Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones que describen el electromagnetismo clásico

Las ecuaciones de Maxwell en una placa en su estatua en Edimburgo

Las ecuaciones de Maxwell , o ecuaciones de Maxwell-Heaviside , son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que, junto con la ley de fuerza de Lorentz , forman la base del electromagnetismo clásico , la óptica clásica y los circuitos eléctricos y magnéticos . Las ecuaciones proporcionan un modelo matemático para las tecnologías eléctricas, ópticas y de radio, como la generación de energía, los motores eléctricos, la comunicación inalámbrica , las lentes, el radar, etc. Describen cómo los campos eléctricos y magnéticos son generados por cargas , corrientes y cambios de los campos. ^{[nota 1]} Las ecuaciones reciben su nombre del físico y matemático James Clerk Maxwell , quien, en 1861 y 1862, publicó una forma temprana de las ecuaciones que incluía la ley de fuerza de Lorentz. Maxwell utilizó por primera vez las ecuaciones para proponer que la luz es un fenómeno electromagnético. La forma moderna de las ecuaciones en su formulación más común se le atribuye a Oliver Heaviside . ^[1]

Las ecuaciones de Maxwell pueden combinarse para demostrar cómo las fluctuaciones en los campos electromagnéticos (ondas) se propagan a una velocidad constante en el vacío, c (299 792 458  m/s ^[2] ). Conocidas como radiación electromagnética , estas ondas se producen en varias longitudes de onda para producir un espectro de radiación que va desde ondas de radio hasta rayos gamma .

En forma de ecuación diferencial parcial y un sistema coherente de unidades , las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como Con el campo eléctrico, el campo magnético, la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente . es la permitividad del vacío y la permeabilidad del vacío . $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Las ecuaciones tienen dos variantes principales:

• Las ecuaciones microscópicas tienen una aplicación universal, pero son difíciles de manejar para los cálculos comunes. Relacionan los campos eléctricos y magnéticos con la carga total y la corriente total, incluidas las cargas y corrientes complejas en los materiales a escala atómica .
• Las ecuaciones macroscópicas definen dos nuevos campos auxiliares que describen el comportamiento a gran escala de la materia sin tener que considerar cargas a escala atómica y fenómenos cuánticos como los espines. Sin embargo, su uso requiere parámetros determinados experimentalmente para una descripción fenomenológica de la respuesta electromagnética de los materiales.

El término "ecuaciones de Maxwell" se utiliza a menudo también para formulaciones alternativas equivalentes. Las versiones de las ecuaciones de Maxwell basadas en los potenciales escalares eléctricos y magnéticos son preferidas para resolver explícitamente las ecuaciones como un problema de valor límite , mecánica analítica o para su uso en mecánica cuántica . La formulación covariante (sobre el espacio-tiempo en lugar de sobre el espacio y el tiempo por separado) hace manifiesta la compatibilidad de las ecuaciones de Maxwell con la relatividad especial . Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo , comúnmente utilizadas en física gravitacional y de alta energía , son compatibles con la relatividad general . ^{[nota 2]} De hecho, Albert Einstein desarrolló la relatividad especial y general para acomodar la velocidad invariante de la luz, una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, con el principio de que solo el movimiento relativo tiene consecuencias físicas.

La publicación de las ecuaciones marcó la unificación de una teoría para fenómenos descritos previamente por separado: magnetismo, electricidad, luz y radiación asociada. Desde mediados del siglo XX, se ha entendido que las ecuaciones de Maxwell no dan una descripción exacta de los fenómenos electromagnéticos, sino que son, en cambio, un límite clásico de la teoría más precisa de la electrodinámica cuántica .

Historia de las ecuaciones

Descripciones conceptuales

Ley de Gauss

Campo eléctrico de cargas positivas a negativas

La ley de Gauss describe la relación entre un campo eléctrico y cargas eléctricas : un campo eléctrico apunta en dirección opuesta a las cargas positivas y hacia las cargas negativas, y la salida neta del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada, incluida la carga ligada debido a la polarización del material. El coeficiente de la proporción es la permitividad del espacio libre .

Ley de Gauss para el magnetismo

Ley de Gauss para el magnetismo : las líneas del campo magnético nunca comienzan ni terminan, sino que forman bucles o se extienden hasta el infinito, como se muestra aquí con el campo magnético debido a un anillo de corriente.

La ley de Gauss para el magnetismo establece que las cargas eléctricas no tienen análogos magnéticos, llamados monopolos magnéticos ; no existen polos magnéticos norte o sur de forma aislada. ^[3] En cambio, el campo magnético de un material se atribuye a un dipolo , y la salida neta del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero. Los dipolos magnéticos pueden representarse como bucles de corriente o pares inseparables de "cargas magnéticas" iguales y opuestas. Precisamente, el flujo magnético total a través de una superficie gaussiana es cero, y el campo magnético es un campo vectorial solenoidal . ^{[nota 3]}

Ley de Faraday

En una tormenta geomagnética , el plasma del viento solar impacta el campo magnético de la Tierra y provoca un cambio en dicho campo que depende del tiempo, lo que induce campos eléctricos en la atmósfera y la litosfera conductora de la Tierra que pueden desestabilizar las redes eléctricas . (No está a escala).

La versión de Maxwell-Faraday de la ley de inducción de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo corresponde a la curvatura de un campo eléctrico . ^[3] En forma integral, establece que el trabajo por unidad de carga requerido para mover una carga alrededor de un bucle cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie encerrada.

La inducción electromagnética es el principio de funcionamiento detrás de muchos generadores eléctricos : por ejemplo, un imán de barra giratorio crea un campo magnético cambiante y genera un campo eléctrico en un cable cercano.

Ley de Ampère-Maxwell

La memoria de núcleo magnético (1954) es una aplicación de la ley circuital de Ampère . Cada núcleo almacena un bit de datos.

La ley original de Ampère establece que los campos magnéticos se relacionan con la corriente eléctrica . La adición de Maxwell establece que los campos magnéticos también se relacionan con los campos eléctricos cambiantes, a los que Maxwell llamó corriente de desplazamiento . La forma integral establece que las corrientes eléctricas y de desplazamiento están asociadas con un campo magnético proporcional a lo largo de cualquier curva envolvente.

La modificación de Maxwell de la ley circuital de Ampère es importante porque de lo contrario las leyes de Ampère y Gauss deben ajustarse para campos estáticos. ^{[4] [ aclaración necesaria ]} Como consecuencia, predice que se produce un campo magnético giratorio con un campo eléctrico cambiante. ^{[3] [5] Otra consecuencia es la existencia de} ondas electromagnéticas autosostenidas que viajan a través del espacio vacío .

La velocidad calculada para las ondas electromagnéticas, que se podía predecir a partir de experimentos sobre cargas y corrientes, ^{[nota 4]} coincide con la velocidad de la luz ; de hecho, la luz es una forma de radiación electromagnética (como lo son los rayos X , las ondas de radio y otras). Maxwell comprendió la conexión entre las ondas electromagnéticas y la luz en 1861, unificando así las teorías del electromagnetismo y la óptica .

Formulación en términos de campos eléctricos y magnéticos (versión microscópica o en vacío)

En la formulación del campo eléctrico y magnético hay cuatro ecuaciones que determinan los campos para una distribución dada de carga y corriente. Una ley de la naturaleza separada , la ley de fuerza de Lorentz , describe cómo actúan los campos eléctricos y magnéticos sobre partículas cargadas y corrientes. Por convención, ya no se incluye una versión de esta ley en las ecuaciones originales de Maxwell. El formalismo de cálculo vectorial a continuación, obra de Oliver Heaviside , ^{[6] [7]} se ha convertido en estándar. Es rotacionalmente invariante y, por lo tanto, matemáticamente más transparente que las 20 ecuaciones originales de Maxwell en componentes x , y y z . Las formulaciones relativistas son más simétricas e invariantes de Lorentz. Para las mismas ecuaciones expresadas utilizando cálculo tensorial o formas diferenciales (ver § Formulaciones alternativas ).

Las formulaciones diferencial e integral son matemáticamente equivalentes; ambas son útiles. La formulación integral relaciona los campos dentro de una región del espacio con los campos en el límite y a menudo se puede utilizar para simplificar y calcular directamente los campos a partir de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales son puramente locales y son un punto de partida más natural para calcular los campos en situaciones más complicadas (menos simétricas), por ejemplo, utilizando el análisis de elementos finitos . ^[8]

Clave de la notación

Los símbolos en negrita representan magnitudes vectoriales y los símbolos en cursiva representan magnitudes escalares , a menos que se indique lo contrario. Las ecuaciones introducen el campo eléctrico , E , un campo vectorial , y el campo magnético , B , un campo pseudovectorial , cada uno de los cuales generalmente tiene una dependencia del tiempo y la ubicación. Las fuentes son

• la densidad de carga eléctrica total (carga total por unidad de volumen), ρ , y
• la densidad de corriente eléctrica total (corriente total por unidad de área), J .

Las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (las dos primeras explícitamente sólo en la formulación del SI) son:

• la permitividad del espacio libre , ε ₀ , y
• la permeabilidad del espacio libre , μ ₀ , y
• la velocidad de la luz , ${\displaystyle c=({\varepsilon _{0}\mu _{0}})^{-1/2}}$

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales,

• El símbolo nabla , ∇ , denota el operador de gradiente tridimensional , del ,
• El símbolo ∇⋅ (pronunciado "del punto") denota el operador de divergencia ,
• El símbolo ∇× (pronunciado "del cross") denota el operador curl .

Ecuaciones integrales

En las ecuaciones integrales,

• Ω es cualquier volumen con superficie límite cerrada ∂Ω , y
• Σ es cualquier superficie con curva límite cerrada ∂Σ ,

Las ecuaciones son un poco más fáciles de interpretar con superficies y volúmenes independientes del tiempo. Las superficies y volúmenes independientes del tiempo son "fijos" y no cambian durante un intervalo de tiempo determinado. Por ejemplo, dado que la superficie es independiente del tiempo, podemos llevar la diferenciación bajo el signo integral de la ley de Faraday: Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular con superficies y volúmenes posiblemente dependientes del tiempo utilizando la versión diferencial y utilizando la fórmula de Gauss y Stokes de manera apropiada. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$$

• ${\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}$es una integral de superficie sobre la superficie límite ∂Ω , con el bucle indicando que la superficie está cerrada
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$es una integral de volumen sobre el volumen Ω ,
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$es una integral de línea alrededor de la curva límite ∂Σ , con el bucle indicando que la curva está cerrada.
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$es una integral de superficie sobre la superficie Σ ,
• La carga eléctrica total Q encerrada en Ω es la integral de volumen sobre Ω de la densidad de carga ρ (ver la sección "formulación macroscópica" a continuación): donde d V es el elemento de volumen . $${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$$
• El flujo magnético neto Φ _B es la integral de superficie del campo magnético B que pasa por una superficie fija, Σ : $${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• El flujo eléctrico neto Φ _E es la integral de superficie del campo eléctrico E que pasa por Σ : $${\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• La corriente eléctrica neta I es la integral de superficie de la densidad de corriente eléctrica J que pasa por Σ : donde d S denota el elemento vectorial diferencial del área de superficie S , normal a la superficie Σ . (El área vectorial a veces se denota por A en lugar de S , pero esto entra en conflicto con la notación para el potencial vectorial magnético ). $${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$

Formulación con magnitudes del SI

Formulación con magnitudes gaussianas

Las definiciones de carga, campo eléctrico y campo magnético pueden modificarse para simplificar el cálculo teórico, absorbiendo factores dimensionados de ε ₀ y μ ₀ en las unidades (y redefiniéndolas así). Con un cambio correspondiente en los valores de las cantidades para la ley de fuerza de Lorentz , esto produce la misma física, es decir, trayectorias de partículas cargadas o trabajo realizado por un motor eléctrico. Estas definiciones se prefieren a menudo en física teórica y de alta energía donde es natural tomar el campo eléctrico y magnético con las mismas unidades, para simplificar la apariencia del tensor electromagnético : el objeto covariante de Lorentz que unifica el campo eléctrico y magnético contendría entonces componentes con unidad y dimensión uniformes. ^{[9] : vii} Tales definiciones modificadas se utilizan convencionalmente con las unidades gaussianas ( CGS ). Usando estas definiciones, coloquialmente "en unidades gaussianas", ^[10] las ecuaciones de Maxwell se convierten en: ^[11]

Las ecuaciones se simplifican ligeramente cuando se elige un sistema de cantidades en el que se utiliza la velocidad de la luz, c , para la adimensionalización , de modo que, por ejemplo, los segundos y los segundos luz son intercambiables y c = 1.

Es posible realizar más cambios absorbiendo factores de 4 π . Este proceso, llamado racionalización, determina si la ley de Coulomb o la ley de Gauss incluyen dicho factor (consulte las unidades de Heaviside-Lorentz , utilizadas principalmente en física de partículas ).

Relación entre formulaciones diferenciales e integrales

La equivalencia de las formulaciones diferencial e integral es una consecuencia del teorema de divergencia de Gauss y del teorema de Kelvin-Stokes .

Flujo y divergencia

Volumen Ω y su límite cerrado ∂Ω , que contiene (respectivamente encierra) una fuente (+) y un sumidero (−) de un campo vectorial F . Aquí, F podría ser el campo E con cargas eléctricas de fuente, pero no el campo B , que no tiene cargas magnéticas como se muestra. La normal unitaria exterior es n .

Según el teorema de divergencia de Gauss (puramente matemático) , el flujo eléctrico a través de la superficie límite ∂Ω se puede reescribir como

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

La versión integral de la ecuación de Gauss puede entonces reescribirse como Dado que Ω es arbitrario (por ejemplo, una bola pequeña arbitraria con un centro arbitrario), esto se cumple si y solo si el integrando es cero en todas partes. Esta es la formulación de ecuaciones diferenciales de la ecuación de Gauss hasta una reorganización trivial. $${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$

De manera similar, reescribiendo el flujo magnético en la ley de Gauss para el magnetismo en forma integral, obtenemos

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

que se satisface para todo Ω si y sólo si en todas partes. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

Circulación y rizo

Superficie Σ con borde cerrado ∂Σ . F podría ser el campo E o B. Nuevamente, n es la normal unitaria . (El rotacional de un campo vectorial no se parece literalmente a las "circulaciones", se trata de una representación heurística).

Por el teorema de Kelvin-Stokes podemos reescribir las integrales de línea de los campos alrededor de la curva límite cerrada ∂Σ a una integral de la "circulación de los campos" (es decir, sus rizos ) sobre una superficie que limita, es decir Por lo tanto, la ley de Ampère-Maxwell , la versión modificada de la ley circuital de Ampère, en forma integral se puede reescribir como Dado que Σ se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo, como un disco arbitrariamente pequeño, arbitrariamente orientado y arbitrariamente centrado, concluimos que el integrando es cero si y solo si se satisface la ley de Ampère-Maxwell en forma de ecuaciones diferenciales. La equivalencia de la ley de Faraday en forma diferencial e integral se sigue de la misma manera. $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$

Las integrales de línea y los rizos son análogos a las cantidades de la dinámica de fluidos clásica : la circulación de un fluido es la integral de línea del campo de velocidad de flujo del fluido alrededor de un circuito cerrado, y la vorticidad del fluido es el rizo del campo de velocidad.

Conservación de carga

La invariancia de la carga se puede derivar como un corolario de las ecuaciones de Maxwell. El lado izquierdo de la ley de Ampère-Maxwell tiene divergencia cero por la identidad div-curl . Al expandir la divergencia del lado derecho, intercambiar derivadas y aplicar la ley de Gauss se obtiene: es decir, Por el teorema de divergencia de Gauss, esto significa que la tasa de cambio de carga en un volumen fijo es igual a la corriente neta que fluye a través del límite: $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

En particular, en un sistema aislado la carga total se conserva.

Ecuaciones de vacío, ondas electromagnéticas y velocidad de la luz

Este diagrama 3D muestra una onda plana polarizada linealmente que se propaga de izquierda a derecha, definida por E = E ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) y B = B ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) Los campos oscilantes se detectan en el punto de destello. La longitud de onda horizontal es λ . E ₀ ⋅ B ₀ = 0 = E ₀ ⋅ k = B ₀ ⋅ k

En una región sin cargas ( ρ = 0 ) y sin corrientes ( J = 0 ), como en el vacío, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}$$

Tomando el rizo (∇×) de las ecuaciones del rizo, y usando el rizo de la identidad del rizo obtenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

La cantidad tiene la dimensión (T/L) ² . Definiendo , las ecuaciones anteriores tienen la forma de las ecuaciones de onda estándar ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

Ya durante la vida de Maxwell, se descubrió que los valores conocidos de y dan , que entonces ya se sabía que era la velocidad de la luz en el espacio libre. Esto lo llevó a proponer que la luz y las ondas de radio se propagaban como ondas electromagnéticas, lo que se confirmó ampliamente. En el antiguo sistema de unidades del SI, los valores de y son constantes definidas (lo que significa que por definición ) que definen el amperio y el metro. En el nuevo sistema SI , solo c mantiene su valor definido, y la carga del electrón obtiene un valor definido. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$ ${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$

En materiales con permitividad relativa , ε _r , y permeabilidad relativa , μ _r , la velocidad de fase de la luz se convierte en que normalmente es ^{[nota 5]} menor que c . $${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$

Además, E y B son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda, y están en fase entre sí. Una onda plana sinusoidal es una solución especial de estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell explican cómo estas ondas pueden propagarse físicamente a través del espacio. El campo magnético cambiante crea un campo eléctrico cambiante a través de la ley de Faraday . A su vez, ese campo eléctrico crea un campo magnético cambiante a través de la modificación de Maxwell de la ley circuital de Ampère . Este ciclo perpetuo permite que estas ondas, ahora conocidas como radiación electromagnética , se muevan a través del espacio a una velocidad c .

Formulación macroscópica

Las ecuaciones anteriores son la versión microscópica de las ecuaciones de Maxwell, que expresan los campos eléctrico y magnético en términos de las cargas y corrientes presentes (posiblemente a nivel atómico). A veces se la denomina forma "general", pero la versión macroscópica que se muestra a continuación es igualmente general; la diferencia es una cuestión de contabilidad.

La versión microscópica se denomina a veces "ecuaciones de Maxwell en el vacío": esto se refiere al hecho de que el medio material no está incorporado en la estructura de las ecuaciones, sino que aparece solo en los términos de carga y corriente. La versión microscópica fue introducida por Lorentz, quien intentó usarla para derivar las propiedades macroscópicas de la materia a granel a partir de sus constituyentes microscópicos. ^{[12] : 5}

Las "ecuaciones macroscópicas de Maxwell", también conocidas como ecuaciones de Maxwell en la materia , son más similares a las que el propio Maxwell introdujo.

En las ecuaciones macroscópicas, la influencia de la carga ligada Q _b y la corriente ligada I _b se incorpora al campo de desplazamiento D y al campo de magnetización H , mientras que las ecuaciones dependen únicamente de las cargas libres Q _f y las corrientes libres If . Esto refleja una división de la carga eléctrica total Q y la corriente I (y sus densidades ρ y _J ) en partes libres y ligadas: $${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

El costo de esta división es que los campos adicionales D y H necesitan determinarse a través de ecuaciones constituyentes fenomenológicas que relacionan estos campos con el campo eléctrico E y el campo magnético B , junto con la carga y la corriente ligadas.

Consulte a continuación una descripción detallada de las diferencias entre las ecuaciones microscópicas, que tratan la carga y la corriente totales , incluidas las contribuciones del material, útiles en aire/vacío; ^{[nota 6]} y las ecuaciones macroscópicas, que tratan la carga y la corriente libres , prácticas para usar dentro de los materiales.

Carga y corriente ligadas

Izquierda: Vista esquemática de cómo un conjunto de dipolos microscópicos produce cargas superficiales opuestas, como se muestra en la parte superior e inferior. Derecha: Cómo un conjunto de bucles de corriente microscópicos se suman para producir un bucle de corriente que circula a nivel macroscópico. Dentro de los límites, las contribuciones individuales tienden a cancelarse, pero en los límites no se produce ninguna cancelación.

Cuando se aplica un campo eléctrico a un material dieléctrico, sus moléculas responden formando dipolos eléctricos microscópicos : sus núcleos atómicos se mueven una distancia minúscula en la dirección del campo, mientras que sus electrones se mueven una distancia minúscula en la dirección opuesta. Esto produce una carga ligada macroscópica en el material, aunque todas las cargas implicadas estén ligadas a moléculas individuales. Por ejemplo, si todas las moléculas responden de la misma manera, de forma similar a lo que se muestra en la figura, estos minúsculos movimientos de carga se combinan para producir una capa de carga ligada positiva en un lado del material y una capa de carga negativa en el otro lado. La carga ligada se describe más convenientemente en términos de la polarización P del material, su momento dipolar por unidad de volumen. Si P es uniforme, se produce una separación macroscópica de carga solo en las superficies donde P entra y sale del material. Para P no uniforme , también se produce una carga en la masa. ^[13]

De manera similar, en todos los materiales los átomos constituyentes exhiben momentos magnéticos que están intrínsecamente vinculados al momento angular de los componentes de los átomos, más notablemente sus electrones . La conexión con el momento angular sugiere la imagen de un conjunto de bucles de corriente microscópicos. Fuera del material, un conjunto de tales bucles de corriente microscópicos no es diferente de una corriente macroscópica que circula alrededor de la superficie del material, a pesar del hecho de que ninguna carga individual viaja una gran distancia. Estas corrientes ligadas pueden describirse utilizando la magnetización M . ^[14]

Por lo tanto, las cargas y corrientes ligadas, muy complejas y granulares, se pueden representar a escala macroscópica en términos de P y M , que promedian estas cargas y corrientes en una escala suficientemente grande como para no ver la granularidad de los átomos individuales, pero también suficientemente pequeña como para que varíen con la ubicación en el material. Como tal, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell ignoran muchos detalles a escala fina que pueden no ser importantes para comprender cuestiones a escala general mediante el cálculo de campos que se promedian sobre un volumen adecuado.

Campos auxiliares, polarización y magnetización.

Las definiciones de los campos auxiliares son: donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corrientes ligadas respectivamente. La densidad de carga ligada macroscópica ρ _b y la densidad de corriente ligada J _b en términos de polarización P y magnetización M se definen entonces como $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

Si definimos la carga total, ligada y libre y la densidad de corriente mediante y utilizamos las relaciones definitorias anteriores para eliminar D y H , las ecuaciones de Maxwell "macroscópicas" reproducen las ecuaciones "microscópicas". $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$$

Relaciones constitutivas

Para aplicar las 'ecuaciones macroscópicas de Maxwell', es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y el campo eléctrico E , así como el campo de magnetización H y el campo magnético B . De manera equivalente, tenemos que especificar la dependencia de la polarización P (de ahí la carga ligada) y la magnetización M (de ahí la corriente ligada) en el campo eléctrico y magnético aplicado. Las ecuaciones que especifican esta respuesta se denominan relaciones constitutivas . Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas rara vez son simples, excepto aproximadamente, y generalmente se determinan mediante experimentos. Consulte el artículo principal sobre relaciones constitutivas para una descripción más completa. ^{[15] : 44–45}

Para materiales sin polarización ni magnetización, las relaciones constitutivas son (por definición) ^{[9] : 2} donde ε ₀ es la permitividad del espacio libre y μ ₀ la permeabilidad del espacio libre. Como no hay carga ligada, la carga total y la carga libre y la corriente son iguales. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,}$$

Un punto de vista alternativo sobre las ecuaciones microscópicas es que son las ecuaciones macroscópicas junto con la afirmación de que el vacío se comporta como un "material" lineal perfecto sin polarización y magnetización adicionales. De manera más general, para los materiales lineales las relaciones constitutivas son ^{[15] : 44–45} donde ε es la permitividad y μ la permeabilidad del material. Para el campo de desplazamiento D la aproximación lineal suele ser excelente porque para todos los campos eléctricos o temperaturas más extremos obtenibles en el laboratorio (láseres pulsados ​​de alta potencia) los campos eléctricos interatómicos de los materiales del orden de 10 ¹¹ V/m son mucho más altos que el campo externo. Sin embargo, para el campo magnetizante , la aproximación lineal puede fallar en materiales comunes como el hierro, lo que conduce a fenómenos como la histéresis . Sin embargo, incluso el caso lineal puede tener varias complicaciones. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

• Para materiales homogéneos, ε y μ son constantes en todo el material, mientras que para materiales no homogéneos dependen de la ubicación dentro del material (y quizás del tiempo). ^{[16] : 463}
• Para materiales isotrópicos, ε y μ son escalares, mientras que para materiales anisotrópicos (por ejemplo, debido a la estructura cristalina) son tensores . ^{[15] : 421  [16] : 463}
• Los materiales son generalmente dispersivos , por lo que ε y μ dependen de la frecuencia de cualquier onda EM incidente. ^{[15] : 625  [16] : 397}

De manera más general, en el caso de materiales no lineales (véase, por ejemplo, óptica no lineal ), D y P no son necesariamente proporcionales a E , de manera similar, H o M no son necesariamente proporcionales a B. En general, D y H dependen tanto de E como de B , de la ubicación y el tiempo, y posiblemente de otras cantidades físicas.

En las aplicaciones, también hay que describir cómo se comportan las corrientes libres y la densidad de carga en términos de E y B, posiblemente acoplados a otras cantidades físicas como la presión, la masa, la densidad numérica y la velocidad de las partículas portadoras de carga. Por ejemplo, las ecuaciones originales dadas por Maxwell (ver Historia de las ecuaciones de Maxwell ) incluían la ley de Ohm en la forma $${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}$$

Formulaciones alternativas

A continuación se presentan algunos de los otros formalismos matemáticos de las ecuaciones de Maxwell, con las columnas que separan las dos ecuaciones de Maxwell homogéneas de las dos no homogéneas. Cada formulación tiene versiones directamente en términos de los campos eléctrico y magnético, e indirectamente en términos del potencial eléctrico φ y el potencial vectorial A . Los potenciales se introdujeron como una forma conveniente de resolver las ecuaciones homogéneas, pero se pensaba que toda la física observable estaba contenida en los campos eléctrico y magnético (o relativistamente, el tensor de Faraday). Sin embargo, los potenciales juegan un papel central en la mecánica cuántica y actúan de manera mecanocuántica con consecuencias observables incluso cuando los campos eléctrico y magnético desaparecen ( efecto Aharonov-Bohm ).

Cada tabla describe un formalismo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles sobre cada formulación.

Las formulaciones directas del espacio-tiempo ponen de manifiesto que las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente invariantes , donde el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad. Debido a esta simetría, los campos eléctrico y magnético se tratan en pie de igualdad y se reconocen como componentes del tensor de Faraday . Esto reduce las cuatro ecuaciones de Maxwell a dos, lo que simplifica las ecuaciones, aunque ya no podemos utilizar la conocida formulación vectorial. Las ecuaciones de Maxwell en la formulación que no tratan el espacio y el tiempo manifiestamente en el mismo pie de igualdad tienen la invariancia de Lorentz como una simetría oculta. Esta fue una fuente importante de inspiración para el desarrollo de la teoría de la relatividad. De hecho, incluso la formulación que trata el espacio y el tiempo por separado no es una aproximación no relativista y describe la misma física simplemente cambiando el nombre de las variables. Por esta razón, las ecuaciones invariantes relativistas suelen llamarse también ecuaciones de Maxwell.

Cada tabla a continuación describe un formalismo.

• En la formulación del cálculo tensorial, el tensor electromagnético F _αβ es un tensor covariante antisimétrico de orden 2; el tetrapotencial , A _α , es un vector covariante; la corriente, J ^α , es un vector; los corchetes, [ ] , denotan antisimetrización de índices ; ∂ _α es la derivada parcial con respecto a la coordenada, x ^α . En el espacio de Minkowski, las coordenadas se eligen con respecto a un marco inercial ; ( x ^α ) = ( ct ,  x ,  y ,  z ) , de modo que el tensor métrico utilizado para aumentar y disminuir los índices es η _αβ = diag(1, −1, −1, −1) . El operador d'Alembert en el espacio de Minkowski es ◻ = ∂ _α ∂ ^α como en la formulación vectorial. En los espaciotiempos generales, el sistema de coordenadas x ^α es arbitrario, la derivada covariante ∇ _α , el tensor de Ricci , R _αβ y la elevación y disminución de los índices se definen mediante la métrica de Lorentz, g _αβ y el operador d'Alembert se define como ◻ = ∇ _α ∇ ^α . La restricción topológica es que el segundo grupo de cohomología real del espacio se desvanece (consulte la formulación de la forma diferencial para obtener una explicación). Esto se viola para el espacio de Minkowski con una línea eliminada, que puede modelar un espaciotiempo (plano) con un monopolo puntual en el complemento de la línea.
• En la formulación de forma diferencial en espacios-tiempos arbitrarios, F = ⁠1/2⁠ F _αβ ‍ d x ^α ∧ d x ^β es el tensor electromagnético considerado como una 2-forma, A = A _α d x ^α es la 1-forma potencial,es la 3-forma actual, d es la derivada exterior , yes la estrella de Hodge en formas definidas (hasta su orientación, es decir, su signo) por la métrica lorentziana del espacio-tiempo. En el caso especial de 2-formas como F , la estrella de Hodgedepende del tensor métrico solo para su escala local. Esto significa que, tal como se formula, las ecuaciones de campo de forma diferencial son conformemente invariantes , pero la condición de calibre de Lorenz rompe la invariancia conforme. El operadores el operador d'Alembert–Laplace–Beltrami en 1-formas en un espacio-tiempo lorentziano arbitrario. La condición topológica es nuevamente que el segundo grupo de cohomología real sea "trivial" (lo que significa que su forma se desprende de una definición). Por el isomorfismo con la segunda cohomología de De Rham, esta condición significa que toda 2-forma cerrada es exacta. ${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$

Otros formalismos incluyen la formulación del álgebra geométrica y una representación matricial de las ecuaciones de Maxwell . Históricamente, se utilizó una formulación cuaterniónica ^{[17] [18] .}

Soluciones

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan los campos eléctricos y magnéticos entre sí y con las cargas y corrientes eléctricas. A menudo, las cargas y corrientes dependen de los campos eléctricos y magnéticos a través de la ecuación de fuerza de Lorentz y las relaciones constitutivas. Todas ellas forman un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que a menudo son muy difíciles de resolver: las soluciones abarcan todos los diversos fenómenos del electromagnetismo clásico . A continuación se presentan algunas observaciones generales.

Como en cualquier ecuación diferencial, las condiciones de contorno ^{[19] [20] [21]} y las condiciones iniciales ^[22] son ​​necesarias para una solución única . Por ejemplo, incluso sin cargas ni corrientes en ningún lugar del espacio-tiempo, existen las soluciones obvias para las que E y B son cero o constantes, pero también hay soluciones no triviales correspondientes a las ondas electromagnéticas. En algunos casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven sobre todo el espacio, y las condiciones de contorno se dan como límites asintóticos en el infinito. ^[23] En otros casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en una región finita del espacio, con condiciones apropiadas en el límite de esa región, por ejemplo, un límite absorbente artificial que represente el resto del universo, ^{[24] [25]} o condiciones de contorno periódicas , o paredes que aíslan una pequeña región del mundo exterior (como con una guía de ondas o un resonador de cavidad ). ^[26]

Las ecuaciones de Jefimenko (o los potenciales de Liénard-Wiechert , estrechamente relacionados con ellas ) son la solución explícita de las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctricos y magnéticos creados por cualquier distribución dada de cargas y corrientes. Supone condiciones iniciales específicas para obtener la denominada "solución retardada", donde los únicos campos presentes son los creados por las cargas. Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko no son útiles en situaciones en las que las cargas y las corrientes se ven afectadas por los campos que crean.

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales se pueden utilizar para calcular soluciones aproximadas de las ecuaciones de Maxwell cuando las soluciones exactas son imposibles. Estos incluyen el método de elementos finitos y el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo . ^{[19] [21] [27] [28] [29]} Para obtener más detalles, consulte Electromagnetismo computacional .

Sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell parecen sobredeterminadas , ya que involucran seis incógnitas (los tres componentes de E y B ) pero ocho ecuaciones (una para cada una de las dos leyes de Gauss, tres componentes vectoriales para cada una de las leyes circuitales de Faraday y Ampère). (Las corrientes y cargas no son incógnitas, siendo libremente especificables sujetas a la conservación de carga ). Esto está relacionado con un cierto tipo limitado de redundancia en las ecuaciones de Maxwell: se puede demostrar que cualquier sistema que satisfaga la ley de Faraday y la ley circuital de Ampère automáticamente también satisface las dos leyes de Gauss, siempre que la condición inicial del sistema lo haga, y asumiendo la conservación de carga y la inexistencia de monopolos magnéticos. ^{[30] [31]} Esta explicación fue introducida por primera vez por Julius Adams Stratton en 1941. ^[32]

Aunque es posible ignorar simplemente las dos leyes de Gauss en un algoritmo numérico (aparte de las condiciones iniciales), la precisión imperfecta de los cálculos puede llevar a violaciones cada vez mayores de esas leyes. Al introducir variables ficticias que caracterizan estas violaciones, las cuatro ecuaciones no quedan sobredeterminadas después de todo. La formulación resultante puede llevar a algoritmos más precisos que tengan en cuenta las cuatro leyes. ^[33]

Ambas identidades , que reducen ocho ecuaciones a seis independientes, son la verdadera razón de la sobredeterminación. ^{[34] [35]} ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$

De manera equivalente, la sobredeterminación puede verse como una implicación de la conservación de la carga eléctrica y magnética, tal como se requieren en la derivación descrita anteriormente, pero que están implícitas en las dos leyes de Gauss.

En el caso de las ecuaciones algebraicas lineales, se pueden crear reglas "agradables" para reescribir las ecuaciones y las incógnitas. Las ecuaciones pueden ser linealmente dependientes. Pero en las ecuaciones diferenciales, y especialmente en las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), se necesitan condiciones de contorno apropiadas, que dependen de las ecuaciones de maneras no tan obvias. Más aún, si se las reescribe en términos de potencial vectorial y escalar, entonces las ecuaciones quedan subdeterminadas debido a la fijación de calibre .

Las ecuaciones de Maxwell como límite clásico de la QED

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz (junto con el resto del electromagnetismo clásico) son extraordinariamente eficaces para explicar y predecir una variedad de fenómenos. Sin embargo, no tienen en cuenta los efectos cuánticos, por lo que su ámbito de aplicación es limitado. Las ecuaciones de Maxwell se consideran el límite clásico de la electrodinámica cuántica (EDC).

Algunos fenómenos electromagnéticos observados son incompatibles con las ecuaciones de Maxwell. Entre ellos se incluyen la dispersión fotón-fotón y muchos otros fenómenos relacionados con los fotones o fotones virtuales , la " luz no clásica " y el entrelazamiento cuántico de los campos electromagnéticos (véase Óptica cuántica ). Por ejemplo, la criptografía cuántica no puede describirse mediante la teoría de Maxwell, ni siquiera de manera aproximada. La naturaleza aproximada de las ecuaciones de Maxwell se hace cada vez más evidente cuando se entra en el régimen de campo extremadamente fuerte (véase Lagrangiano de Euler-Heisenberg ) o en distancias extremadamente pequeñas.

Por último, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar ningún fenómeno que implique la interacción de fotones individuales con materia cuántica, como el efecto fotoeléctrico , la ley de Planck , la ley de Duane-Hunt y los detectores de luz de fotón único . Sin embargo, muchos de estos fenómenos pueden aproximarse utilizando una teoría intermedia de la materia cuántica acoplada a un campo electromagnético clásico, ya sea como campo externo o con el valor esperado de la corriente de carga y la densidad en el lado derecho de las ecuaciones de Maxwell.

Variaciones

Las variaciones populares de las ecuaciones de Maxwell como teoría clásica de los campos electromagnéticos son relativamente escasas porque las ecuaciones estándar han resistido la prueba del tiempo notablemente bien.

Monopolos magnéticos

Las ecuaciones de Maxwell postulan que en el universo hay carga eléctrica , pero no carga magnética (también llamada monopolos magnéticos ). De hecho, nunca se ha observado carga magnética, a pesar de las extensas búsquedas, ^{[nota 7]} y es posible que no exista. Si existieran, sería necesario modificar tanto la ley de Gauss para el magnetismo como la ley de Faraday, y las cuatro ecuaciones resultantes serían completamente simétricas bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos. ^{[9] : 273–275}

Véase también

• Portal de electrónica
• Portal de física

• Álgebra del espacio físico
• Ecuaciones de Fresnel
• Gravitoelectromagnetismo
• Condiciones de interfaz para campos electromagnéticos
• Problema del imán móvil y del conductor
• Vector de Riemann-Silberstein
• Álgebra del espacio-tiempo
• Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Notas explicativas

1. eléctricos y magnéticos , según la teoría de la relatividad , son los componentes de un único campo electromagnético.
2. Sin embargo, en la relatividad general, deben entrar, a través de su tensor de tensión-energía , en las ecuaciones de campo de Einstein que incluyen la curvatura del espacio-tiempo.
3. La ausencia de sumideros/fuentes del campo no implica que las líneas de campo deban estar cerradas o escapar al infinito. También pueden envolverse indefinidamente, sin autointersecciones. Además, alrededor de puntos donde el campo es cero (que no pueden ser intersectados por líneas de campo, porque su dirección no estaría definida), puede haber el comienzo simultáneo de algunas líneas y el final de otras líneas. Esto sucede, por ejemplo, en el medio entre dos imanes cilíndricos idénticos, cuyos polos norte se enfrentan entre sí. En el medio entre esos imanes, el campo es cero y las líneas de campo axiales que provienen de los imanes terminan. Al mismo tiempo, un número infinito de líneas divergentes emanan radialmente desde este punto. La presencia simultánea de líneas que terminan y comienzan alrededor del punto preserva el carácter libre de divergencia del campo. Para una discusión detallada de las líneas de campo no cerradas, consulte L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.
4. La cantidad que ahora llamaríamos ( ε ₀ μ ₀ ) ^−1/2 , con unidades de velocidad, fue medida directamente antes de las ecuaciones de Maxwell, en un experimento de 1855 por Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch . Cargaron una botella de Leyden (una especie de condensador ), y midieron la fuerza electrostática asociada con el potencial; luego, la descargaron mientras medían la fuerza magnética de la corriente en el cable de descarga. Su resultado fue3,107 × 10 ⁸  m/s , una velocidad notablemente cercana a la de la luz. Véase Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measures: from 500 BC to the 1940s, pág. 115.
5. Hay casos ( dispersión anómala ) donde la velocidad de fase puede superar c , pero la "velocidad de la señal" seguirá siendo ≤ c
6. En algunos libros (por ejemplo, en Basic Theoretical Physics de U. Krey y A. Owen [Springer 2007]) se utiliza el término carga efectiva en lugar de carga total , mientras que la carga libre se denomina simplemente carga .
7. Véase monopolo magnético para una discusión sobre búsquedas de monopolos. Recientemente, los científicos han descubierto que algunos tipos de materia condensada, incluyendo hielo de espín y aislantes topológicos , que muestran un comportamiento emergente similar a los monopolos magnéticos. (Véase sciencemag.org y nature.com.) Aunque estos fueron descritos en la prensa popular como el esperado descubrimiento de los monopolos magnéticos, sólo están superficialmente relacionados. Un monopolo magnético "verdadero" es algo donde ∇ ⋅ B ≠ 0 , mientras que en estos sistemas de materia condensada, ∇ ⋅ B = 0 mientras que sólo ∇ ⋅ H ≠ 0 .

Referencias

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13. Véase David J. Griffiths (1999). "4.2.2". Introducción a la electrodinámica (tercera edición). Prentice Hall . ISBN 9780138053260.para una buena descripción de cómo P se relaciona con la carga ligada .
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Lectura adicional

• Imaeda, K. (1995), "Formulación bicuaterniónica de las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones", en Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (eds.), Clifford Algebras and Spinor Structures , Springer, págs. 265–280, doi :10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN 978-90-481-4525-6

Publicaciones históricas

• Sobre las líneas de fuerza de Faraday – 1855/56. Primer artículo de Maxwell (partes 1 y 2) – Compilado por Blaze Labs Research (PDF).
• Sobre líneas físicas de fuerza – 1861. Artículo de Maxwell de 1861 que describe las líneas magnéticas de fuerza. Predecesor del Tratado de 1873.
• James Clerk Maxwell , " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459–512 (1865). (Este artículo acompañaba una presentación que Maxwell realizó el 8 de diciembre de 1864 ante la Royal Society.)
  • Una teoría dinámica del campo electromagnético – 1865. Artículo de Maxwell de 1865 que describe sus 20 ecuaciones, enlace de Google Books .
• J. Clerk Maxwell (1873), " Tratado sobre electricidad y magnetismo ":
  • Maxwell, JC, "Un tratado sobre electricidad y magnetismo" – Volumen 1 – 1873 – Colección Posner Memorial – Universidad Carnegie Mellon.
  • Maxwell, JC, "Un tratado sobre electricidad y magnetismo" – Volumen 2 – 1873 – Colección Memorial Posner – Universidad Carnegie Mellon.

Desarrollos anteriores a la teoría de la relatividad

• Larmor Joseph (1897). "Sobre una teoría dinámica del medio eléctrico y luminífero. Parte 3, Relaciones con los medios materiales"  . Phil. Trans. R. Soc . 190 : 205–300.
• Lorentz Hendrik (1899). "Teoría simplificada de fenómenos eléctricos y ópticos en sistemas en movimiento"  . Proc. Acad. Science Amsterdam . I : 427–443.
• Lorentz Hendrik (1904). "Fenómenos electromagnéticos en un sistema que se mueve a una velocidad menor que la de la luz"  . Proc. Acad. Science Amsterdam . IV : 669–678.
• Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction" (en francés) , Archives Néerlandaises , V , 253–278.
• Henri Poincaré (1902) " La Science et l'Hypothèse " (en francés) .
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron" (en francés) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 140 , 1504-1508.
• Catt, Walton y Davidson. "La historia de la corriente de desplazamiento". Archivado el 6 de mayo de 2008 en Wayback Machine . Wireless World , marzo de 1979.

Enlaces externos

• "Ecuaciones de Maxwell", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — Un tutorial intuitivo de las ecuaciones de Maxwell.
• Las conferencias de física de Feynman, vol. II, cap. 18: Las ecuaciones de Maxwell
• Página de Wikiversidad sobre las ecuaciones de Maxwell

Tratamientos modernos

• Electromagnetismo (cap. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Ciclo de conferencias: Relatividad y electromagnetismo, R. Fitzpatrick, Universidad de Texas en Austin
• Ondas electromagnéticas de las ecuaciones de Maxwell en el Proyecto PHYSNET.
• Serie de videoconferencias del MIT (36 conferencias de 50 minutos) (en formato .mp4): Electricidad y magnetismo, impartido por el profesor Walter Lewin .

Otro

• Silagadze, ZK (2002). "Derivación de Feynman de ecuaciones de Maxwell y dimensiones adicionales". Annales de la Fundación Louis de Broglie . 27 : 241–256. arXiv : hep-ph/0106235 .
• Hitos de la naturaleza: Fotones – Hito 2 (1861) Ecuaciones de Maxwell