Método de momentos (electromagnética)

Método numérico en electromagnetismo computacional.

Simulación de refracción negativa de una metasuperficie a 15 GHz para diferentes ángulos de incidencia. Las simulaciones se realizan mediante el método de momentos.

El método de los momentos ( MoM ), también conocido como método de momentos y método de residuos ponderados , ^[1] es un método numérico en electromagnetismo computacional . Se utiliza en programas informáticos que simulan la interacción de campos electromagnéticos , como ondas de radio, con la materia, por ejemplo, programas de simulación de antenas como NEC que calculan el patrón de radiación de una antena. Generalmente, al ser un método en el dominio de la frecuencia , ^[a] implica la proyección de una ecuación integral en un sistema de ecuaciones lineales mediante la aplicación de condiciones de contorno apropiadas . Esto se hace mediante el uso de mallas discretas como en los métodos de diferencias finitas y elementos finitos , a menudo para la superficie. Las soluciones se representan con la combinación lineal de funciones base predefinidas ; generalmente, los coeficientes de estas funciones básicas son las incógnitas buscadas. Las funciones de Green y el método de Galerkin juegan un papel central en el método de los momentos.

Para muchas aplicaciones, el método de los momentos es idéntico al método de los elementos de contorno . ^[b] Es uno de los métodos más comunes en la ingeniería de antenas y microondas .

Historia

El desarrollo del método de elementos límite y otros métodos similares para diferentes aplicaciones de ingeniería está asociado con la llegada de la computación digital en los años 1960 . ^[6] Antes de esto, los métodos variacionales se aplicaban a problemas de ingeniería en frecuencias de microondas en la época de la Segunda Guerra Mundial . ^[7] Mientras que Julian Schwinger y Nathan Marcuvitz han compilado estos trabajos respectivamente en notas de conferencias y libros de texto, ^{[8] [9]} Victor Rumsey formuló estos métodos en el "concepto de reacción" en 1954. ^[10] Más tarde se demostró que el concepto ser equivalente al método Galerkin . ^{[7] A finales de la década de 1950,} Yuen Lo presentó una versión temprana del método de los momentos en un curso sobre métodos matemáticos en teoría electromagnética en la Universidad de Illinois . ^[11]

Un esquema y patrón de radiación de una antena en espiral logarítmica , diseñado con un software de modelado basado en NEC

En la década de 1960, Kenneth Mei, Jean van Bladel ^[12] y Jack Richmond publicaron los primeros trabajos de investigación sobre el método . ^{[13] En la misma década,} Roger Harrington formalizó en gran medida la teoría sistemática del método de los momentos en el electromagnetismo . ^[14] Mientras que el término "el método de los momentos" fue acuñado anteriormente por Leonid Kantorovich y Gleb Akilov para aplicaciones numéricas análogas, ^[15] Harrington ha adaptado el término para la formulación electromagnética. ^[7] Harrington publicó el libro de texto fundamental Field Computation by Moment Methods sobre el método del momento en 1968. ^[14] El desarrollo del método y sus indicaciones en ingeniería de radares y antenas atrajeron el interés; Posteriormente, la investigación del MoM recibió apoyo del gobierno de los Estados Unidos . El método se popularizó aún más con la introducción de códigos generalizados de modelado de antenas, como el Código Electromagnético Numérico , que fue lanzado al dominio público por el gobierno de los Estados Unidos a finales de los años 1980. ^{[16] [17]} En la década de 1990, la introducción de métodos multipolares rápidos y multipolares rápidos multinivel permitió soluciones MoM eficientes a problemas con millones de incógnitas. ^{[18] [19] [20]}

Siendo una de las técnicas de simulación más comunes en ingeniería de RF y microondas , el método de momentos forma la base de muchos software de diseño comercial como FEKO . ^[21] También están disponibles muchos códigos de dominio público y no comerciales de diferentes sofisticaciones. ^[22] Además de su uso en ingeniería eléctrica, el método de los momentos se ha aplicado a la dispersión de la luz ^[23] y a problemas plasmónicos . ^{[24] [25] [26]}

Fondo

Conceptos básicos

Una ecuación integral no homogénea se puede expresar como: donde L denota un operador lineal , g denota la función forzada conocida y f denota la función desconocida. f puede aproximarse mediante un número finito de funciones básicas ( ): $${\displaystyle L(f)=g}$$ ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle f\approx \sum _{n}^{N}a_{n}f_{n}.}$$

Por linealidad , la sustitución de esta expresión en la ecuación produce: $${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})\approx g.}$$

También podemos definir un residual para esta expresión, que denota la diferencia entre la solución real y la aproximada: $${\displaystyle R=\sum _{n}^{N}a_{n}L(f_{n})-g}$$

El objetivo del método de los momentos es minimizar este residual, lo que se puede hacer mediante el uso de funciones de prueba o ponderación apropiadas, de ahí el nombre de método de residuos ponderados. ^[27] Después de determinar un producto interno adecuado para el problema, la expresión queda entonces: $${\displaystyle \sum _{n}^{N}a_{n}\langle w_{m},L(f_{n})\rangle \approx \langle w_{m},g\rangle }$$

Por tanto, la expresión se puede representar en forma matricial: $${\displaystyle \left[\ell _{mn}\right]\left[\alpha _{m}\right]=[g_{n}]}$$

La matriz resultante a menudo se denomina matriz de impedancia. ^[28] Los coeficientes de las funciones base se pueden obtener invirtiendo la matriz . ^[29] Para matrices grandes con una gran cantidad de incógnitas, se pueden utilizar métodos iterativos como el método del gradiente conjugado para la aceleración . ^[30] Las distribuciones de campo reales se pueden obtener a partir de los coeficientes y las integrales asociadas. ^[31] Las interacciones entre cada función básica en MoM están garantizadas por la función de Green del sistema. ^[32]

Funciones básicas y de prueba.

Interpolación de funciones con funciones básicas de tejado

Se pueden elegir diferentes funciones base para modelar el comportamiento esperado de la función desconocida en el dominio; estas funciones pueden ser subseccionales o globales. ^[33] La elección de la función delta de Dirac como función base se conoce como coincidencia de puntos o colocación . Esto corresponde a imponer las condiciones de contorno en puntos discretos y a menudo se usa para obtener soluciones aproximadas cuando la operación del producto interno es complicada de realizar. ^{[34] [35]} Otras funciones de base subseccionales incluyen funciones de pulso , triangulares por partes, sinusoidales por partes y de techo. ^[33] Los parches triangulares, introducidos por S. Rao, D. Wilton y A. Glisson en 1982, ^[36] se conocen como funciones de base RWG y se utilizan ampliamente en MoM. ^[37] También se introdujeron funciones de base características para acelerar el cálculo y reducir la ecuación matricial. ^{[38] [39]} ${\displaystyle N}$

Las funciones de prueba y base a menudo se eligen para que sean las mismas; esto se conoce como método Galerkin . ^[29] Dependiendo de la aplicación y la estructura estudiada, las funciones de prueba y base deben elegirse adecuadamente para garantizar la convergencia y precisión, así como para evitar posibles singularidades algebraicas de alto orden . ^[40]

Ecuaciones integrales

Dependiendo de la aplicación y de las variables buscadas, en MoM se utilizan diferentes ecuaciones integrales o integro-diferenciales . La radiación y la dispersión producidas por estructuras de alambres delgados, como muchos tipos de antenas, pueden modelarse mediante ecuaciones especializadas. ^[41] Para problemas de superficie, las formulaciones de ecuaciones integrales comunes incluyen la ecuación integral de campo eléctrico (EFIE), la ecuación integral de campo magnético (MFIE) ^[42] y la ecuación integral de potencial mixto (MPIE). ^[43]

Ecuaciones de alambre fino

Como muchas estructuras de antena se pueden aproximar como cables, las ecuaciones de cables delgados son de interés en aplicaciones MoM. Dos ecuaciones de alambre fino comúnmente utilizadas son las ecuaciones integrodiferenciales de Pocklington y Hallén. ^[44] La ecuación de Pocklington precede a las técnicas computacionales, ya que fue introducida en 1897 por Henry Cabourn Pocklington . ^[45] Para un alambre lineal que está centrado en el origen y alineado con el eje z, la ecuación se puede escribir como: donde y denotan la longitud total y el espesor, respectivamente. es la función de Green para el espacio libre. La ecuación se puede generalizar a diferentes esquemas de excitación, incluidos los volantes magnéticos . ^[46] $${\displaystyle \int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')\left[\left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)G(z,z')\right]\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G(z,z')}$

La ecuación integral de Hallén, publicada por E. Hallén en 1938, ^[47] puede expresarse como: $${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+\beta ^{2}\right)\int _{-l/2}^{l/2}I_{z}(z')G(z,z')\,dz'=-j\omega \varepsilon E_{z}^{\text{inc}}(p=a)}$$

Esta ecuación, a pesar de comportarse mejor que la ecuación de Pocklington, ^[48] generalmente está restringida a las excitaciones de voltaje delta-gap en el punto de alimentación de la antena , que se puede representar como un campo eléctrico impreso. ^[46]

Ecuación integral del campo eléctrico (EFIE)

La forma general de la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE) se puede escribir como: ¿ dónde está el campo eléctrico incidente o impresionado? es la función de Green para la ecuación de Helmholtz y representa la impedancia de onda . Las condiciones límite se cumplen en una superficie PEC definida . EFIE es una ecuación integral de Fredholm de primer tipo. ^[42] $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {E} ^{\text{inc}}(\mathbf {r} )={\hat {\mathbf {n} }}\times \int _{S}\left[\eta jk\,\mathbf {J} (\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\frac {\eta }{jk}}\left\{{\boldsymbol {\nabla }}_{s}'\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\right\}{\boldsymbol {\nabla }}'G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\right]\,dS'}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{inc}}}$ ${\displaystyle G(r,r')}$ ${\displaystyle \eta }$

Ecuación integral del campo magnético (MFIE)

Otra ecuación integral comúnmente utilizada en MoM es la ecuación integral del campo magnético (MFIE), que se puede escribir como: $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbf {J} (r)+{\hat {\mathbf {n} }}\times \oint _{S}\mathbf {J} (r')\times {\boldsymbol {\nabla }}'G(r,r')\,dS'={\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {H} _{\text{inc}}(r)}$$

MFIE a menudo se formula como una ecuación integral de Fredholm del segundo tipo y generalmente está bien planteada . Sin embargo, la formulación requiere el uso de superficies cerradas, lo que limita sus aplicaciones. ^[42]

Otras formulaciones

Existen muchas formulaciones integrales de superficie y volumen diferentes para MoM. En muchos casos, las EFIE se convierten en ecuaciones integrales de potencial mixto (MFIE) mediante el uso de la condición de calibre de Lorenz ; esto tiene como objetivo reducir los órdenes de singularidades mediante el uso de potenciales eléctricos escalares y vectoriales magnéticos . ^{[49] [50]} Para evitar el problema de la resonancia interna en los cálculos de dispersión dieléctrica, también se utilizan las formulaciones de ecuación integral de campo combinado (CFIE) y Poggio—Miller—Chang—Harrington—Wu—Tsai (PMCHWT). ^[51] Otro enfoque, la ecuación integral volumétrica, requiere la discretización de los elementos de volumen y, a menudo, es costosa desde el punto de vista computacional. ^[52]

MoM también se puede integrar con la teoría de la óptica física ^[53] y el método de elementos finitos . ^[54]

funciones del verde

Un esquema de microcinta . El análisis MoM de tales estructuras en capas requiere la derivación de funciones de Green apropiadas.

Se debe conocer la función de Green adecuada para la estructura estudiada para formular matrices MoM: la incorporación automática de la condición de radiación en la función de Green hace que MoM sea particularmente útil para problemas de radiación y dispersión. Aunque la función de Green se puede derivar en forma cerrada para casos muy simples, las estructuras más complejas requieren la derivación numérica de estas funciones. ^[55]

El análisis de onda completa de estructuras estratificadas planamente en particular, como microcintas o antenas de parche , requiere la derivación de funciones de Green de dominio espacial que son peculiares de estas geometrías. ^{[50] [56]} Sin embargo, esto implica la transformada inversa de Hankel de la función espectral de Green, que se define en la ruta de integración de Sommerfeld. Esta integral no se puede evaluar analíticamente y su evaluación numérica suele ser computacionalmente costosa debido a los núcleos oscilatorios y la naturaleza de lenta convergencia de la integral. ^[57] Tras la extracción de componentes cuasiestáticos y de polos de superficie , estas integrales se pueden aproximar como exponenciales complejas de forma cerrada mediante el método de Prony o el método generalizado del lápiz de función ; por lo tanto, las funciones espaciales de Green se pueden derivar mediante el uso de identidades apropiadas como la identidad de Sommerfeld . ^{[58] [59] [60]} Este método se conoce en la literatura sobre electromagnetismo computacional como método de imagen compleja discreta (DCIM), ya que la función de Green se aproxima efectivamente con un número discreto de dipolos de imagen que se encuentran dentro de una distancia compleja de el origen. ^[61] Las funciones de Green asociadas se denominan funciones de Green de forma cerrada. ^{[59] [60]} El método también se ha ampliado para estructuras de capas cilíndricas. ^[62]

El método de ajuste de funciones racionales, ^{[63] [64]} , así como sus combinaciones con DCIM, ^[60], también se pueden utilizar para aproximar las funciones de Green en forma cerrada. Alternativamente, la función de Green de forma cerrada se puede aproximar mediante el método del descenso más pronunciado . ^[65] Para las estructuras periódicas , como las matrices en fase , la suma de Ewald se utiliza a menudo para acelerar el cálculo de la función periódica de Green. ^[66]

Ver también

• Método del elemento límite
• Análisis de modo característico
• Aproximación dipolo discreta
• Método multipolar rápido
• método de elementos finitos
• Método multipolar rápido multinivel

Notas

1. Si bien el método se formula comúnmente en el dominio de la frecuencia, en la literatura se han informado formulaciones en el dominio del tiempo (MoM-TD). ^{[2] [3] [4]}
2. Para formulaciones integrales de superficie, el método de los momentos y el método del elemento límite son sinónimos: el nombre "método de los momentos" es particularmente utilizado por la comunidad electromagnética. Sin embargo, en MoM también están presentes determinadas formulaciones volumétricas. ^[5]

Referencias

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