Método generalizado del lápiz de funciones

Extracción de dos sinusoides a partir de datos ruidosos mediante el método GPOF

El método generalizado de lápiz de función ( GPOF ), también conocido como método de lápiz matricial , es una técnica de procesamiento de señales para estimar una señal o extraer información con exponenciales complejos . Al ser similar a Prony y a los métodos de lápiz de función originales, generalmente se prefiere a estos por su robustez y eficiencia computacional. ^[1]

El método fue desarrollado originalmente por Yingbo Hua y Tapan Sarkar para estimar el comportamiento de los sistemas electromagnéticos por su respuesta transitoria, basándose en el trabajo anterior de Sarkar sobre el método original del lápiz de funciones. ^{[1] [2]} El método tiene una gran cantidad de aplicaciones en ingeniería eléctrica , particularmente relacionadas con problemas en electromagnetismo computacional , ingeniería de microondas y teoría de antenas . ^[1]

Método

Base matemática

Una señal electromagnética transitoria se puede representar como: ^[3]

${\displaystyle y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+n(t);0\leq t\leq T,}$

dónde

${\displaystyle y(t)}$es la señal observada en el dominio del tiempo,

${\displaystyle n(t)}$¿Es el ruido de la señal ?

${\displaystyle x(t)}$es la señal real,

${\displaystyle R_{i}}$son los residuos ( ), ${\displaystyle R_{i}}$

${\displaystyle s_{i}}$son los polos del sistema, definidos como , ${\displaystyle s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}}$

${\displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha _{i}+j\omega _{i})T_{s}}}$por las identidades de la transformada Z ,

${\displaystyle \alpha _{i}}$son los factores de amortiguamiento y

${\displaystyle \omega _{i}}$son las frecuencias angulares .

La misma secuencia, muestreada por un periodo de , puede escribirse de la siguiente manera: ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M}$,

Las estimaciones generalizadas de función de lápiz son las óptimas y las de ^[4] . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Análisis sin ruido

Para el caso sin ruido, se producen dos matrices, y : ^[3] ${\displaystyle (N-L)\times L}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L-1)&x(N-L)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L};}$  ${\displaystyle [Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L}}$

donde se define como el parámetro lápiz y se puede descomponer en las siguientes matrices: ^[3] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]}$

dónde

${\displaystyle [Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(N-L-1)}&z_{2}^{(N-L-1)}&\cdots &z_{M}^{(N-L-1)}\end{bmatrix}}_{(N-L)\times M};}$  ${\displaystyle [Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}}$

${\textstyle [Z_{0}]}$y son matrices diagonales con valores y colocados secuencialmente , respectivamente. ^[3] ${\textstyle [B]}$ ${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle z_{i}}$ ${\textstyle R_{i}}$

Si , los valores propios generalizados de la matriz lápiz ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$

${\displaystyle [Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}$

Se obtienen los polos del sistema, que son . Luego, los vectores propios generalizados se pueden obtener mediante las siguientes identidades: ^[3] ${\displaystyle \lambda =z_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};}$     ${\displaystyle i=1,...,M}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};}$     ${\displaystyle i=1,...,M}$

donde denota la inversa de Moore-Penrose , también conocida como pseudoinversa. Se puede emplear la descomposición en valores singulares para calcular la pseudoinversa. ${\displaystyle ^{+}}$

Filtrado de ruido

Si hay ruido presente en el sistema y se combinan en una matriz de datos general, : ^[3] ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$ ${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}}$

donde son los datos ruidosos. Para un filtrado eficiente , se elige L entre y . Una descomposición en valores singulares en da como resultado: ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {N}{2}}}$ ${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}}$

En esta descomposición, y son matrices unitarias con respectivos vectores propios y y es una matriz diagonal con valores singulares de . El superíndice denota la transpuesta conjugada . ^{[3] [4]} ${\textstyle [U]}$ ${\textstyle [V]}$ ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$ ${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$ ${\textstyle [\Sigma ]}$ ${\textstyle [Y]}$ ${\textstyle H}$

A continuación, se elige el parámetro que se va a filtrar. Los valores singulares posteriores a , que se encuentran por debajo del umbral de filtrado, se establecen en cero; para un valor singular arbitrario , el umbral se denota mediante la siguiente fórmula: ^[1] ${\textstyle M}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}}$,

${\textstyle \sigma _{max}}$y p son el valor singular máximo y los dígitos decimales significativos , respectivamente. Para datos con dígitos significativos precisos hasta p , los valores singulares inferiores se consideran ruido. ^[4] ${\textstyle 10^{-p}}$

${\textstyle [V_{1}']}$y se obtienen eliminando la última y la primera fila y columna de la matriz filtrada , respectivamente; las columnas de representan . Las matrices filtradas y se obtienen como: ^[4] ${\textstyle [V_{2}']}$ ${\textstyle [V']}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle [\Sigma ]}$ ${\textstyle [\Sigma ']}$ ${\textstyle [Y_{1}]}$ ${\textstyle [Y_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}}$

El prefiltrado se puede utilizar para combatir el ruido y mejorar la relación señal-ruido (SNR). ^[1] El método de lápiz de matriz de paso de banda (BPMP) es una modificación del método GPOF a través de filtros de paso de banda FIR o IIR . ^{[1] [5]}

GPOF puede manejar una relación señal/ruido de hasta 25 dB. Para GPOF, así como para BPMP, la varianza de las estimaciones alcanza aproximadamente el límite de Cramér-Rao . ^{[3] [5] [4]}

Cálculo de residuos

Los residuos de los polos complejos se obtienen mediante el problema de mínimos cuadrados : ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}}$

Aplicaciones

El método se utiliza generalmente para la evaluación de forma cerrada de integrales de Sommerfeld en el método de imagen compleja discreta para aplicaciones del método de momentos , donde la función de Green espectral se aproxima como una suma de exponenciales complejos. ^{[1] [6]} Además, el método se utiliza en análisis de antenas , estimación de parámetros S en circuitos integrados de microondas , análisis de propagación de ondas, indicación de objetivos en movimiento , procesamiento de señales de radar , ^{[1] [7] [8]} y aceleración en serie en problemas electromagnéticos. ^[9]

Véase también

• Estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional
• Problema de valor propio generalizado
• Lápiz matriz
• MÚSICA (algoritmo)
• El método de Prony

Referencias

1. Sarkar, TK ; Pereira, O. (febrero de 1995). "Uso del método del lápiz matricial para estimar los parámetros de una suma de exponenciales complejos". Revista IEEE Antennas and Propagation . 37 (1): 48–55. Bibcode :1995IAPM...37...48S. doi :10.1109/74.370583.
2. Sarkar, T. ; Nebat, J.; Weiner, D.; Jain, V. (noviembre de 1980). "Aproximación/identificación subóptima de formas de onda transitorias de sistemas electromagnéticos mediante el método del lápiz de función". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 28 (6): 928–933. Bibcode :1980ITAP...28..928S. doi :10.1109/TAP.1980.1142411.
3. Hua, Y.; Sarkar, TK (febrero de 1989). "Método generalizado de lápiz de función para extraer polos de un sistema EM a partir de su respuesta transitoria". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 37 (2): 229–234. Bibcode :1989ITAP...37..229H. doi :10.1109/8.18710.
4. Hua, Y.; Sarkar, TK (mayo de 1990). "Método de lápiz matricial para estimar parámetros de sinusoides exponencialmente amortiguados/no amortiguados en ruido". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 38 (5): 814–824. doi :10.1109/29.56027.
5. Hu, Fengduo; Sarkar, TK ; Hua, Yingbo (enero de 1993). "Utilización del filtrado de paso de banda para el método de lápiz matricial". IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (1): 442–446. Bibcode :1993ITSP...41..442H. doi :10.1109/TSP.1993.193174.
6. Dural, G.; Aksun, MI (julio de 1995). "Funciones de Green de forma cerrada para fuentes generales y medios estratificados". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 43 (7): 1545–1552. Bibcode :1995ITMTT..43.1545D. doi :10.1109/22.392913. hdl : 11693/10756 .
7. Kahrizi, M.; Sarkar, TK ; Maricevic, ZA (enero de 1994). "Análisis de una ranura radiante ancha en el plano de tierra de una línea de microbanda". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 41 (1): 29–37. doi :10.1109/22.210226.
8. Hua, Y. (enero de 1994). "Imágenes de alta resolución de objetos en continuo movimiento utilizando un radar de frecuencia escalonada". Procesamiento de señales . 35 (1): 33–40. doi :10.1016/0165-1684(94)90188-0.
9. Karabulut, E. Pınar; Ertürk, Vakur B.; Alatan, Lale; Karan, S.; Alişan, Burak; Aksun, MI (2016). "Un nuevo enfoque para el cálculo eficiente de sumas 1-D y 2-D". IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 64 (3): 1014–1022. Bibcode :2016ITAP...64.1014K. doi :10.1109/TAP.2016.2521860.