Lápiz matriz

En álgebra lineal , una matriz lápiz es una función polinómica con valores matricial definida en un campo , generalmente números reales o complejos . ${\displaystyle K}$

Definición

Sea un campo (normalmente, ; la definición se puede generalizar a números aleatorios ), sea un entero no negativo, sea un entero positivo y sean matrices (es decir, para todos los ). Entonces, la matriz lápiz definida por es la función matricial definida por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle \ell \geq 0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell }}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A_{i}\in \mathrm {Mat} (K,n\times n)}$ ${\displaystyle i=0,\dots ,\ell }$ ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{\ell }}$ ${\displaystyle L\colon K\to \mathrm {Mat} (K,n\times n)}$

${\displaystyle L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.}$

El grado de la matriz lápiz se define como el mayor entero tal que (la matriz cero sobre ). ${\displaystyle 0\leq k\leq \ell }$ ${\displaystyle A_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle K}$

Lápices de matriz lineal

Un caso particular es una matriz lineal lápiz (donde ). ^[1] La denotamos brevemente con la notación , y notamos que usando la notación más general, y (no ). ${\displaystyle L(\lambda )=A-\lambda B}$ ${\displaystyle B\neq 0}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A_{0}=A}$ ${\displaystyle A_{1}=-B}$ ${\displaystyle B}$

Propiedades

Un lápiz se llama regular si hay al menos un valor de tal que ; de lo contrario se llama singular. Llamamos valores propios de una matriz lápiz a todos los números (complejos) para los cuales ; en particular, los valores propios de la matriz lápiz son los valores propios de la matriz de . Para lápices lineales en particular, los valores propios del lápiz también se llaman valores propios generalizados. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \det(L(\lambda ))\neq 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \det(L(\lambda ))=0}$ ${\displaystyle (A,I)}$ ${\displaystyle A}$

El conjunto de los valores propios de un lápiz se denomina espectro del lápiz y se escribe . Para el lápiz lineal , se escribe como (no ). ${\displaystyle \sigma (A_{0},\dots ,A_{\ell })}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle \sigma (A,B)}$ ${\displaystyle \sigma (A,-B)}$

Se dice que el lápiz lineal tiene uno o más valores propios en el infinito si tiene uno o más valores propios 0. ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle B}$

Aplicaciones

Los lápices matriciales desempeñan un papel importante en el álgebra lineal numérica . El problema de encontrar los valores propios de un lápiz se denomina problema de valores propios generalizado . El algoritmo más popular para esta tarea es el algoritmo QZ , que es una versión implícita del algoritmo QR para resolver el problema de valores propios sin invertir la matriz (lo que es imposible cuando es singular o numéricamente inestable cuando está mal condicionada ). ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Lápices generados mediante matrices conmutativas

Si , entonces el lápiz generado por y : ^[2] ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. consiste únicamente en matrices similares a una matriz diagonal , o
2. no tiene matrices similares a una matriz diagonal, o
3. tiene exactamente una matriz similar a una matriz diagonal.

Véase también

• Problema de valor propio generalizado
• Método generalizado del lápiz de funciones
• Problema propio no lineal
• Problema de valor propio cuadrático
• Cociente de Rayleigh generalizado

Notas

1. Préstamo Golub y Van (1996, pág. 375)
2. Marcus y Minc (1969, pág. 79)

Referencias

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Marcus y Minc (1969), Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades matriciales , Courier Dover Publications
• Peter Lancaster y Qian Ye (1991) "Métodos variacionales y numéricos para lápices de matriz simétrica", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana 43: 1 a 17