colector de veneno

Estructura matemática en geometría diferencial.

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , una variedad de Poisson es una variedad suave dotada de una estructura de Poisson. La noción de variedad de Poisson generaliza la de variedad simpléctica , que a su vez generaliza el espacio de fase de la mecánica hamiltoniana .

Una estructura de Poisson (o corchete de Poisson) en una variedad suave es una función en el espacio vectorial de funciones suaves en , lo que la convierte en un álgebra de Lie sujeta a una regla de Leibniz (también conocida como álgebra de Poisson ). Las estructuras de Poisson sobre variedades fueron introducidas por André Lichnerowicz en 1977 ^[1] y llevan el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson , debido a su temprana aparición en sus trabajos sobre mecánica analítica . ^[2] ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Una estructura de Poisson en una variedad proporciona una forma de deformar el producto de funciones en un nuevo producto que normalmente no es conmutativo . Este proceso se conoce como cuantificación de deformaciones , ya que la mecánica clásica puede basarse en estructuras de Poisson, mientras que la mecánica cuántica involucra anillos no conmutativos . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Introducción

De los espacios de fase de la mecánica clásica a las variedades simplécticas y de Poisson

En la mecánica clásica, el espacio de fases de un sistema físico consta de todos los valores posibles de posición y de las variables de momento permitidas por el sistema. Está naturalmente dotado de una forma simpléctica/corchete de Poisson (ver más abajo), que permite formular las ecuaciones de Hamilton y describir la dinámica del sistema a través del espacio de fase en el tiempo.

Por ejemplo, una sola partícula que se mueve libremente en el espacio euclidiano de dimensiones (es decir, que tiene como configuración el espacio ) tiene espacio de fase . Las coordenadas describen respectivamente las posiciones y los momentos generalizados. El espacio de observables , es decir, las funciones suaves en , está naturalmente dotado de una operación binaria llamada corchete de Poisson , definida como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right).}$

Un paréntesis de este tipo satisface las propiedades estándar de un paréntesis de Lie , además de una compatibilidad adicional con el producto de funciones, es decir, la identidad de Leibniz . De manera equivalente, el corchete de Poisson se puede reformular utilizando la forma simpléctica ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}.}$

De hecho, si se considera el campo vectorial hamiltoniano

${\displaystyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}}$

asociado a una función , entonces el corchete de Poisson se puede reescribir como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Un ejemplo estándar de una variedad simpléctica y, por tanto, de una variedad de Poisson, es el paquete cotangente de cualquier variedad suave de dimensión finita. Las coordenadas en se interpretan como posiciones de partículas; el espacio de tangentes en cada punto que forma el espacio de momentos (canónicamente) conjugados. Si es -dimensional, es una variedad suave de dimensiones, puede considerarse como el espacio de fase asociado. El paquete cotangente está naturalmente equipado con una forma simpléctica canónica que, en coordenadas canónicas , coincide con la descrita anteriormente. En general, según el teorema de Darboux , cualquier variedad simpléctica arbitraria admite coordenadas especiales donde la forma y el corchete son equivalentes, respectivamente, a la forma simpléctica y al corchete de Poisson de . Por tanto, la geometría simpléctica es el escenario matemático natural para describir la mecánica hamiltoniana clásica. ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle 2n;}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Las variedades de Poisson son generalizaciones adicionales de las variedades simplécticas, que surgen al axiomatizar las propiedades satisfechas por el corchete de Poisson en . Más precisamente, una variedad de Poisson consiste en una variedad suave (no necesariamente de dimensión par) junto con un soporte abstracto , todavía llamado soporte de Poisson, que no necesariamente surge de una forma simpléctica , pero satisface las mismas propiedades algebraicas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

La geometría de Poisson está estrechamente relacionada con la geometría simpléctica: por ejemplo, cada paréntesis de Poisson determina una foliación de la variedad en subvariedades simplécticas . Sin embargo, el estudio de la geometría de Poisson requiere técnicas que normalmente no se emplean en la geometría simpléctica, como la teoría de los grupoides y algebroides de Lie .

Además, hay ejemplos naturales de estructuras que deberían ser "moralmente" simplécticas, pero exhiben singularidades, es decir, se debe permitir que su "forma simpléctica" sea degenerada. Por ejemplo, el cociente suave de una variedad simpléctica por un grupo que actúa mediante simplectomorfismos es una variedad de Poisson, que en general no es simpléctica. Esta situación modela el caso de un sistema físico que es invariante bajo simetrías : el espacio de fases "reducido", obtenido cociente el espacio de fases original por las simetrías, en general ya no es simpléctico, sino Poisson.

Historia

Aunque la definición moderna de variedad de Poisson apareció sólo en los años 70 y 80, su origen se remonta al siglo XIX. Alan Weinstein resumió la historia temprana de la geometría de Poisson de la siguiente manera:

"Poisson inventó sus paréntesis como herramienta para la dinámica clásica. Jacobi se dio cuenta de la importancia de estos paréntesis y aclaró sus propiedades algebraicas, y Lie comenzó el estudio de su geometría". ^[3]

En efecto, Siméon Denis Poisson introdujo en 1809 lo que hoy llamamos corchete de Poisson para obtener nuevas integrales de movimiento , es decir cantidades que se conservan durante todo el movimiento. ^[4] Más precisamente, demostró que, si dos funciones y son integrales de movimiento, entonces hay una tercera función, denotada por , que también es integral de movimiento. En la formulación hamiltoniana de la mecánica , donde la dinámica de un sistema físico se describe mediante una función dada (normalmente la energía del sistema), una integral de movimiento es simplemente una función con la que Poisson conmuta , es decir, tal que . Lo que se conocerá como teorema de Poisson puede formularse entonces como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{f,h\}=0}$

${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$

Los cálculos de Poisson ocuparon muchas páginas y sus resultados fueron redescubiertos y simplificados dos décadas después por Carl Gustav Jacob Jacobi . ^[2] Jacobi fue el primero en identificar las propiedades generales del corchete de Poisson como una operación binaria. Además, estableció la relación entre el grupo (Poisson) de dos funciones y el grupo (Lie) de sus campos vectoriales hamiltonianos asociados , es decir, para reformular (y dar una prueba mucho más breve) del teorema de Poisson sobre integrales de movimiento. ^[5] El trabajo de Jacobi sobre los corchetes de Poisson influyó en los estudios pioneros de Sophus Lie sobre simetrías de ecuaciones diferenciales , que llevaron al descubrimiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Por ejemplo, lo que ahora se llaman estructuras lineales de Poisson (es decir, corchetes de Poisson en un espacio vectorial que envían funciones lineales a funciones lineales) corresponden precisamente a estructuras de álgebra de Lie. Además, la integrabilidad de una estructura lineal de Poisson (ver más abajo) está estrechamente relacionada con la integrabilidad de su álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie. $${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

El siglo XX vio el desarrollo de la geometría diferencial moderna, pero no fue hasta 1977 que André Lichnerowicz introdujo las estructuras de Poisson como objetos geométricos sobre variedades lisas. ^[1] Las variedades de Poisson se estudiaron más a fondo en el artículo fundamental de Alan Weinstein de 1983 , donde se demostraron por primera vez muchos teoremas de estructura básica. ^[6]

Estos trabajos ejercieron una enorme influencia en las décadas siguientes en el desarrollo de la geometría de Poisson, que hoy es un campo en sí mismo y, al mismo tiempo, está profundamente entrelazada con muchos otros, incluida la geometría no conmutativa , los sistemas integrables y las teorías de campos topológicos. y teoría de la representación .

Definicion formal

Hay dos puntos de vista principales para definir las estructuras de Poisson: es habitual y conveniente alternar entre ellas.

Como soporte

Sea una variedad suave y denotemos el álgebra real de funciones suaves de valores reales en , donde la multiplicación se define puntualmente. Un corchete de Poisson (o estructura de Poisson ) es un mapa bilineal ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

definiendo una estructura del álgebra de Poisson en , es decir, que satisface las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• Simetría sesgada : . ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• Identidad de Jacobi : . ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• Regla de Leibniz : . ${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

Las dos primeras condiciones aseguran que se define una estructura de álgebra de Lie , mientras que la tercera garantiza que, para cada una , el mapa lineal es una derivación del álgebra , es decir, define un campo vectorial llamado campo vectorial hamiltoniano asociado a . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Al elegir las coordenadas locales , cualquier corchete de Poisson viene dado por el corchete de Poisson de las funciones de coordenadas. ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

Como bivector

Un bivector de Poisson en una variedad suave es un campo bivector que satisface la ecuación diferencial parcial no lineal , donde ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

denota el corchete de Schouten-Nijenhuis en campos multivectoriales. Al elegir las coordenadas locales , cualquier bivector de Poisson viene dado por para funciones suaves simétricas sesgadas en . ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle U}$

Equivalencia de las definiciones

Sea un corchete bilineal sesgado-simétrico (llamado "corchete casi de Lie") que satisfaga la regla de Leibniz; entonces la función se puede describir como para un campo bivector suave único . Por el contrario, dado cualquier campo bivector suave en , la misma fórmula define un corchete casi de Lie que obedece automáticamente a la regla de Leibniz. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Entonces las siguientes condiciones de integrabilidad son equivalentes:

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$satisface la identidad de Jacobi (por lo tanto, es un grupo de Poisson);
• ${\displaystyle \pi }$satisface (de ahí que sea un bivector de Poisson); ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• el mapa es un homomorfismo del álgebra de Lie, es decir, los campos vectoriales hamiltonianos satisfacen ; ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$ ${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• el gráfico define una estructura de Dirac , es decir, un subconjunto lagrangiano que está cerrado bajo el corchete estándar de Courant . ${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M}$ ${\displaystyle D\subset TM\oplus T^{*}M}$

Una estructura Poisson sin ninguno de los cuatro requisitos anteriores también se denomina estructura casi Poisson . ^[5]

Estructuras holomorfas de Poisson

La definición de estructura de Poisson para variedades lisas reales también se puede adaptar al caso complejo.

Una variedad holomorfa de Poisson es una variedad compleja cuyo conjunto de funciones holomorfas es un conjunto de álgebras de Poisson. De manera equivalente, recuerde que un campo bivector holomorfo en una variedad compleja es una sección tal que . Entonces una estructura holomorfa de Poisson es un campo bivector holomorfo que satisface la ecuación . Las variedades holomorfas de Poisson se pueden caracterizar también en términos de estructuras de Poisson-Nijenhuis. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

Muchos resultados para estructuras de Poisson reales, por ejemplo en relación con su integrabilidad, se extienden también a estructuras holomorfas. ^{[8] [9]}

Las estructuras holomorfas de Poisson aparecen naturalmente en el contexto de estructuras complejas generalizadas : localmente, cualquier variedad compleja generalizada es el producto de una variedad simpléctica y una variedad holomorfa de Poisson. ^[10]

Cuantización de deformación

La noción de variedad de Poisson surge naturalmente de la teoría de la deformación de las álgebras asociativas . Para una variedad suave , las funciones suaves forman un álgebra conmutativa sobre los números reales , usando suma y multiplicación puntuales (es decir, para puntos en ). Una deformación de orden th de esta álgebra viene dada por una fórmula ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f*g=fg+\epsilon B_{1}(f,g)+\cdots +\epsilon ^{n}B_{n}(f,g){\pmod {\epsilon ^{n+1}}}}$

para tal que el producto estrella sea asociativo (módulo ), pero no necesariamente conmutativo. ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \epsilon ^{n+1}}$

Una deformación de primer orden de es equivalente a una estructura casi de Poisson como se define anteriormente, es decir, un mapa bilineal de "corchete" ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

que es asimétrico y satisface la regla de Leibniz. ^[5] Explícitamente, se puede pasar de la deformación al bracket mediante

${\displaystyle f*g-g*f=\epsilon \{f,g\}{\pmod {\epsilon ^{2}}}.}$

Una deformación de primer orden también equivale a un campo bivectorial, es decir, una sección suave de . ${\displaystyle \wedge ^{2}TM}$

Un corchete satisface la identidad de Jacobi (es decir, es una estructura de Poisson) si y sólo si la correspondiente deformación de primer orden de puede extenderse a una deformación de segundo orden. ^[5] Sorprendentemente, la fórmula de cuantificación de Kontsevich muestra que cada variedad de Poisson tiene una cuantificación de deformación . Es decir, si una deformación de primer orden puede extenderse a segundo orden, entonces puede extenderse a orden infinito. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Ejemplo: Para cualquier variedad suave , el paquete cotangente es una variedad simpléctica y, por lo tanto, una variedad de Poisson. La correspondiente deformación no conmutativa de está relacionada con el álgebra de operadores diferenciales lineales en . Cuando es la recta real , la no conmutatividad del álgebra de operadores diferenciales (conocida como álgebra de Weyl ) se desprende del cálculo que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(T^{*}M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}},x{\bigg ]}=1.}$

hojas simplécticas

Una variedad de Poisson se divide naturalmente en variedades simplécticas regularmente inmersas de dimensiones posiblemente diferentes, llamadas hojas simplécticas . Estos surgen como las subvariedades integrales máximas de la foliación singular completamente integrable abarcada por los campos vectoriales hamiltonianos.

Rango de una estructura de Poisson

Recuerde que cualquier campo bivector puede considerarse como un homomorfismo sesgado, el morfismo musical . Por lo tanto, la imagen consta de los valores de todos los campos vectoriales hamiltonianos evaluados en cada . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {X_{f}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$

El rango de en un punto es el rango del mapeo lineal inducido . Un punto se llama regular para una estructura de Poisson si y sólo si el rango de es constante en una vecindad abierta de ; en caso contrario, se llama punto singular . Los puntos regulares forman un subespacio denso y abierto ; cuando , es decir, el mapa es de rango constante, la estructura de Poisson se llama regular . Ejemplos de estructuras de Poisson regulares incluyen estructuras triviales y no degeneradas (ver más abajo). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }=M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \pi }$

El caso habitual

Para una variedad de Poisson regular, la imagen es una distribución regular ; es fácil comprobar que es involutivo, por tanto, por el teorema de Frobenius , admite partición en hojas. Además, el bivector de Poisson se restringe muy bien a cada hoja, que por lo tanto se convierte en variedades simplécticas. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle M}$

El caso no regular

Para una variedad de Poisson no regular la situación es más complicada, ya que la distribución es singular , es decir, los subespacios vectoriales tienen diferentes dimensiones. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

Una subvariedad integral para es una subvariedad conectada por caminos que satisface para todos . Las subvariedades integrales de son variedades automáticamente sumergidas regularmente, y las subvariedades integrales máximas de se llaman hojas de . ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Además, cada hoja lleva una forma simpléctica natural determinada por la condición de todos y . En consecuencia, se habla de las hojas simplécticas de . Además, tanto el espacio de puntos regulares como su complemento están saturados de hojas simplécticas, por lo que las hojas simplécticas pueden ser regulares o singulares. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

Teorema de división de Weinstein

Para mostrar la existencia de hojas simplécticas en el caso no regular, se puede utilizar el teorema de división de Weinstein (o teorema de Darboux-Weinstein). ^[6] Afirma que cualquier variedad de Poisson se divide localmente alrededor de un punto como el producto de una variedad simpléctica y una subvariedad de Poisson transversal que desaparece en . Más precisamente, si , existen coordenadas locales tales que el bivector de Poisson se divide como la suma ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ ${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$ ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$

donde Observe que, cuando el rango de es máximo (por ejemplo, la estructura de Poisson no es degenerada, de modo que ), se recupera el teorema clásico de Darboux para estructuras simplécticas. ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n=2k}$

Ejemplos

Estructuras triviales de Poisson

Cada variedad lleva la estructura trivial de Poisson , descrita de manera equivalente por el bivector . Por tanto, cada punto de es una hoja simpléctica de dimensión cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle \pi =0}$ ${\displaystyle M}$

Estructuras de Poisson no degeneradas

Un campo bivector se llama no degenerado si es un isomorfismo de haz de vectores. Los campos bivectoriales de Poisson no degenerados son en realidad lo mismo que las variedades simplécticas . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

De hecho, existe una correspondencia biyectiva entre campos bivectoriales no degenerados y formas 2 no degeneradas , dada por el isomorfismo musical ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$

donde está codificado por . Además, ¿Poisson es precisamente si y sólo si está cerrado? en tal caso, el corchete se convierte en el corchete de Poisson canónico de la mecánica hamiltoniana: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Las estructuras de Poisson no degeneradas tienen sólo una hoja simpléctica, es decir, ella misma, y ​​su álgebra de Poisson se convierte en un anillo de Poisson . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})}$

Estructuras lineales de Poisson

Una estructura de Poisson en un espacio vectorial se llama lineal cuando el paréntesis de dos funciones lineales sigue siendo lineal. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$

La clase de espacios vectoriales con estructuras lineales de Poisson coincide con la de los duales de las álgebras de Lie . El dual de cualquier álgebra de Lie de dimensión finita lleva una estructura lineal de Poisson, conocida en la literatura con los nombres de estructura Lie-Poisson, Kirillov-Poisson o KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): donde y las derivadas se interpretan como elementos de el bidual . De manera equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como dónde están las coordenadas y son las constantes de estructura asociadas de , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle c_{k}^{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por el contrario, cualquier estructura lineal de Poisson debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en cuyo soporte de Lie-Poisson se recupera . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson son las órbitas de la acción coadjunta de on . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Estructuras de Poisson lineales a fibra.

El ejemplo anterior se puede generalizar de la siguiente manera. Una estructura de Poisson en el espacio total de un haz de vectores se denomina lineal a fibras cuando el paréntesis de dos funciones suaves , cuyas restricciones a las fibras son lineales, da como resultado un paréntesis que es lineal cuando se restringe a las fibras. De manera equivalente, se pide que el campo bivectorial de Poisson satisfaga cualquier , donde está la multiplicación escalar . ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle m_{t}:E\to E}$ ${\displaystyle v\mapsto tv}$

La clase de haces vectoriales con estructuras lineales de Poisson coincide con la de los duales de los algebroides de Lie . El dual de cualquier algebroide de Lie lleva un soporte de Poisson lineal de fibra, ^[11] definido únicamente por donde está la evaluación por . De manera equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como donde están las coordenadas alrededor de un punto , son las coordenadas de la fibra en , son duales a un marco local de , y y son la función de estructura de , es decir, las funciones suaves únicas que satisfacen. Por el contrario, cualquier estructura de Poisson lineal a fibra debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura algebroide de Lie natural inducida sobre cuyo respaldo de Lie-Poisson se recupera . ^[12] ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y_{a}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{a}^{i}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A:=E^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Las hojas simplécticas son los haces cotangentes de las órbitas algebroides ; de manera equivalente, si es integrable a un grupoide de Lie , son los componentes conectados de las órbitas del grupoide cotangente . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Para uno se recuperan estructuras lineales de Poisson, mientras que para la estructura de Poisson lineal a fibras es la no degenerada dada por la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente . ${\displaystyle M=\{*\}}$ ${\displaystyle A=TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Otros ejemplos y construcciones

• Cualquier campo bivector constante en un espacio vectorial es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, los tres términos del Jacobiator son cero, siendo el paréntesis una función constante.
• Cualquier campo bivector en una variedad bidimensional es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, es un campo de 3 vectores, que siempre es cero en dimensión 2. ${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• Dado cualquier campo bivectorial de Poisson en una variedad tridimensional , el campo bivectorial , para cualquier , es automáticamente Poisson. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\pi }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• El producto cartesiano de dos variedades de Poisson es nuevamente una variedad de Poisson. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$ ${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• Sea una foliación (regular) de dimensión y una foliación cerrada de dos formas cuyo poder no desaparece en ninguna parte. Esto determina de manera única una estructura de Poisson regular al requerir que las hojas simplécticas de estén equipadas con la forma simpléctica inducida . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \omega ^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$
• Sea un grupo de Lie que actúa sobre una variedad de Poisson mediante difeomorfismos de Poisson. Si la acción es libre y propia , la variedad cociente hereda una estructura de Poisson ( es decir, es la única tal que la inmersión es un mapa de Poisson). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle \pi _{M/G}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

Cohomología de Poisson

Los grupos de cohomología de Poisson de una variedad de Poisson son los grupos de cohomología del complejo de cocadenas. ${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$ $${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$

donde el operador es el corchete de Schouten-Nijenhuis con . Observe que dicha secuencia se puede definir para cada bivector en ; la condición es equivalente a , es decir, ser Poisson. ${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$ ${\displaystyle M}$

Usando el morfismo , se obtiene un morfismo del complejo de Rham al complejo de Poisson , induciendo un homomorfismo de grupo . En el caso no degenerado, esto se convierte en un isomorfismo, de modo que la cohomología de Poisson de una variedad simpléctica recupera completamente su cohomología de Rham . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$ ${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

La cohomología de Poisson es difícil de calcular en general, pero los grupos de bajo grado contienen información geométrica importante sobre la estructura de Poisson:

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$es el espacio de las funciones de Casimir , es decir, funciones suaves que conmutan Poisson con todas las demás (o, de manera equivalente, funciones suaves constantes en las hojas simplécticas);
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$es el espacio de campos vectoriales de Poisson módulo de campos vectoriales hamiltonianos;
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$es el espacio de las deformaciones infinitesimales de la estructura de Poisson módulo de deformaciones triviales;
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$es el espacio de las obstrucciones para extender las deformaciones infinitesimales a las deformaciones reales.

clase modular

La clase modular de una variedad de Poisson es una clase en el primer grupo de cohomología de Poisson, que es la obstrucción a la existencia de una forma de volumen invariante bajo los flujos hamiltonianos. ^[13] Fue introducido por Koszul ^[14] y Weinstein. ^[15]

Recuerde que la divergencia de un campo vectorial con respecto a una forma de volumen dada es la función definida por . El campo vectorial modular de una variedad de Poisson, con respecto a una forma de volumen , es el campo vectorial definido por la divergencia de los campos vectoriales hamiltonianos :. ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

El campo vectorial modular es un 1-cociclo de Poisson, es decir, satisface . Además, dadas dos formas de volumen y , la diferencia es un campo vectorial hamiltoniano. En consecuencia, la clase de cohomología de Poisson no depende de la elección original de la forma del volumen y se denomina clase modular de la variedad de Poisson. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Una variedad de Poisson se llama unimodular si su clase modular desaparece. Observe que esto sucede si y sólo si existe una forma de volumen tal que el campo vectorial modular desaparezca, es decir, para cada ; en otras palabras, es invariante bajo el flujo de cualquier campo vectorial hamiltoniano. Por ejemplo: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$

• Las estructuras simplécticas son siempre unimodulares, ya que la forma de Liouville es invariante en todos los campos vectoriales hamiltonianos;
• Para estructuras lineales de Poisson la clase modular es el carácter modular infinitesimal de , ya que el campo vectorial modular asociado a la medida estándar de Lebesgue es el campo vectorial constante de . Entonces es unimodular como variedad de Poisson si y sólo si es unimodular como álgebra de Lie; ^[dieciséis] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Para las estructuras regulares de Poisson, la clase modular está relacionada con la clase Reeb de la foliación simpléctica subyacente (un elemento del primer grupo de cohomología foliar, que obstruye la existencia de una forma normal de volumen invariante por campos vectoriales tangentes a la foliación). ^[17]

Homología de Poisson

La cohomología de Poisson fue introducida en 1977 por el propio Lichnerowicz; ^[1] una década más tarde, Brylinski introdujo una teoría de homología para variedades de Poisson, utilizando el operador . ^[18] ${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

Se han demostrado varios resultados relacionando la homología y cohomología de Poisson. ^[19] Por ejemplo, para variedades de Poisson unimodulares orientables , la homología de Poisson resulta ser isomorfa a la cohomología de Poisson: esto fue demostrado de forma independiente por Xu ^[20] y Evans-Lu-Weinstein. ^[dieciséis]

Mapas de Poisson

Un mapa suave entre variedades de Poisson se llama ${\displaystyle \varphi :M\to N}$Mapa de Poisson si respeta las estructuras de Poisson, es decir, se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (compárese con las definiciones equivalentes de estructuras de Poisson anteriores):

• Los soportes Poisson y satisfacen para todas las funciones y sin problemas. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$ ${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(N)}$
• los campos bivectoriales y están relacionados, es decir ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}}$
• los campos vectoriales hamiltonianos asociados a cada función suave están relacionados, es decir ${\displaystyle H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }}$
• el diferencial es un morfismo de Dirac. ${\displaystyle d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))}$

Un mapa anti-Poisson satisface condiciones análogas con un signo menos en un lado.

Las variedades de Poisson son los objetos de una categoría , con mapas de Poisson como morfismos. Si un mapa de Poisson es también un difeomorfismo, entonces lo llamamos difeomorfismo de Poisson . ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

Ejemplos

• Dado el producto de la variedad de Poisson , las proyecciones canónicas , para , son mapas de Poisson. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• El mapeo de inclusión de una hoja simpléctica, o de un subespacio abierto, es un mapa de Poisson.
• Dadas dos álgebras de Lie y , el dual de cualquier homomorfismo del álgebra de Lie induce un mapa de Poisson entre sus estructuras lineales de Poisson. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Dados dos algebroides de Lie y , el dual de cualquier morfismo algebroide de Lie sobre la identidad induce un mapa de Poisson entre su estructura de Poisson lineal a fibras. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle B\to M}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

Cabe señalar que la noción de mapa de Poisson es fundamentalmente diferente de la de mapa simpléctico . Por ejemplo, con sus estructuras simplécticas estándar, no existen mapas de Poisson , mientras que abundan los mapas simplécticos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$

Realizaciones simplécticas

Una realización simpléctica en una variedad de Poisson M consta de una variedad simpléctica junto con un mapa de Poisson que es una inmersión sobreyectiva. En términos generales, el papel de una realización simpléctica es "desingularizar" una variedad de Poisson complicada (degenerada) pasando a una más grande, pero más fácil (no degenerada). ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \phi :(P,\omega )\to (M,\pi )}$

Observe que algunos autores definen realizaciones simplécticas sin esta última condición (de modo que, por ejemplo, la inclusión de una hoja simpléctica en una variedad de Poisson es un ejemplo) y llaman completa a una realización simpléctica donde hay una inmersión sobreyectiva. Ejemplos de realizaciones simplécticas (completas) incluyen los siguientes: ${\displaystyle \phi }$

• Para la estructura trivial de Poisson , se toma como paquete cotangente , con su estructura simpléctica canónica , y como proyección . ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$
• Para una estructura de Poisson no degenerada, se toma como la variedad misma y como la identidad . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M\to M}$
• Para la estructura de Lie-Poisson en , se toma como el paquete cotangente de un grupo de Lie que integra y como el mapa dual del diferencial en la identidad de la traslación (izquierda o derecha) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\to G}$

Una realización simpléctica se llama completa si, para cualquier campo vectorial hamiltoniano completo , el campo vectorial también lo es. Si bien siempre existen realizaciones simplécticas para cada variedad de Poisson (y hay varias pruebas diferentes disponibles), ^{[6] [21] [22]} las completas no, y su existencia juega un papel fundamental en el problema de integrabilidad de las variedades de Poisson (ver más abajo) . ^[23] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$

Integración de colectores de Poisson.

Cualquier variedad de Poisson induce una estructura de algebroide de Lie en su haz cotangente , también llamado algebroide cotangente . El mapa de anclaje está dado por mientras que el corchete de Lie se define como Varias nociones definidas para las variedades de Poisson se pueden interpretar a través de su algebroide de Lie : ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)}$ $${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}$$ ${\displaystyle T^{*}M}$

• la foliación simpléctica es la foliación habitual (singular) inducida por el ancla del algebroide de Lie;
• las hojas simplécticas son las órbitas del algebroide de Lie;
• una estructura de Poisson es regular precisamente cuando el algebroide de Lie asociado lo es; ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• los grupos de cohomología de Poisson coinciden con los grupos de cohomología del algebroide de Lie con coeficientes en la representación trivial; ${\displaystyle T^{*}M}$
• la clase modular de una variedad de Poisson coincide con la clase modular del algebroide de Lie asociado . ^[dieciséis] ${\displaystyle T^{*}M}$

Es de crucial importancia notar que el algebroide de Lie no siempre es integrable a un grupoide de Lie. ${\displaystyle T^{*}M}$

Grupoides simplécticos

AEl grupoide simpléctico es ungrupoide de Lie junto con una forma simplécticaque también es multiplicativa, es decir, satisface la siguiente compatibilidad algebraica con la multiplicación del grupoide:. De manera equivalente, se pide que la gráfica desea unasubvariedad lagrangianade. Entre las diversas consecuencias, la dimensión dees automáticamente el doble de la dimensión de. La noción de grupoide simpléctico fue introducida a finales de los años 80 de forma independiente por varios autores.^{[24][25][21][11]} ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle M}$

Un teorema fundamental establece que el espacio base de cualquier grupoide simpléctico admite una estructura de Poisson única tal que el mapa fuente y el mapa objetivo son, respectivamente, un mapa de Poisson y un mapa anti-Poisson. Además, el algebroide de Lie es isomorfo al algebroide cotangente asociado a la variedad de Poisson . ^[26] Por el contrario, si el paquete cotangente de una variedad de Poisson es integrable en algún grupoide de Lie , entonces es automáticamente un grupoide simpléctico. ^[27] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

En consecuencia, el problema de integrabilidad de una variedad de Poisson consiste en encontrar un grupoide de Lie (simpléctico) que integre su algebroide cotangente; cuando esto sucede, la estructura de Poisson se llama integrable .

Si bien cualquier variedad de Poisson admite una integración local (es decir, un grupoide simpléctico donde la multiplicación se define sólo localmente), ^[26] existen obstrucciones topológicas generales a su integrabilidad, provenientes de la teoría de la integrabilidad de los algebroides de Lie. ^[28] Utilizando tales obstrucciones, se puede demostrar que una variedad de Poisson es integrable si y sólo si admite una realización simpléctica completa. ^[23]

El candidato para el grupoide simpléctico que integra una variedad de Poisson dada se llama grupoide de homotopía de Poisson y es simplemente el grupoide de Weinstein del algebroide cotangente , que consiste en el cociente del espacio de Banach de una clase especial de caminos por una relación equivalente adecuada. De manera equivalente, puede describirse como un cociente simpléctico de dimensión infinita . ^[29] ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

Ejemplos de integraciones

• La estructura trivial de Poisson es siempre integrable, siendo el grupoide simpléctico el conjunto de grupos abelianos (aditivos) con la forma simpléctica canónica. ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• Una estructura de Poisson no degenerada siempre es integrable, siendo el grupoide simpléctico el grupoide par junto con la forma simpléctica (para ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• Una estructura de Lie-Poisson siempre es integrable, siendo el grupoide simpléctico el grupoide de acción ( coadjunto ) , para la integración simplemente conectada de , junto con la forma simpléctica canónica de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Una estructura de Lie-Poisson es integrable si y sólo si el algebroide de Lie es integrable a un grupoide de Lie , siendo el grupoide simpléctico el grupoide cotangente con la forma simpléctica canónica. ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Subvariedades

Una subvariedad de Poisson es una subvariedad sumergida tal que el mapa de inmersión es un mapa de Poisson. De manera equivalente, se pide que todo campo vectorial hamiltoniano , para , sea tangente a . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\displaystyle (N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )}$ ${\displaystyle X_{f}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle N}$

Esta definición es muy natural y satisface varias buenas propiedades, por ejemplo, la intersección transversal de dos subvariedades de Poisson es nuevamente una subvariedad de Poisson. Sin embargo, también tiene algunos problemas:

• Las subvariedades de Poisson son raras: por ejemplo, las únicas subvariedades de Poisson de una variedad simpléctica son los conjuntos abiertos;
• la definición no se comporta funcionalmente: si es un mapa de Poisson transversal a una subvariedad de Poisson de , la subvariedad de no es necesariamente Poisson. ${\displaystyle \Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(Q)}$ ${\displaystyle M}$

Para superar estos problemas, a menudo se utiliza la noción de transversal de Poisson (originalmente llamada subvariedad cosimpléctica). ^[6] Esto se puede definir como una subvariedad que es transversal a cada hoja simpléctica y tal que la intersección es una subvariedad simpléctica de . De ello se deduce que cualquier transversal de Poisson hereda una estructura de Poisson canónica de . En el caso de una variedad de Poisson no degenerada (cuya única hoja simpléctica es ella misma), las transversales de Poisson son lo mismo que las subvariedades simplécticas. ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\cap S}$ ${\displaystyle (S,\omega _{S})}$ ${\displaystyle X\subseteq (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{X}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M}$

Clases más generales de subvariedades juegan un papel importante en la geometría de Poisson, incluidas las subvariedades de Lie-Dirac, las subvariedades de Poisson-Dirac, las subvariedades coisotrópicas y las subvariedades anteriores a Poisson. ^[30]

Ver también

• Colector Nambu-Poisson
• Grupo Poisson-Lie
• supercolector de Poisson

Referencias

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