Aceleración en serie

En matemáticas , la aceleración de series es una de una colección de transformaciones de secuencia para mejorar la tasa de convergencia de una serie . Las técnicas de aceleración en serie se aplican a menudo en el análisis numérico , donde se utilizan para mejorar la velocidad de la integración numérica . También se pueden utilizar técnicas de aceleración en serie, por ejemplo, para obtener una variedad de identidades en funciones especiales . Por lo tanto, la transformada de Euler aplicada a la serie hipergeométrica proporciona algunas de las identidades clásicas y conocidas de las series hipergeométricas.

Definición

Dada una secuencia

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

tener un limite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,}$

una serie acelerada es una segunda secuencia

${\displaystyle S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

que converge más rápido que la secuencia original, en el sentido de que ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia actúa como un método de extrapolación al antilímite . ${\displaystyle \ell }$

Las asignaciones de la serie original a la transformada pueden ser lineales (como se define en el artículo Transformaciones de secuencia ) o no lineales. En general, las transformaciones de secuencias no lineales tienden a ser más poderosas.

Descripción general

Dos técnicas clásicas para la aceleración en series son la transformación de series de Euler ^[1] y la transformación de series de Kummer . ^[2] En el siglo XX se desarrolló una variedad de herramientas de casos especiales y mucho más rápidamente convergentes, incluida la extrapolación de Richardson , introducida por Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX pero también conocida y utilizada por Katahiro Takebe en 1722; el proceso delta cuadrado de Aitken , introducido por Alexander Aitken en 1926 pero también conocido y utilizado por Takakazu Seki en el siglo XVIII; el método épsilon propuesto por Peter Wynn en 1956; la transformada u de Levin; y el método Wilf-Zeilberger-Ekhad o método WZ .

Para series alternas , Cohen et al describen varias técnicas poderosas, que ofrecen tasas de convergencia desde todo el camino hasta una suma de términos . ^[3] ${\displaystyle 5.828^{-n}}$ ${\displaystyle 17.93^{-n}}$ ${\displaystyle n}$

la transformada de euler

Un ejemplo básico de transformación de secuencia lineal , que ofrece una convergencia mejorada, es la transformada de Euler. Está destinado a ser aplicado a una serie alterna; esta dado por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

¿Dónde está el operador de diferencia directa , para el cual se tiene la fórmula? ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.}$

Si la serie original, en el lado izquierdo, sólo converge lentamente, las diferencias directas tenderán a volverse pequeñas con bastante rapidez; la potencia adicional de dos mejora aún más la velocidad a la que converge el lado derecho.

Una implementación numérica particularmente eficiente de la transformada de Euler es la transformación de van Wijngaarden . ^[4]

Mapeos conformes

Una serie

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

se puede escribir como f (1), donde la función f se define como

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

La función f ( z ) puede tener singularidades en el plano complejo ( singularidades de punto de ramificación , polos o singularidades esenciales ), que limitan el radio de convergencia de la serie. Si el punto z = 1 está cerca o en el límite del disco de convergencia, la serie para S convergerá muy lentamente. Entonces se puede mejorar la convergencia de la serie mediante un mapeo conforme que mueva las singularidades de modo que el punto mapeado en z = 1 termine más profundo en el nuevo disco de convergencia.

La transformada conforme debe elegirse de manera que , y normalmente se elige una función que tiene una derivada finita en w = 0. Se puede suponer que sin pérdida de generalidad, ya que siempre se puede reescalar w para redefinir . Luego consideramos la función ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ ${\displaystyle \Phi (0)=0}$ ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}$

Como tenemos f (1) = g (1). Podemos obtener la expansión en serie de g ( w ) poniendo la expansión en serie de f ( z ) porque ; los primeros n términos del desarrollo en serie para f ( z ) producirán los primeros n términos del desarrollo en serie para g ( w ) si . Poner w = 1 en esa expansión de la serie producirá una serie tal que si converge, convergerá al mismo valor que la serie original. ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ ${\displaystyle \Phi (0)=0}$ ${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$

Transformaciones de secuencia no lineal.

Ejemplos de tales transformaciones de secuencia no lineales son las aproximantes de Padé , la transformación de Shanks y las transformaciones de secuencia de tipo Levin.

Especialmente las transformaciones de secuencias no lineales a menudo proporcionan métodos numéricos poderosos para la suma de series divergentes o series asintóticas que surgen, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones , y pueden usarse como métodos de extrapolación altamente efectivos .

método aitken

Una transformación de secuencia no lineal simple es la extrapolación de Aitken o método delta cuadrado,

${\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$

definido por

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Esta transformación se usa comúnmente para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia que converge lentamente; heurísticamente elimina la mayor parte del error absoluto .

Ver también

• Transformación de mangos
• Extrapolación polinomial mínima
• Transformación de Van Wijngaarden

Referencias

1. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 3, ecuación 3.6.26". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 16.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
3. Henri Cohen , Fernando Rodríguez Villegas y Don Zagier , "Aceleración de convergencia de series alternas", Matemáticas experimentales , 9 :1 (2000) página 3.
4. William H. Press, et al. , Recetas numéricas en C , (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (Ver sección 5.1). 

• C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , Holanda Septentrional, 1991.
• GA Baker Jr. y P. Graves-Morris, Padé Approximants , Cambridge UP, 1996.
• Weisstein, Eric W. "Mejora de la convergencia". MundoMatemático .
• Herbert HH Homeier: Transformaciones de secuencia escalar tipo Levin , Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, núm. 1–2, pág. 81 (2000). Más hogareño, HHH (2000). "Transformaciones de secuencia escalar tipo Levin". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 122 (1–2): 81–147. arXiv : matemáticas/0005209 . Código Bib : 2000JCoAM.122...81H. doi :10.1016/S0377-0427(00)00359-9., arXiv : matemáticas/0005209.
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "La génesis y los primeros desarrollos del proceso de Aitken, la transformación de Shanks, el algoritmo - y los métodos de punto fijo relacionados", Algoritmos numéricos, Vol.80, No.1, (2019), págs.11 -133. ${\displaystyle \epsilon }$
• Delahaye JP: "Transformaciones de secuencia", Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3540152835 (1988).
• Sidi Avram: "Métodos de extrapolación de vectores con aplicaciones", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela y Saad Yousef: "Transformaciones de secuencia de Shanks y aceleración de Anderson", SIAM Review, Vol.60, No.3 (2018), págs.646–669. doi:10.1137/17M1120725.
• Brezinski Claude: "Reminiscencias de Peter Wynn ", Algoritmos numéricos, Vol.80(2019), págs.5-10.
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela: "Extrapolación y aproximación racional", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

enlaces externos

• Aceleración de convergencia de series.
• Biblioteca científica GNU, Aceleración de series
• Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas