Tensor métrico (relatividad general)

Tensor que describe la geometría 4D del espacio-tiempo

En la relatividad general , el tensor métrico (que en este contexto suele abreviarse simplemente como métrica ) es el objeto fundamental de estudio. La métrica captura toda la estructura geométrica y causal del espacio-tiempo , y se utiliza para definir nociones como tiempo, distancia, volumen, curvatura, ángulo y separación del futuro y el pasado.

En la relatividad general, el tensor métrico desempeña el papel del potencial gravitatorio en la teoría clásica de la gravitación, aunque el contenido físico de las ecuaciones asociadas es completamente diferente. ^[1] Gutfreund y Renn dicen "que en la relatividad general el potencial gravitatorio está representado por el tensor métrico". ^[2]

Notación y convenciones

Este artículo trabaja con una firma métrica que es mayoritariamente positiva ( − + + + ); consulte la convención de signos . La constante de gravitación se mantendrá explícita. Este artículo emplea la convención de suma de Einstein , donde los índices repetidos se suman automáticamente. ${\displaystyle G}$

Definición

Matemáticamente, el espacio-tiempo se representa mediante una variedad diferenciable de cuatro dimensiones y el tensor métrico se da como un tensor covariante , de segundo grado y simétrico en , denotado convencionalmente por . Además, se requiere que la métrica sea no degenerada con signatura (− + + +) . Una variedad equipada con una métrica de este tipo es un tipo de variedad lorentziana . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Explícitamente, el tensor métrico es una forma bilineal simétrica en cada espacio tangente de que varía de manera suave (o diferenciable) de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes y en un punto en , la métrica se puede evaluar en y para dar un número real: Esta es una generalización del producto escalar del espacio euclidiano ordinario . A diferencia del espacio euclidiano, donde el producto escalar es definido positivo , la métrica es indefinida y da a cada espacio tangente la estructura del espacio de Minkowski . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$

Coordenadas locales y representaciones matriciales

Los físicos suelen trabajar en coordenadas locales (es decir, coordenadas definidas en algún parche local de ). En coordenadas locales (donde es un índice que va de 0 a 3), la métrica se puede escribir en la forma Los factores son gradientes de una forma de los campos de coordenadas escalares . La métrica es, por tanto, una combinación lineal de productos tensoriales de gradientes de una forma de coordenadas. Los coeficientes son un conjunto de 16 funciones de valor real (ya que el tensor es un campo tensorial , que se define en todos los puntos de una variedad espaciotemporal ). Para que la métrica sea simétrica, se obtienen 10 coeficientes independientes. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$ ${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$

Si se especifican las coordenadas locales, o se entienden a partir del contexto, la métrica se puede escribir como una matriz simétrica de 4 × 4 con entradas . La no degeneración de significa que esta matriz no es singular (es decir, tiene determinante no nulo), mientras que la firma lorentziana de implica que la matriz tiene un valor propio negativo y tres positivos . Los físicos a menudo se refieren a esta matriz o a las coordenadas mismas como la métrica (véase, sin embargo, la notación de índice abstracto ). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Considerando las cantidades como los componentes de un desplazamiento de coordenadas infinitesimal de cuatro vectores (que no debe confundirse con las formas unitarias de la misma notación mencionadas anteriormente), la métrica determina el cuadrado invariante de un elemento de línea infinitesimal , a menudo denominado intervalo . El intervalo a menudo se denota ${\displaystyle dx^{\mu }}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

El intervalo imparte información sobre la estructura causal del espacio-tiempo . Cuando , el intervalo es temporal y la raíz cuadrada del valor absoluto de es un tiempo propio incremental . Solo los intervalos temporales pueden ser atravesados ​​físicamente por un objeto masivo. Cuando , el intervalo es similar a la luz y solo puede ser atravesado por cosas (sin masa) que se mueven a la velocidad de la luz. Cuando , el intervalo es similar al espacio y la raíz cuadrada de actúa como una longitud propia incremental . Los intervalos similares al espacio no pueden atravesarse, ya que conectan eventos que están fuera de los conos de luz de cada uno . Los eventos pueden estar relacionados causalmente solo si están dentro de los conos de luz de cada uno. ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}<0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

Los componentes de la métrica dependen de la elección del sistema de coordenadas local. Ante un cambio de coordenadas , los componentes de la métrica se transforman como ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ $${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

Propiedades

El tensor métrico juega un papel clave en la manipulación de índices . En la notación de índices, los coeficientes del tensor métrico proporcionan un vínculo entre los componentes covariantes y contravariantes de otros tensores. Contraer el índice contravariante de un tensor con uno de los coeficientes de un tensor métrico covariante tiene el efecto de reducir el índice y, de manera similar, un coeficiente métrico contravariante aumenta el índice. Aplicar esta propiedad de aumentar y disminuir los índices a los propios componentes del tensor métrico conduce a la propiedad Para una métrica diagonal (una para la cual los coeficientes ; es decir, los vectores base son ortogonales entre sí), esto implica que un coeficiente covariante dado del tensor métrico es el inverso del coeficiente contravariante correspondiente , etc. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$ $${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$

Ejemplos

Espacio-tiempo plano

El ejemplo más simple de una variedad lorentziana es el espacio-tiempo plano , que se puede dar como R ⁴ con coordenadas y la métrica Estas coordenadas en realidad cubren todo R ⁴ . La métrica del espacio plano (o métrica de Minkowski ) a menudo se denota con el símbolo η y es la métrica utilizada en la relatividad especial . En las coordenadas anteriores, la representación matricial de η es (Una convención alternativa reemplaza la coordenada por , y define como en el espacio de Minkowski § Base estándar .) ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$ $${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \eta }$

En coordenadas esféricas , la métrica del espacio plano toma la forma donde es la métrica estándar en la 2-esfera . ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ $${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$$

Métricas de agujeros negros

La métrica de Schwarzschild describe un agujero negro sin carga y sin rotación. También existen métricas que describen agujeros negros con carga y rotación.

Métrica de Schwarzschild

Además de la métrica del espacio plano, la métrica más importante en la relatividad general es la métrica de Schwarzschild , que se puede dar en un conjunto de coordenadas locales mediante donde, de nuevo, es la métrica estándar en la 2-esfera . Aquí, es la constante de gravitación y es una constante con las dimensiones de la masa . Su derivación se puede encontrar aquí . La métrica de Schwarzschild se aproxima a la métrica de Minkowski cuando tiende a cero (excepto en el origen donde no está definida). De manera similar, cuando tiende a infinito, la métrica de Schwarzschild se aproxima a la métrica de Minkowski. $${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

Con coordenadas la métrica se puede escribir como $${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$$

Se han ideado varios otros sistemas de coordenadas para la métrica de Schwarzschild: coordenadas de Eddington-Finkelstein , coordenadas de Gullstrand-Painlevé , coordenadas de Kruskal-Szekeres y coordenadas de Lemaître .

Agujeros negros giratorios y cargados

La solución de Schwarzschild supone un objeto que no gira en el espacio y no tiene carga. Para tener en cuenta la carga, la métrica debe satisfacer las ecuaciones de campo de Einstein como antes, así como las ecuaciones de Maxwell en un espacio-tiempo curvo. Una masa cargada y que no gira se describe mediante la métrica de Reissner-Nordström .

Los agujeros negros giratorios se describen mediante la métrica de Kerr (sin carga) y la métrica de Kerr-Newman (con carga). ^{[ se necesita más explicación ]}

Otras métricas

Otras métricas notables son:

• Métrica de Alcubierre ,
• Métricas de de Sitter / anti-de Sitter ,
• Métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker ,
• Coordenadas isotrópicas ,
• Métrica de Lemaître-Tolman ,
• Métrica de Peres ,
• Coordenadas de Rindler ,
• Coordenadas Weyl–Lewis–Papapetrou ,
• Métrica de Gödel .

Algunos de ellos carecen de horizonte de sucesos o pueden carecer de singularidad gravitacional .

Volumen

La métrica g induce una forma de volumen natural (hasta un signo), que puede utilizarse para integrar sobre una región de una variedad. Dadas las coordenadas locales de la variedad, la forma de volumen puede escribirse donde es el determinante de la matriz de componentes del tensor métrico para el sistema de coordenadas dado. ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$ ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$

Curvatura

La métrica determina completamente la curvatura del espacio-tiempo. Según el teorema fundamental de la geometría de Riemann , existe una única conexión ∇ en cualquier variedad semi-riemanniana que sea compatible con la métrica y libre de torsión . Esta conexión se llama conexión de Levi-Civita . Los símbolos de Christoffel de esta conexión se dan en términos de derivadas parciales de la métrica en coordenadas locales mediante la fórmula (donde las comas indican derivadas parciales ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$

La curvatura del espacio-tiempo viene dada por el tensor de curvatura de Riemann, que se define en términos de la conexión de Levi-Civita ∇. En coordenadas locales, este tensor viene dado por: $${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

La curvatura se puede entonces expresar puramente en términos de la métrica y sus derivadas. ${\displaystyle g}$

Las ecuaciones de Einstein

Una de las ideas centrales de la relatividad general es que la métrica (y la geometría asociada del espacio-tiempo) está determinada por el contenido de materia y energía del espacio-tiempo . Ecuaciones de campo de Einstein : donde el tensor de curvatura de Ricci y la curvatura escalar relacionan la métrica (y los tensores de curvatura asociados) con el tensor de tensión-energía . Esta ecuación tensorial es un conjunto complicado de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para los componentes métricos. Las soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein son muy difíciles de encontrar. $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$ $${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Véase también

• Alternativas a la relatividad general
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Matemáticas de la relatividad general
• Cálculo de Ricci

Referencias

1. Para más detalles, véase la Sección 2.11, El tensor métrico y el potencial gravitacional clásico , en Chow, Tai L. (2008). Gravedad, agujeros negros y el universo muy temprano: una introducción a la relatividad general y la cosmología. Springer. ISBN 9780387736310.
2. Gutfreund, Hanoch; Renn, Jürgen (2015). El camino hacia la relatividad: la historia y el significado de "Los fundamentos de la relatividad general" de Einstein, que incluye el manuscrito original de la obra maestra de Einstein. Princeton University Press. pág. 75. ISBN 9780691175812.

• Consulte los recursos de relatividad general para obtener una lista de referencias.