Modelo de tasa corta

Árbol que devuelve el OAS (negro vs rojo): la tasa a corto plazo es el valor máximo; el desarrollo del valor del bono muestra claramente el pull-to-par

Un modelo de tasa a corto plazo , en el contexto de los derivados de tasas de interés , es un modelo matemático que describe la evolución futura de las tasas de interés mediante la descripción de la evolución futura de la tasa a corto plazo , generalmente escrita como . ${\displaystyle r_{t}\,}$

La tasa corta

En un modelo de tasa a corto plazo, la variable de estado estocástica se toma como la tasa spot instantánea . ^[1] La tasa a corto plazo, , entonces, es la tasa de interés ( compuesta continuamente , anualizada) a la que una entidad puede pedir dinero prestado por un período infinitesimalmente corto desde el tiempo . Especificar la tasa a corto plazo actual no especifica toda la curva de rendimiento . Sin embargo, los argumentos de no arbitraje muestran que, en algunas condiciones técnicas bastante relajadas, si modelamos la evolución de como un proceso estocástico bajo una medida neutral al riesgo , entonces el precio en el momento de un bono cupón cero que vence en el tiempo con un pago de 1 está dado por ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

donde es la filtración natural del proceso. Las tasas de interés implícitas en los bonos cupón cero forman una curva de rendimiento o, más precisamente, una curva cero . Por lo tanto, al especificar un modelo para la tasa a corto plazo se especifican los precios futuros de los bonos. Esto significa que las tasas a plazo instantáneas también se especifican mediante la fórmula habitual. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

Los modelos de tasas de interés a corto plazo suelen clasificarse como endógenos y exógenos. Los modelos de tasas de interés a corto plazo endógenos son modelos de tasas de interés a corto plazo en los que la estructura temporal de las tasas de interés, o de los precios de los bonos cupón cero , es un resultado del modelo, por lo que está "dentro del modelo" (endógeno) y está determinado por los parámetros del modelo. Los modelos de tasas de interés a corto plazo exógenos son modelos en los que dicha estructura temporal es un insumo, ya que el modelo implica algunas funciones o cambios dependientes del tiempo que permiten introducir una estructura temporal de mercado dada, de modo que la estructura temporal proviene del exterior (exógeno). ^[2] ${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

Modelos particulares de tasas de interés a corto plazo

A lo largo de esta sección se representa un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo y su diferencial . Cuando el modelo es lognormal , se supone que una variable sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck y se supone que sigue . ${\displaystyle W_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

Modelos de tasa corta de un solo factor

A continuación se presentan los modelos de un factor, en los que un único factor estocástico (la tasa a corto plazo) determina la evolución futura de todas las tasas de interés. Aparte de Rendleman-Bartter y Ho-Lee, que no capturan la reversión a la media de las tasas de interés, estos modelos pueden considerarse casos específicos de procesos de Ornstein-Uhlenbeck. Los modelos Vasicek, Rendleman-Bartter y CIR son modelos endógenos y solo tienen un número finito de parámetros libres , por lo que no es posible especificar los valores de estos parámetros de tal manera que el modelo coincida con unos pocos precios de mercado observados ("calibración") de bonos cupón cero o productos lineales como acuerdos de tasa a plazo o swaps, por lo general, o se realiza un mejor ajuste a estos productos lineales para encontrar los parámetros endógenos de los modelos de tasa a corto plazo que sean más cercanos a los precios de mercado. Esto no permite opciones de ajuste como topes, pisos y swaptions, ya que los parámetros se han utilizado para ajustar instrumentos lineales. Este problema se supera permitiendo que los parámetros varíen determinísticamente con el tiempo, ^{[3] [4]} o añadiendo un cambio determinista al modelo endógeno. ^[5] De esta manera, los modelos exógenos como Ho-Lee y modelos posteriores, se pueden calibrar con datos de mercado, lo que significa que estos pueden devolver exactamente el precio de los bonos que comprenden la curva de rendimiento, y los parámetros restantes se pueden utilizar para la calibración de opciones. La implementación es usualmente a través de un árbol de tasa corta ( binomial ) ^[6] o simulación; vea Modelo de red (finanzas) § Derivados de tasa de interés y métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones , aunque algunos modelos de tasa corta tienen soluciones de forma cerrada para bonos cupón cero, e incluso topes o pisos, facilitando considerablemente la tarea de calibración. Enumeramos los siguientes modelos endógenos primero.

1. El modelo de Merton (1973) explica la tasa corta como : donde es un movimiento browniano unidimensional bajo la medida martingala puntual . ^[7] En este enfoque, la tasa corta sigue un movimiento browniano aritmético . ${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$ ${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. El modelo de Vasicek (1977) modela la tasa a corto plazo como ; a menudo se escribe . ^[8] La segunda forma es la más común y hace que la interpretación de los parámetros sea más directa, siendo el parámetro la velocidad de reversión a la media, el parámetro la media a largo plazo y el parámetro la volatilidad instantánea. En este modelo de tasa a corto plazo se utiliza un proceso de Ornstein-Uhlenbeck para la tasa a corto plazo. Este modelo permite tasas negativas, porque la distribución de probabilidad de la tasa a corto plazo es gaussiana. Además, este modelo permite soluciones de forma cerrada para el precio de los bonos y para las opciones sobre bonos y los topes/pisos, y utilizando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para las swaptions. ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$
3. El modelo de Rendleman-Bartter (1980) ^[9] o el modelo de Dothan (1978) ^[10] explican la tasa a corto plazo como . En este modelo, la tasa a corto plazo sigue un movimiento browniano geométrico . Este modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para opciones y no es de reversión a la media. Además, tiene el problema de una cuenta bancaria esperada infinita después de un corto tiempo. El mismo problema estará presente en todos los modelos lognormales de tasa a corto plazo ^[2]. ${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. El modelo de Cox-Ingersoll-Ross (1985) supone , a menudo se escribe . El factor excluye (generalmente) la posibilidad de tasas de interés negativas. ^[11] La interpretación de los parámetros, en la segunda formulación, es la misma que en el modelo de Vasicek. La condición de Feller asegura tasas a corto plazo estrictamente positivas. Este modelo sigue un proceso de raíz cuadrada de Feller y tiene tasas no negativas, y permite soluciones de forma cerrada para el precio de los bonos y para las opciones sobre bonos y los topes/pisos, y utilizando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para las swaptions. Tanto este modelo como el modelo de Vasicek se denominan modelos afines, porque la fórmula para la tasa spot compuesta continuamente para un vencimiento finito T en el momento t es una función afín de . ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r_{t}}$

A continuación enumeramos una serie de modelos exógenos de tasas a corto plazo.

1. El modelo Ho-Lee (1986) modela la tasa a corto plazo como . ^[12] El parámetro permite que la estructura temporal inicial de las tasas de interés o los precios de los bonos sea una entrada del modelo. Este modelo sigue nuevamente un movimiento browniano aritmético con un parámetro de deriva determinista dependiente del tiempo. ${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
2. El modelo de Hull-White (1990), también llamado modelo de Vasicek extendido, postula que . En muchas presentaciones, uno o más de los parámetros y no dependen del tiempo. La distribución de la tasa a corto plazo es normal y el modelo permite tasas negativas. El modelo con y constantes es el más utilizado y permite soluciones de forma cerrada para precios de bonos, opciones sobre bonos, topes y pisos y swaptions a través del truco de Jamshidian. Este modelo permite una calibración exacta de la estructura temporal inicial de las tasas de interés a través de la función dependiente del tiempo . La implementación basada en celosía para swaptions bermudanas y para productos sin fórmulas analíticas suele ser trinominal . ^{[13] [14]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
3. El modelo Black–Derman–Toy (1990) tiene en cuenta la volatilidad de las tasas a corto plazo dependiente del tiempo y otros factores; el modelo es lognormal. ^[15] El modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para las opciones. Además, como todos los modelos lognormales, sufre el problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. El modelo Black-Karasinski (1991), que es lognormal, tiene . ^[16] El modelo puede verse como la aplicación lognormal de Hull-White; ^[17] su implementación basada en retícula es igualmente trinomial (binomial que requiere pasos de tiempo variables). ^[6] El modelo no tiene soluciones de forma cerrada, e incluso la calibración básica de la estructura temporal inicial debe realizarse con métodos numéricos para generar los precios de los bonos cupón cero. Este modelo también sufre el problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. El modelo Kalotay–Williams–Fabozzi (1993) tiene la tasa corta como , un análogo lognormal del modelo Ho–Lee y un caso especial del modelo Black–Derman–Toy. ^[18] Este enfoque es efectivamente similar al "modelo original de Salomon Brothers " (1987), ^[19] también una variante lognormal de Ho-Lee. ^[20] ${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. El modelo CIR++, introducido y estudiado en detalle por Brigo y Mercurio ^[5] en 2001, y formulado también anteriormente por Scott (1995) ^[21] utilizó el modelo CIR pero en lugar de introducir parámetros dependientes del tiempo en la dinámica, añade un desplazamiento externo. El modelo está formulado como donde es un desplazamiento determinista. El desplazamiento puede utilizarse para absorber la estructura temporal del mercado y hacer que el modelo sea totalmente coherente con ella. Este modelo conserva la manejabilidad analítica del modelo CIR básico, permitiendo soluciones de forma cerrada para bonos y todos los productos lineales, y opciones como topes, suelos y swaptions mediante el truco de Jamshidian. El modelo permite mantener tipos positivos si el desplazamiento se restringe a ser positivo, o permite tipos negativos si se permite que el desplazamiento sea negativo. También se ha aplicado a menudo en el riesgo crediticio, para swaps de incumplimiento crediticio y swaptions, en esta versión original o con saltos. ^[22] ${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$ ${\displaystyle \phi }$

La idea de un desplazamiento determinista se puede aplicar también a otros modelos que tienen propiedades deseables en su forma endógena. Por ejemplo, se podría aplicar el desplazamiento al modelo de Vasicek, pero debido a la linealidad del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, esto es equivalente a hacer una función dependiente del tiempo y, por lo tanto, coincidiría con el modelo de Hull-White. ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b}$

Modelos multifactoriales de tasa corta

Además de los modelos unifactoriales mencionados anteriormente, también existen modelos multifactoriales de tipos de interés a corto plazo, entre los que los más conocidos son el modelo bifactorial de Longstaff y Schwartz y el modelo trifactorial de Chen (también denominado "modelo de volatilidad estocástica y de media estocástica"). Cabe señalar que, a efectos de gestión de riesgos, "para crear simulaciones realistas de tipos de interés ", estos modelos multifactoriales de tipos de interés a corto plazo se prefieren a veces a los modelos unifactoriales, ya que producen escenarios que, en general, son más "coherentes con los movimientos reales de la curva de rendimiento". ^[23]

• El modelo de Longstaff-Schwartz (1992) supone que la dinámica de las tasas a corto plazo está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

donde la tasa corta se define como

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• El modelo de Chen (1996) que tiene una media estocástica y volatilidad de la tasa a corto plazo, está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• Los modelos de dos factores Hull-White o G2++ son modelos que se han utilizado debido a su manejabilidad. Estos modelos se resumen y se demuestra que son equivalentes en Brigo y Mercurio (2006). Este modelo se basa en la adición de dos procesos Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) posiblemente correlacionados más un desplazamiento para obtener la tasa a corto plazo. Este modelo permite la calibración exacta de la estructura temporal, soluciones en forma semicerrada para opciones, control de la estructura temporal de volatilidad para tasas forward instantáneas a través del parámetro de correlación, y especialmente para tasas negativas, lo que ha cobrado importancia a medida que las tasas se volvieron negativas en los mercados financieros. ^[26]

Otros modelos de tipos de interés

El otro marco importante para la modelización de los tipos de interés es el marco Heath-Jarrow-Morton (HJM). A diferencia de los modelos de tipos de interés a corto plazo descritos anteriormente, esta clase de modelos no es generalmente markoviana, lo que hace que los modelos HJM generales sean computacionalmente intratables para la mayoría de los propósitos. La gran ventaja de los modelos HJM es que ofrecen una descripción analítica de toda la curva de rendimiento, en lugar de sólo del tipo de interés a corto plazo. Para algunos propósitos (por ejemplo, la valoración de títulos respaldados por hipotecas), esto puede ser una gran simplificación. Los modelos Cox-Ingersoll-Ross y Hull-White en una o más dimensiones pueden expresarse directamente en el marco HJM. Otros modelos de tipos de interés a corto plazo no tienen ninguna representación HJM dual simple.

El marco HJM con múltiples fuentes de aleatoriedad, que incluye el modelo Brace–Gatarek–Musiela y los modelos de mercado, suele preferirse para modelos de mayor dimensión.

Los modelos basados ​​en la tasa sombra de Fischer Black se utilizan cuando las tasas de interés se acercan al límite inferior cero .

Véase también

• Atribución de renta fija

Referencias

1. Modelos de tasas a corto plazo, Prof. Andrew Lesniewski, NYU
2. Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica . Springer Finance. Heidelberg: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-34604-3. ISBN 978-3-540-22149-4.
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4. Modelos de tasa corta de tiempo continuo Archivado el 23 de enero de 2012 en Wayback Machine , Prof. Martin Haugh, Universidad de Columbia
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26. Giacomo Burro, Pier Giuseppe Giribone, Simone Ligato, Martina Mulas y Francesca Querci (2017). Efectos de las tasas de interés negativas en la fijación de precios de las opciones: ¿Volvemos a lo básico? International Journal of Financial Engineering 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347

Lectura adicional

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