donde es un proceso de Wiener (que modela el factor de riesgo aleatorio del mercado) y , , y son los parámetros . El parámetro corresponde a la velocidad de ajuste a la media , y a la volatilidad. El factor de deriva, , es exactamente el mismo que en el modelo de Vasicek. Asegura la reversión a la media del tipo de interés hacia el valor de largo plazo , con la velocidad de ajuste gobernada por el parámetro estrictamente positivo .
El factor de desviación estándar , , evita la posibilidad de tasas de interés negativas para todos los valores positivos de y . Una tasa de interés de cero también se excluye si la condición
En términos más generales, cuando la tasa ( ) se acerca a cero, la desviación estándar ( ) también se vuelve muy pequeña, lo que amortigua el efecto del shock aleatorio sobre la tasa. En consecuencia, cuando la tasa se acerca a cero, su evolución queda dominada por el factor de deriva, que empuja la tasa hacia arriba (hacia el equilibrio ).
En el caso [2] , el proceso de raíz cuadrada de Feller se puede obtener a partir del cuadrado de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck . Es ergódico y posee una distribución estacionaria. Se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica.
Distribución
Distribución futura
La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular en forma cerrada:
donde , e Y es una distribución de chi-cuadrado no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad . Formalmente, la función de densidad de probabilidad es:
donde , , , y es una función de Bessel modificada del primer tipo de orden .
Distribución asintótica
Debido a la reversión a la media, a medida que transcurre el tiempo, la distribución de se aproximará a una distribución gamma con una densidad de probabilidad de:
En el supuesto de que no haya arbitraje , se puede fijar el precio de un bono utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es exponencialmente afín a la tasa de interés:
dónde
Extensiones
El modelo CIR utiliza un caso especial de una difusión de salto afín básica , que aún permite una expresión de forma cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir en el modelo funciones que varían con el tiempo que reemplazan a los coeficientes para que sea coherente con una estructura temporal preasignada de tasas de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). [3] Un enfoque más manejable se encuentra en Brigo y Mercurio (2001b) [4] donde se agrega un cambio externo dependiente del tiempo al modelo para lograr coherencia con una estructura temporal de entrada de tasas.
Una extensión significativa del modelo CIR al caso de media estocástica y volatilidad estocástica es dada por Lin Chen (1996) y es conocida como modelo Chen . Una extensión más reciente para manejar volatilidad de clúster, tasas de interés negativas y diferentes distribuciones es la llamada "CIR #" de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, [5] 2019, [6] [7] 2020, [8] 2021, [9] 2023 [10] ) y una extensión más simple enfocada en tasas de interés negativas fue propuesta por Di Francesco y Kamm (2021, [11] 2022 [12] ), que son referidas como modelos CIR- y CIR--.
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Referencias adicionales
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Cox, JC, JE Ingersoll y SA Ross (1985). "Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés". Econometrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR 1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la estructura temporal CIR extendida y valoración de opciones sobre bonos". Finanzas matemáticas . 6 (6): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x.
Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con Smile, Inflación y crédito (2.ª ed., 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión determinista de modelos de tasas a corto plazo analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo". Finance & Stochastics . 5 (3): 369–388. doi :10.1007/PL00013541. S2CID 35316609.
Biblioteca de código abierto que implementa el proceso CIR en Python
Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN 1099-131X. S2CID 126507446.