Matriz de masa

Matriz que relaciona el vector de coordenadas generalizadas de un sistema y la energía cinética

En mecánica analítica , la matriz de masa es una matriz simétrica M que expresa la relación entre la derivada temporal del vector de coordenadas generalizado q de un sistema y la energía cinética T de ese sistema, mediante la ecuación ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}} }$

donde denota la transpuesta del vector . ^[1] Esta ecuación es análoga a la fórmula para la energía cinética de una partícula con masa m y velocidad v , es decir ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v} }$

y puede derivarse de ella, expresando la posición de cada partícula del sistema en términos de q .

En general, la matriz de masa M depende del estado q y, por lo tanto, varía con el tiempo.

La mecánica lagrangiana produce una ecuación diferencial ordinaria (en realidad, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas) que describe la evolución de un sistema en términos de un vector arbitrario de coordenadas generalizadas que define completamente la posición de cada partícula en el sistema. La fórmula de energía cinética anterior es un término de esa ecuación, que representa la energía cinética total de todas las partículas.

Ejemplos

Sistema unidimensional de dos cuerpos

Sistema de masas en una dimensión espacial.

Por ejemplo, supongamos que un sistema está formado por dos masas puntuales confinadas en una pista recta. El estado de ese sistema se puede describir mediante un vector q de dos coordenadas generalizadas, es decir, las posiciones de las dos partículas a lo largo de la pista.

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Suponiendo que las partículas tienen masas m ₁ , m ₂ , la energía cinética del sistema es

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}}$

Esta fórmula también se puede escribir como

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

Sistema de N cuerpos

En términos más generales, consideremos un sistema de N partículas etiquetadas por un índice i = 1, 2, …, N , donde la posición de la partícula número i está definida por n _i coordenadas cartesianas libres (donde n _i = 1, 2, 3 ). Sea q el vector columna que comprende todas esas coordenadas. La matriz de masa M es la matriz de bloques diagonales donde en cada bloque los elementos diagonales son la masa de la partícula correspondiente: ^[2]

${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} \left[m_{1}\mathbf {I} _{n_{1}},\,m_{2}\mathbf {I} _{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}\mathbf {I} _{n_{N}}\right]}$

donde I _{n i} es la matriz identidad n _i × n _i , o más completamente:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}}$

Mancuerna giratoria

Mancuerna giratoria.

Para dar un ejemplo menos trivial, considere dos objetos puntuales con masas m ₁ , m ₂ , unidos a los extremos de una barra rígida sin masa con una longitud de 2 R , siendo el conjunto libre de girar y deslizarse sobre un plano fijo. El estado del sistema puede describirse mediante el vector de coordenadas generalizado

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}}$

donde x, y son las coordenadas cartesianas del punto medio de la barra y α es el ángulo de la barra respecto de una dirección de referencia arbitraria. Las posiciones y velocidades de las dos partículas son

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}}$

y su energía cinética total es

${\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}}$

donde y . Esta fórmula se puede escribir en forma matricial como ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ ${\displaystyle d=m_{1}-m_{2}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que la matriz depende del ángulo actual α de la barra.

Mecánica de medios continuos

Para aproximaciones discretas de la mecánica de medios continuos , como en el método de elementos finitos , puede haber más de una forma de construir la matriz de masas, dependiendo de la precisión y el rendimiento computacionales deseados. Por ejemplo, un método de masa total, en el que se ignora la deformación de cada elemento, crea una matriz de masas diagonal y elimina la necesidad de integrar la masa a lo largo del elemento deformado.

Véase también

• Momento de inercia
• Tensor de estrés-energía
• Matriz de rigidez
• Escleronómico

Referencias

1. Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-86153-3
2. Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0