Problema de valor propio cuadrático

En matemáticas , el problema de valor propio cuadrático ^[1] (QEP) , consiste en encontrar valores propios escalares , vectores propios izquierdos y vectores propios derechos tales que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q(\lambda )x=0~{\text{ and }}~y^{\ast }Q(\lambda )=0,}$

donde , con coeficientes matriciales y requerimos que , (para que tengamos un coeficiente principal distinto de cero). Hay valores propios que pueden ser infinitos o finitos, y posiblemente cero. Este es un caso especial de un problema propio no lineal . también se conoce como matriz polinómica cuadrática . ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$ ${\displaystyle M,\,C,K\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle M\,\neq 0}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle Q(\lambda )}$

Teoría espectral

Se dice que un QEP es regular si es idéntico. El coeficiente del término en es , lo que implica que el QEP es regular si no es singular. ${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))\not \equiv 0}$ ${\displaystyle \lambda ^{2n}}$ ${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))}$ ${\displaystyle {\text{det}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Los valores propios en el infinito y los valores propios en 0 pueden intercambiarse considerando el polinomio inverso, . Como hay vectores propios en un espacio dimensional, los vectores propios no pueden ser ortogonales. Es posible tener el mismo vector propio asociado a diferentes valores propios. ${\displaystyle \lambda ^{2}Q(\lambda ^{-1})=\lambda ^{2}K+\lambda C+M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Aplicaciones

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Los problemas de valores propios cuadráticos surgen naturalmente en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden sin forzar:

${\displaystyle Mq''(t)+Cq'(t)+Kq(t)=0}$

Donde , y . Si todos los valores propios cuadráticos de son distintos, entonces la solución se puede escribir en términos de los valores propios cuadráticos y los vectores propios cuadráticos rectos como ${\displaystyle q(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M,C,K\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$

${\displaystyle q(t)=\sum _{j=1}^{2n}\alpha _{j}x_{j}e^{\lambda _{j}t}=Xe^{\Lambda t}\alpha }$

Donde son los valores propios cuadráticos, son los vectores propios cuadráticos correctos y es un vector de parámetros determinado a partir de las condiciones iniciales en y . Ahora se puede aplicar la teoría de estabilidad para sistemas lineales, ya que el comportamiento de una solución depende explícitamente de los valores propios (cuadráticos). ${\displaystyle \Lambda ={\text{Diag}}([\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2n}])\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$ ${\displaystyle X=[x_{1},\ldots ,x_{2n}]\in \mathbb {R} ^{n\times 2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \alpha =[\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{2n}]^{\top }\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q'}$

Métodos de elementos finitos

Un QEP puede resultar en parte del análisis dinámico de estructuras discretizadas por el método de elementos finitos . En este caso, la ecuación cuadrática, tiene la forma , donde es la matriz de masas , es la matriz de amortiguamiento y es la matriz de rigidez . Otras aplicaciones incluyen la vibroacústica y la dinámica de fluidos. ${\displaystyle Q(\lambda )}$ ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$

Métodos de solución

Los métodos directos para resolver los problemas de valores propios estándar o generalizados se basan en transformar el problema a la forma de Schur o Schur generalizada . Sin embargo, no existe una forma análoga para los polinomios matriciales cuadráticos. Un enfoque es transformar el polinomio matricial cuadrático en una matriz lineal lápiz ( ), y resolver un problema de valores propios generalizado. Una vez que se han determinado los valores propios y los vectores propios del problema lineal, se pueden determinar los vectores propios y los valores propios del cuadrático. ${\displaystyle Ax=\lambda x}$ ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$ ${\displaystyle A-\lambda B}$

La linealización más común es la primera linealización compañera .

${\displaystyle L1(\lambda )={\begin{bmatrix}0&N\\-K&-C\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}},}$

con vector propio correspondiente

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}x\\\lambda x\end{bmatrix}}.}$

Por conveniencia, a menudo se toma como la matriz identidad . Resolvemos para y , por ejemplo, calculando la forma generalizada de Schur. Luego podemos tomar los primeros componentes de como el vector propio de la cuadrática original . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle L(\lambda )z=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(\lambda )}$

Otra linealización común viene dada por

${\displaystyle L2(\lambda )={\begin{bmatrix}-K&0\\0&N\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}C&M\\N&0\end{bmatrix}}.}$

En el caso en que una o sea una matriz hamiltoniana y la otra sea una matriz hamiltoniana antideflagrante , se pueden utilizar las siguientes linealizaciones. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle L3(\lambda )={\begin{bmatrix}K&0\\C&K\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}0&K\\-M&0\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle L4(\lambda )={\begin{bmatrix}0&-K\\M&0\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}M&C\\0&M\end{bmatrix}}.}$

Referencias

1. F. Tisseur y K. Meerbergen, El problema del valor propio cuadrático, SIAM Rev., 43 (2001), págs. 235–286.