Mezcla (matemáticas)

Descripción matemática de la mezcla de sustancias.

Aplicación repetida del mapa del panadero a puntos coloreados de rojo y azul, inicialmente separados. El mapa del panadero se está mezclando, como se muestra en los puntos rojo y azul que se mezclan completamente después de varias iteraciones.

En matemáticas , la mezcla es un concepto abstracto que se origina en la física : el intento de describir el proceso termodinámico irreversible de la mezcla en el mundo cotidiano: por ejemplo, mezclar pintura, mezclar bebidas, mezclar industrialmente .

El concepto aparece en la teoría ergódica : el estudio de procesos estocásticos y sistemas dinámicos que preservan medidas . Existen varias definiciones diferentes de mezcla, incluida la mezcla fuerte , la mezcla débil y la mezcla topológica ; esta última no requiere la definición de una medida . Algunas de las diferentes definiciones de mezcla se pueden organizar en orden jerárquico; por tanto, una mezcla fuerte implica una mezcla débil. Además, la mezcla débil (y por tanto también la mezcla fuerte) implica ergodicidad : es decir, todo sistema que se mezcla débilmente también es ergódico (y por eso se dice que la mezcla es una condición "más fuerte" que la ergodicidad).

explicación informal

La definición matemática de mezcla tiene como objetivo capturar el proceso cotidiano de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes para cocinar, mezcla en procesos industriales , humo en una habitación llena de humo, etc. Para proporcionar rigor matemático, dichas descripciones comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva medidas , escrito como . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

Se entiende por conjunto el espacio total a llenar: el cuenco, la sala llena de humo, etc. Se entiende por medida la definición del volumen natural del espacio y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por y el tamaño de cualquier subconjunto dado es ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginarse que es el conjunto de poder de ; Esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (la famosa paradoja de Banach-Tarski ). Por lo tanto, convencionalmente, consta de subconjuntos mensurables: los subconjuntos que sí tienen un volumen. Siempre se considera un conjunto de Borel : la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos de conjuntos ; estos siempre pueden considerarse mensurables. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa . Dado algún subconjunto , su mapa será en general una versión deformada : está aplastado o estirado, doblado o cortado en pedazos. Ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de la herradura , ambos inspirados en la elaboración del pan . El conjunto debe tener el mismo volumen que ; el aplastamiento/estiramiento no altera el volumen del espacio, sólo su distribución. Un sistema de este tipo "conserva las medidas" (conserva el área, preserva el volumen). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Una dificultad formal surge cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden corresponder al mismo punto en su rango; es decir, puede haber con . Peor aún, un solo punto no tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con el mapa inverso ; asignará cualquier subconjunto determinado a las piezas que se ensamblaron para crearlo: estas piezas son . Tiene la importante propiedad de no "perder la pista" del origen de las cosas. Más fuertemente, tiene la importante propiedad de que cualquier mapa (que preserva la medida) es el inverso de algún mapa . La definición adecuada de un mapa que preserva el volumen es aquella que describe todas las piezas de las que provienen. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Ahora estamos interesados ​​en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto finalmente visita todo durante un largo período de tiempo (es decir, si se acerca a todo durante un período grande ), se dice que el sistema es ergódico . Si cada conjunto se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador , en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos se alejan y nunca regresan a ellos. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que corre hacia abajo, nunca volverá a subir. El lago que se forma en el fondo de este río, sin embargo, puede mezclarse bien. El teorema de descomposición ergódica establece que todo sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservativa y la parte disipativa. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. La mezcla requiere que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera , y no sólo entre algún conjunto y . Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera , se dice que un sistema se está mezclando (topológicamente) si hay un número entero tal que, para todos y , uno tiene eso . Aquí, denota intersección de conjuntos y es el conjunto vacío . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

La definición anterior de mezcla topológica debería ser suficiente para proporcionar una idea informal de mezcla (es equivalente a la definición formal que se proporciona a continuación). Sin embargo, no menciona el volumen de y y, de hecho, existe otra definición que funciona explícitamente con el volumen. En realidad, varios; uno tiene tanto una mezcla fuerte como una mezcla débil; no son equivalentes, aunque un sistema de mezcla fuerte siempre mezcla débilmente. Las definiciones basadas en medidas no son compatibles con la definición de mezcla topológica: hay sistemas que son lo uno, pero no lo otro. La situación general sigue siendo confusa: por ejemplo, dados tres conjuntos , se puede definir 3-mezcla. A partir de 2020, no se sabe si 2 mezclas implica 3 mezclas. (Si uno piensa en la ergodicidad como "mezcla 1", entonces está claro que la mezcla 1 no implica la mezcla 2; hay sistemas que son ergódicos pero no se mezclan). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$

El concepto de mezcla fuerte se hace en referencia al volumen de un par de conjuntos. Consideremos, por ejemplo, un conjunto de tintes de colores que se mezclan en una taza de algún tipo de líquido pegajoso, por ejemplo, jarabe de maíz, champú o similar. La experiencia práctica demuestra que mezclar líquidos pegajosos puede resultar bastante difícil: suele haber algún rincón del recipiente donde resulta difícil mezclar el tinte. Elige como establecido ese rincón de difícil acceso. La cuestión de la mezcla es entonces: ¿puede , después de un período de tiempo suficientemente largo, no sólo penetrar sino también llenarse en la misma proporción que en otros lugares? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Se formula la definición de mezcla fuerte como el requisito de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

El parámetro de tiempo sirve para separar y en el tiempo, de modo que se mezcla mientras se mantiene fijo el volumen de prueba . El producto es un poco más sutil. Imagine que el volumen es el 10% del volumen total y que el volumen de tinte también será el 10% del total general. Si se distribuye uniformemente, entonces ocupa el 10% de , que a su vez es el 10% del total, por lo que, al final, después de mezclar, la parte que queda es el 1% del volumen total. Es decir, este producto de volúmenes tiene más que un parecido pasajero con el teorema de Bayes en probabilidades; Esto no es un accidente, sino más bien una consecuencia de que la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad son la misma teoría: comparten los mismos axiomas (los axiomas de Kolmogorov ), aunque utilicen notación diferente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

La razón para usar en lugar de en la definición es un poco sutil, pero se deriva de las mismas razones por las que se usó para definir el concepto de mapa que preserva medidas. Al observar cuánto tinte se mezcló en la esquina , uno quiere ver de dónde "vino" ese tinte (presumiblemente, se vertió en la parte superior, en algún momento en el pasado). Uno debe estar seguro de que cada lugar del que podría haber "provenido" eventualmente se mezclará . ${\displaystyle T^{-n}A}$ ${\displaystyle T^{n}A}$ ${\displaystyle T^{-1}A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Mezclado en sistemas dinámicos.

Sea un sistema dinámico que preserva la medida , siendo T el operador de evolución o cambio en el tiempo . Se dice que el sistema es de mezcla fuerte si, para cualquiera , se tiene ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Para los cambios parametrizados por una variable continua en lugar de un entero discreto n , se aplica la misma definición, reemplazada por g siendo el parámetro de tiempo continuo. ${\displaystyle T^{-n}}$ ${\displaystyle T_{g}}$

Se dice que un sistema dinámico es de mezcla débil si se tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

En otras palabras, es una mezcla fuerte si en el sentido habitual, una mezcla débil si ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

en el sentido Cesàro , y ergódico en el sentido Cesàro. Por tanto, una mezcla fuerte implica una mezcla débil, lo que implica ergodicidad. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen sistemas dinámicos ergódicos que no se mezclan débilmente, y sistemas dinámicos que se mezclan débilmente y que no se mezclan fuertemente. El sistema Chacón fue históricamente el primer ejemplo dado de un sistema de mezcla débil pero no de mezcla fuerte. ^[1] ${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$

Teorema. La mezcla débil implica ergodicidad.

Prueba. Si la acción del mapa se descompone en dos componentes , entonces tenemos , por lo que la mezcla débil implica , por lo que uno está vacío y el otro está lleno. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle |\mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)|=0}$ ${\displaystyle A,B}$

Cubriendo familias

Dado un espacio topológico, como el intervalo unitario (tenga o no sus puntos finales), podemos construir una medida tomando los conjuntos abiertos, luego llevando sus uniones, complementos, uniones, complementos, etc. hasta el infinito . , para obtener todos los conjuntos de Borel . A continuación, definimos una medida en los conjuntos de Borel y luego agregamos todos los subconjuntos de medida cero ("conjuntos insignificantes"). Así obtenemos la medida de Lebesgue y los conjuntos mensurables de Lebesgue. ${\displaystyle \mu }$

En la mayoría de las aplicaciones de la teoría ergódica, el espacio subyacente es casi en todas partes isomorfo a un subconjunto abierto de some , por lo que es un espacio de medida de Lebesgue. La verificación de la mezcla fuerte se puede simplificar si solo necesitamos verificar un conjunto más pequeño de conjuntos mensurables. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una familia de cobertura es un conjunto de conjuntos medibles, de modo que cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de conjuntos que lo componen. Compare esto con base in topology , que es menos restrictivo ya que permite uniones no disjuntas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Teorema. Para los espacios de medida de Lebesgue, si preserva la medida, y para todos en una familia de cobertura, entonces es una mezcla fuerte. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T}$

Prueba. Extienda la ecuación de mezcla de todos los miembros de la familia de cobertura, a todos los conjuntos abiertos mediante unión disjunta, a todos los conjuntos cerrados tomando el complemento, a todos los conjuntos medibles utilizando la regularidad de la medida de Lebesgue para aproximar cualquier conjunto con conjuntos abiertos y cerrados. Por lo tanto, para todos los mensurables . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$

formulación L 2

Las propiedades de ergodicidad, mezcla débil y mezcla fuerte de un sistema dinámico que preserva la medida también pueden caracterizarse mediante el promedio de observables. Según el teorema ergódico de von Neumann, la ergodicidad de un sistema dinámico es equivalente a la propiedad de que, para cualquier función , la secuencia converge fuertemente y en el sentido de Cesàro a , es decir, ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Un sistema dinámico se mezcla débilmente si, para cualesquiera funciones y ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot gd\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Un sistema dinámico se mezcla fuertemente si, para cualquier función, la secuencia converge débilmente , es decir, para cualquier función. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu ,}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Dado que se supone que el sistema preserva la medida, esta última línea equivale a decir que la covarianza es tal que las variables aleatorias se vuelven ortogonales a medida que crece. En realidad, dado que esto funciona para cualquier función, uno puede ver informalmente la mezcla como la propiedad de que las variables aleatorias se vuelven independientes a medida que crecen. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$

Productos de sistemas dinámicos.

Dados dos sistemas dinámicos medidos , se puede construir un sistema dinámico sobre el producto cartesiano definiendo. Entonces tenemos las siguientes caracterizaciones de mezcla débil: ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$

Proposición. Un sistema dinámico se mezcla débilmente si y sólo si, para cualquier sistema dinámico ergódico , el sistema también es ergódico. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$

Proposición. Un sistema dinámico se mezcla débilmente si y sólo si es también ergódico. Si este es el caso, entonces también se está mezclando débilmente. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$

Generalizaciones

La definición dada anteriormente a veces se denomina mezcla 2 fuerte , para distinguirla de órdenes superiores de mezcla. Un sistema fuerte de 3 mezclas puede definirse como un sistema para el cual

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

es válido para todos los conjuntos medibles A , B , C . Podemos definir la mezcla k fuerte de manera similar. Un sistema que es fuerte k - mezcla para todo k  = 2,3,4,... se llama mezcla de todos los órdenes .

Se desconoce si una fuerte mezcla de 2 implica una fuerte mezcla de 3. Se sabe que una fuerte mezcla m implica ergodicidad .

Ejemplos

Las rotaciones irracionales del círculo, y más generalmente las traslaciones irreducibles sobre un toro, son ergódicas pero no se mezclan fuerte ni débilmente con respecto a la medida de Lebesgue.

Muchos mapas considerados caóticos se mezclan fuertemente para alguna medida invariante bien elegida, incluyendo: el mapa diádico , el mapa del gato de Arnold , los mapas de herradura , los automorfismos de Kolmogorov y el flujo de Anosov (el flujo geodésico en el haz unitario tangente de variedades compactas de valores negativos) . curvatura .)

El mapa diádico es "desplazamiento hacia la izquierda en binario". En general, para cualquiera , el mapa "desplazamiento a la izquierda en la base " se mezcla fuertemente en la familia de cobertura , por lo tanto, se mezcla fuertemente y, por lo tanto, se mezcla fuertemente . ${\displaystyle n\in \{2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T(x)=nx\mod 1}$ ${\displaystyle \{({\frac {k}{n^{s}}},{\frac {k+1}{n^{s}}})\setminus \mathbb {Q} :s\geq 0,\leq k<n^{s}\}}$ ${\displaystyle (0,1)\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

De manera similar, para cualquier alfabeto finito o contable , podemos imponerle una distribución de probabilidad discreta y luego considerar la distribución de probabilidad en el espacio de "lanzamiento de moneda", de donde cada "lanzamiento de moneda" puede tomar resultados . Podemos construir el espacio infinitamente simple o el espacio doblemente infinito . En ambos casos, el mapa de desplazamiento (una letra a la izquierda) se mezcla fuertemente, ya que se mezcla fuertemente en la familia de cilindros que los cubre. El mapa de Baker es isomorfo a un mapa de desplazamiento, por lo que se mezcla fuertemente. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {Z} }}$

Mezcla topológica

Se puede definir una forma de mezcla sin recurrir a una medida , utilizando únicamente la topología del sistema. Se dice que un mapa continuo es topológicamente transitivo si, para cada par de conjuntos abiertos no vacíos , existe un número entero n tal que ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

¿ Dónde está la enésima iteración de f ? En la teoría del operador , un operador lineal acotado topológicamente transitivo (un mapa lineal continuo en un espacio vectorial topológico ) suele denominarse operador hipercíclico . Una idea relacionada la expresa el conjunto errante . ${\displaystyle f^{n}}$

Lema: Si X es un espacio métrico completo sin ningún punto aislado , entonces f es topológicamente transitivo si y sólo si existe un punto hipercíclico , es decir, un punto x tal que su órbita sea densa en X. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$

Se dice que un sistema se mezcla topológicamente si, dados conjuntos abiertos y , existe un número entero N , tal que, para todos , se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Para un sistema de tiempo continuo, se reemplaza por el flujo , siendo g el parámetro continuo, con el requisito de que se cumpla una intersección no vacía para todos . ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$

Una mezcla topológica débil es aquella que no tiene funciones propias continuas y no constantes (con respecto a la topología) del operador de turno.

La mezcla topológica no implica ni está implícita en una mezcla débil o fuerte: hay ejemplos de sistemas que se mezclan débilmente pero no se mezclan topológicamente, y ejemplos que se mezclan topológicamente pero no se mezclan fuerte.

Mezcla en procesos estocásticos.

Sea un proceso estocástico en un espacio de probabilidad . El espacio de secuencia en el que se mapea el proceso puede dotarse de una topología, la topología del producto . Los conjuntos abiertos de esta topología se denominan conjuntos de cilindros . Estos conjuntos de cilindros generan una σ-álgebra , la σ-álgebra de Borel ; esta es la σ-álgebra más pequeña que contiene la topología. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

Defina una función , llamada coeficiente de mezcla fuerte , como ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

para todos . El símbolo , con denota una sub-σ-álgebra del σ-álgebra; es el conjunto de conjuntos de cilindros que se especifican entre los tiempos a y b , es decir, el σ-álgebra generada por . ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$ ${\displaystyle X_{a}^{b}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$ ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$

Se dice que el proceso se mezcla fuertemente si es así . Es decir, un proceso de mezcla fuerte es tal que, de manera uniforme en todos los tiempos y en todos los eventos, los eventos antes del tiempo y los eventos después del tiempo tienden a ser independientes como ; De manera más coloquial, el proceso, en un sentido fuerte, olvida su historia. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Mezclado en procesos de Markov

Supongamos que fuera un proceso de Markov estacionario con distribución estacionaria y denotemos el espacio de funciones medibles de Borel que son integrables al cuadrado con respecto a la medida . también deja ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

denota el operador de expectativa condicional en Finalmente, dejemos ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

denota el espacio de funciones integrables al cuadrado con media cero.

Los coeficientes de mezcla ρ del proceso { x _t } son

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

El proceso se llama ρ -mezcla si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , y “ ρ -mezcla con tasa de caída exponencial” si ρ _t < e ^{− δt} para algunos δ > 0 . Para un proceso de Markov estacionario, los coeficientes ρ _t pueden decaer a un ritmo exponencial o ser siempre iguales a uno. ^[2]

Los coeficientes de mezcla α del proceso { x _t } son

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

El proceso se llama mezcla α si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , es “mezcla α con tasa de decaimiento exponencial” si α _t < γe ^{− δt} para algún δ > 0 , y es mezcla α con un tasa de caída subexponencial si α _t < ξ ( t ) para alguna función no creciente que satisfaga ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como . ^[2] ${\displaystyle t\to \infty }$

Los coeficientes de mezcla α son siempre menores que los de mezcla ρ : α _t ≤ ρ _t , por lo tanto, si el proceso es de mezcla ρ , necesariamente será de mezcla α también. Sin embargo, cuando ρ _t = 1 , el proceso aún puede ser de mezcla α , con una tasa de caída subexponencial.

Los coeficientes de mezcla β están dados por

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

El proceso se llama mezcla β si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , es mezcla β con una tasa de decaimiento exponencial si β _t < γe ^{− δt} para algunos δ > 0 , y es mezcla β con una sub -tasa de caída exponencial si β _t ξ ( t ) → 0 como t → ∞ para alguna función no creciente que satisfaga ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como . ^[2] ${\displaystyle t\to \infty }$

Un proceso de Markov estrictamente estacionario es β -mezclado si y sólo si es una cadena de Harris recurrente aperiódica . Los coeficientes de mezcla β son siempre mayores que los de mezcla α , por lo que si un proceso es de mezcla β también será de mezcla α . No existe una relación directa entre β -mezcla y ρ -mezcla: ninguna de ellas implica la otra.

Referencias

• VI Arnold y A. Avez, Problemas ergódicos de la mecánica clásica , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Achim Klenke, Teoría de la probabilidad , (2006) Springer ISBN  978-1-84800-047-6
• Chen, Xiaohong; Hansen, Lars Peter; Carrasco, Marina (2010). "No linealidad y dependencia temporal". Revista de Econometría . 155 (2): 155-169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . doi :10.1016/j.jeconom.2009.10.001. S2CID  10567129.

1. Matthew Nicol y Karl Petersen, (2009) "Teoría ergódica: construcciones y ejemplos básicos", Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Chen, Hansen y Carrasco (2010)