliana A. Si n ≥ p + 3, entonces la n -ésima potencia tensorial de L satisface la condición N p . [1] Pareschi y Popa han demostrado otros resultados, incluido el trabajo previo en el campo. [2]
