Continuidad absoluta

Forma de continuidad para funciones

En cálculo y análisis real , la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con continuidad absoluta puede formularse en términos de la integración de Lebesgue . Para funciones de valores reales en la línea real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas . Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada de Radon-Nikodym , o densidad , de una medida. Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la línea real:

absolutamente continua ⊆ uniformemente continua continua ${\displaystyle =}$

y, durante un intervalo compacto,

continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continua ⊆ absolutamente continua ⊆ variación acotada ⊆ diferenciable casi en todas partes .

Continuidad absoluta de funciones

Una función continua no es absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; por ejemplo, tan( x ) sobre [0, π /2) , x ² sobre toda la recta real y sin(1/ x ) sobre (0, 1]. Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua ni siquiera en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable casi en todas partes" (como la función de Weierstrass , que no es diferenciable en ninguna parte). O puede ser diferenciable casi en todas partes y su derivada f  ′ puede ser integrable según Lebesgue , pero la integral de f  ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia f en un intervalo). Esto sucede, por ejemplo, con la función de Cantor .

Definición

Sea un intervalo en la recta real . Una función es absolutamente continua en si para cada número positivo , existe un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de con satisface ^[1] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{k}<y_{k}\in I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

La colección de todas las funciones absolutamente continuas en se denota . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones para una función de valor real f en un intervalo compacto [ a , b ] son ​​equivalentes: ^[2]

1. f es absolutamente continua;
2. f tiene una derivada f  ′ casi en todas partes , la derivada es integrable a nivel de Lebesgue, y para todo x en [ a , b ]; $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$$
3. existe una función integrable de Lebesgue g en [ a , b ] tal que para todo x en [ a , b ]. $${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$$

Si se satisfacen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente cualquier función g como en la condición 3 satisface g = f  ′ casi en todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^[3]

Para una definición equivalente en términos de medidas, véase la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Propiedades

• La suma y la diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones están definidas en un intervalo cerrado acotado, entonces su producto también es absolutamente continuo. ^[4]
• Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado acotado y no es cero en ningún punto, entonces su recíproco es absolutamente continuo. ^[5]
• Toda función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función Lipschitz-continua (globalmente) es absolutamente continua. ^[6]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ]. ^[7]
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces puede escribirse como la diferencia de dos funciones absolutamente continuas monótonas no decrecientes en [ a , b ].
• Si f : [ a , b ] → R es absolutamente continua, entonces tiene la propiedad N de Luzin (es decir, para cualquier tal que , se cumple que , donde representa la medida de Lebesgue en R ). ${\displaystyle N\subseteq [a,b]}$ ${\displaystyle \lambda (N)=0}$ ${\displaystyle \lambda (f(N))=0}$ ${\displaystyle \lambda }$
• f : I → R es absolutamente continua si y sólo si es continua, tiene variación acotada y tiene la propiedad N de Luzin . Esta afirmación también se conoce como teorema de Banach-Zareckiǐ. ^[8]
• Si f : I → R es absolutamente continua y g : R → R es globalmente Lipschitz-continua , entonces la composición g ∘ f es absolutamente continua. Inversamente, para cada función g que no sea globalmente Lipschitz-continua existe una función absolutamente continua f tal que g ∘ f no sea absolutamente continua. ^[9]

Ejemplos

Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:

• La función de Cantor en [0, 1] (es de variación acotada pero no absolutamente continua);
• La función: en un intervalo finito que contiene el origen. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$$

Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no continuas en el sentido α-Hölder:

• La función f ( x ) =  x ^β en [0,  c ], para cualquier 0 < β < α < 1

Las siguientes funciones son absolutamente continuas y continuas en el sentido de α-Hölder, pero no continuas en el sentido de Lipschitz :

• La función f ( x ) =  √ x en [0,  c ], para α  ≤ 1/2.

Generalizaciones

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea I un intervalo en la recta real R . Una función f : I → X es absolutamente continua en I si para cada número positivo , existe un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares [ x _k , y _k ] de I satisface: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

entonces:

${\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .}$

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC( I ; X ).

Una generalización adicional es el espacio AC ^p ( I ; X ) de curvas f : I → X tales que: ^[10]

${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I}$

para algún m en el espacio L p L ^p (I).

Propiedades de estas generalizaciones

• Toda función absolutamente continua (en un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Toda función Lipschitz-continua es absolutamente continua.
• Si f : [ a , b ] → X es absolutamente continua, entonces es de variación acotada en [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), la derivada métrica de f existe para λ - casi todo el tiempo en I , y la derivada métrica es la más pequeña m ∈ L ^p ( I ; R ) tal que: ^[11] $${\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.}$$

Continuidad absoluta de medidas

Definición

Una medida sobre subconjuntos de Borel de la recta real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si para cada conjunto medible implica . Equivalentemente, implica . Esta condición se escribe como Decimos que está dominada por ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ ${\displaystyle \mu \ll \lambda .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda .}$

En la mayoría de las aplicaciones, si simplemente se dice que una medida en la línea real es absolutamente continua (sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua), entonces se quiere decir continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

El mismo principio se aplica a las medidas de los subconjuntos de Borel. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2.}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones sobre una medida finita en los subconjuntos de Borel de la línea real son equivalentes: ^[12] ${\displaystyle \mu }$

1. ${\displaystyle \mu }$es absolutamente continua;
2. Para cada número positivo existe un número positivo tal que para todos los conjuntos de Borel de Lebesgue miden menos que ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \mu (A)<\varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta ;}$
3. Existe una función integrable de Lebesgue en la recta real tal que: para todos los subconjuntos de Borel de la recta real. ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda }$$ ${\displaystyle A}$

Para una definición equivalente en términos de funciones, véase la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Cualquier otra función que satisfaga (3) es igual a casi en todas partes. Tal función se llama derivada de Radon-Nikodym , o densidad, de la medida absolutamente continua ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu .}$

La equivalencia entre (1), (2) y (3) se cumple también para todos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Así, las medidas absolutamente continuas de son precisamente aquellas que tienen densidades; como caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continuas son precisamente aquellas que tienen funciones de densidad de probabilidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Generalizaciones

Si y son dos medidas en el mismo espacio medible se dice que son ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle \mu }$absolutamente continua con respecto a ${\displaystyle \nu }$sipara cada conjuntopara el cual^[13]Esto se escribe como "". Es decir: ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0.}$ ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ $${\displaystyle \mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).}$$

¿Cuándo entonces se dice que es? ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$dominante ${\displaystyle \mu .}$

La continuidad absoluta de las medidas es reflexiva y transitiva , pero no es antisimétrica , por lo que es un preorden en lugar de un orden parcial . En cambio, si y se dice que las medidas y son equivalentes . Por lo tanto, la continuidad absoluta induce un ordenamiento parcial de dichas clases de equivalencia . ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Si es una medida con signo o compleja , se dice que es absolutamente continua con respecto a si su variación satisface de manera equivalente, si todo conjunto para el cual es - nulo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle |\mu |\ll \nu ;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

El teorema de Radon-Nikodym ^[14] establece que si es absolutamente continua con respecto a y ambas medidas son σ-finitas , entonces tiene una densidad, o "derivada de Radon-Nikodym", con respecto a lo que significa que existe una función -medible que toma valores en denotado por tal que para cualquier conjunto -medible tenemos: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,+\infty ),}$ ${\displaystyle f=d\mu /d\nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .}$$

Medidas singulares

A través del teorema de descomposición de Lebesgue ^[15] , cada medida σ-finita puede descomponerse en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular con respecto a otra medida σ-finita. Véase la medida singular para ver ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.

Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta

Una medida finita μ en los subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función puntual:

${\displaystyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

es una función real absolutamente continua. En términos más generales, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y solo si su derivada distribucional es una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Si se cumple la continuidad absoluta, entonces la derivada de Radon-Nikodym de μ es igual casi en todas partes a la derivada de F . ^[16]

De manera más general, se supone que la medida μ es localmente finita (en lugar de finita) y F ( x ) se define como μ ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 , y − μ (( x ,0]) para x < 0 . En este caso μ es la medida de Lebesgue–Stieltjes generada por F . ^[17] La ​​relación entre las dos nociones de continuidad absoluta todavía se mantiene. ^[18]

Notas

1. Royden 1988, Sect. 5.4, página 108; Nielsen 1997, Definición 15.6 en la página 251; Athreya & Lahiri 2006, Definiciones 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 128, 129. Se supone que el intervalo está acotado y cerrado en los dos primeros libros, pero no en el último. ${\displaystyle I}$
2. Nielsen 1997, Teorema 20.8 en la página 354; también Royden 1988, Sect. 5.4, página 110 y Athreya & Lahiri 2006, Teoremas 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 129,130.
3. Athreya y Lahiri 2006, antes del Teorema 4.4.1 en la página 129.
4. Royden 1988, Problema 5.14(a,b) en la página 111.
5. Royden 1988, Problema 5.14(c) en la página 111.
6. Royden 1988, Problema 5.20(a) en la página 112.
7. Royden 1988, Lema 5.11 en la página 108.
8. Bruckner, Bruckner y Thomson 1997, Teorema 7.11.
9. Francisco Fichtenholz 1923.
10. Ambrosio, Gigli y Savaré 2005, Definición 1.1.1 en la página 23
11. Ambrosio, Gigli y Savaré 2005, Teorema 1.1.2 en la página 24
12. La equivalencia entre (1) y (2) es un caso especial de Nielsen 1997, Proposición 15.5 en la página 251 (falla para medidas σ-finitas); la equivalencia entre (1) y (3) es un caso especial del teorema de Radon-Nikodym , véase Nielsen 1997, Teorema 15.4 en la página 251 o Athreya & Lahiri 2006, Ítem (ii) del Teorema 4.1.1 en la página 115 (aún se mantiene para medidas σ-finitas).
13. Nielsen 1997, Definición 15.3 en la página 250; Royden 1988, Sect. 11.6, página 276; Athreya & Lahiri 2006, Definición 4.1.1 en la página 113.
14. Royden 1988, Teorema 11.23 en la página 276; Nielsen 1997, Teorema 15.4 en la página 251; Athreya y Lahiri 2006, Punto (ii) del Teorema 4.1.1 en la página 115.
15. Royden 1988, Proposición 11.24 en la página 278; Nielsen 1997, Teorema 15.14 en la página 262; Athreya y Lahiri 2006, Punto (i) del Teorema 4.1.1 en la página 115.
16. Royden 1988, Problema 12.17(b) en la página 303.
17. Athreya y Lahiri 2006, secc. 1.3.2, página 26.
18. Nielsen 1997, Proposición 15.7 en la página 252; Athreya y Lahiri 2006, Teorema 4.4.3 en la página 131; Royden 1988, Problema 12.17(a) en la página 303.

Referencias

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Bruckner, AM; Bruckner, JB; Thomson, BS (1997), Análisis real , Prentice Hall, ISBN 0-134-58886-X
• Fichtenholz, Grigorii (1923). "Continúa la nota sobre las funciones absolutas". Matematicheskii Sbornik . 31 (2): 286–295.
• Leoni, Giovanni (2009), Un primer curso en espacios de Sobolev , Estudios de posgrado en matemáticas, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR 2527916, Zbl  1180.46001, MAA 
• Nielsen, Ole A. (1997), Introducción a la teoría de la integración y la medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Análisis real (tercera edición), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Enlaces externos

• Continuidad absoluta en Enciclopedia de Matemáticas
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl