Número surrealista

En matemáticas , el sistema de numeración surrealista es una clase propia totalmente ordenada que contiene no solo los números reales , sino también los números infinitos e infinitesimales , respectivamente mayores o menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. La investigación sobre el final del juego Go realizada por John Horton Conway condujo a la definición y construcción original de los números surrealistas. La construcción de Conway se introdujo en el libro de Donald Knuth de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness .

Los surrealistas comparten muchas propiedades con los reales, incluyendo las operaciones aritméticas usuales (suma, resta, multiplicación y división); como tales, forman un cuerpo ordenado . ^[a] Si se formulan en la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel , los números surrealistas son un cuerpo ordenado universal en el sentido de que todos los demás cuerpos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales , el cuerpo de Levi-Civita , los números superreales (incluyendo los números hiperreales ) pueden ser realizados como subcuerpos de los surrealistas. ^[1] Los surrealistas también contienen todos los números ordinales transfinitos ; la aritmética sobre ellos está dada por las operaciones naturales . También se ha demostrado (en la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel) que el cuerpo hiperreal de clase maximal es isomorfo al cuerpo surrealista de clase maximal.

Historia del concepto

La investigación sobre el final del juego Go realizada por John Horton Conway condujo a la definición y construcción original de los números surrealistas. ^[2] La construcción de Conway fue introducida en el libro de Donald Knuth de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness . En su libro, que toma la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término números surrealistas para lo que Conway había llamado simplemente números . ^[3] Conway adoptó más tarde el término de Knuth y utilizó surrealistas para analizar juegos en su libro de 1976 On Numbers and Games .

Una ruta separada para definir los surrealistas comenzó en 1907, cuando Hans Hahn introdujo las series de Hahn como una generalización de las series de potencias formales , y Felix Hausdorff introdujo ciertos conjuntos ordenados llamados $η α$ -conjuntos para los ordinales $α$ y preguntó si era posible encontrar un grupo ordenado compatible o una estructura de campo. En 1962, Norman Alling utilizó una forma modificada de las series de Hahn para construir tales campos ordenados asociados a ciertos ordinales α y, en 1987, demostró que tomar $α$ como la clase de todos los ordinales en su construcción da una clase que es un campo ordenado isomorfo a los números surrealistas. ^[4]

Si los surrealistas se consideran "simplemente" como un campo cerrado real del tamaño de una clase propia, el artículo de Alling de 1962 trata el caso de cardinales fuertemente inaccesibles que pueden considerarse naturalmente como clases propias al cortar la jerarquía acumulativa del universo un nivel por encima del cardinal, y Alling, en consecuencia, merece mucho crédito por el descubrimiento/invención de los surrealistas en este sentido. Sin embargo, hay una importante estructura de campo adicional en los surrealistas que no es visible a través de esta lente, a saber, la noción de un "cumpleaños" y la correspondiente descripción natural de los surrealistas como resultado de un proceso de relleno de cortes a lo largo de sus cumpleaños dada por Conway. Esta estructura adicional se ha vuelto fundamental para una comprensión moderna de los números surrealistas, y por lo tanto se le da crédito a Conway por descubrir los surrealistas tal como los conocemos hoy; el propio Alling le da todo el crédito a Conway en un artículo de 1985 que precede a su libro sobre el tema. ^[5]

Descripción

Notación

En el contexto de los números surrealistas, un par ordenado de conjuntos $L$ y $R$ , que se escribe como $(L, R)$ en muchos otros contextos matemáticos, se escribe en cambio ${L | R}$ incluyendo el espacio adicional adyacente a cada llave. Cuando un conjunto está vacío, a menudo simplemente se omite. Cuando un conjunto se describe explícitamente por sus elementos, el par de llaves que encierra la lista de elementos a menudo se omite. Cuando se toma una unión de conjuntos, el operador que la representa es a menudo una coma. Por ejemplo, en lugar de $(L 1 \cup L 2 \cup {0, 1, 2}, \emptyset)$ , que es una notación común en otros contextos, normalmente escribimos ${L 1, L 2, 0, 1, 2 | }$ .

Esquema de construcción

En la construcción de Conway, ^[6] los números surrealistas se construyen en etapas, junto con un ordenamiento ≤ tal que para cualesquiera dos números surrealistas $a$ y $b$ , $a \leq b$ o $b \leq a$ . (Ambos pueden cumplirse, en cuyo caso $a$ y $b$ son equivalentes y denotan el mismo número.) Cada número se forma a partir de un par ordenado de subconjuntos de números ya construidos: dados los subconjuntos $L$ y $R$ de números tales que todos los miembros de $L$ son estrictamente menores que todos los miembros de $R$ , entonces el par ${L | R}$ representa un número intermedio en valor entre todos los miembros de $L$ y todos los miembros de $R$ .

Diferentes subconjuntos pueden terminar definiendo el mismo número: ${L | R}$ y ${L' | R'}$ pueden definir el mismo número incluso si $L \neq L'$ y $R \neq R'$ . (Un fenómeno similar ocurre cuando los números racionales se definen como cocientes de números enteros: ⁠1/2⁠ y ⁠2/4⁠ son representaciones diferentes del mismo número racional.) Así que, estrictamente hablando, los números surrealistas son clases de equivalencia de representaciones de la forma ${L | R}$ que designan el mismo número.

En la primera etapa de construcción, no existen números previamente existentes, por lo que la única representación debe utilizar el conjunto vacío: ${ | }$ . Esta representación, donde $L$ y $R$ están vacíos, se llama 0. Las etapas posteriores producen formas como

{ 0 | } = 1

{ 1 | } = 2

{ 2 | } = 3

{ | 0 } = -1

{ | -1 } = -2

{ | -2 } = -3

Los números enteros están, por tanto, contenidos dentro de los números surrealistas. (Las identidades anteriores son definiciones, en el sentido de que el lado derecho es un nombre para el lado izquierdo. Que los nombres son realmente apropiados será evidente cuando se definan las operaciones aritméticas sobre números surrealistas, como en la sección siguiente). De manera similar, representaciones como

{ 0 | 1 } = ⁠ 1 / 2 ⁠

{ 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠} = ⁠ 1 / 4 ⁠

{⁠ 1 / 2 ⁠ | 1 } = ⁠ 3 / 4 ⁠

surgen, de modo que los racionales diádicos (números racionales cuyos denominadores son potencias de 2) quedan contenidos dentro de los números surreales.

Después de un número infinito de etapas, se obtienen subconjuntos infinitos, de modo que cualquier número real $a$ puede representarse mediante ${L a | R a},$ donde $L a$ es el conjunto de todos los racionales diádicos menores que $a$ y $R a$ es el conjunto de todos los racionales diádicos mayores que $a$ (que recuerda a un corte de Dedekind ). Por lo tanto, los números reales también están incluidos en los surrealistas.

También hay representaciones como

{ 0, 1, 2, 3, ... | } = ω

{ 0 | 1, ⁠ 1 / 2 ⁠, ⁠ 1 / 4 ⁠, ⁠ 1 / 8 ⁠, ... } = ε

donde $ω$ es un número transfinito mayor que todos los números enteros y ε es un infinitesimal mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Además, las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación y división) se pueden extender a estos números no reales de una manera que convierte la colección de números surrealistas en un cuerpo ordenado, de modo que se puede hablar de $2 ω$ o $ω - 1$ y así sucesivamente.

Construcción

Los números surrealistas se construyen inductivamente como clases de equivalencia de pares de conjuntos de números surrealistas, restringidas por la condición de que cada elemento del primer conjunto sea menor que cada elemento del segundo conjunto. La construcción consta de tres partes interdependientes: la regla de construcción, la regla de comparación y la regla de equivalencia.

Formularios

Una forma es un par de conjuntos de números irreales, llamados su conjunto izquierdo y su conjunto derecho . Una forma con el conjunto izquierdo $L$ y el conjunto derecho $R$ se escribe ${L | R}$ . Cuando $L$ y $R$ se dan como listas de elementos, se omiten las llaves que los rodean.

Cualquiera o ambos conjuntos, el izquierdo y el derecho de una forma, pueden ser el conjunto vacío. La forma ${ { } | { } }$ con los conjuntos izquierdo y derecho vacíos también se escribe ${ | }$ .

Formas numéricas y sus clases de equivalencia

Regla de construcción

Una forma

{L | R}

es numérica si la intersección de

L

R

es el conjunto vacío y cada elemento de

R

es mayor que cada elemento de

L

, de acuerdo con la relación de orden ≤ dada por la regla de comparación a continuación.

Las formas numéricas se colocan en clases de equivalencia; cada una de estas clases de equivalencia es un número surrealista . Los elementos de los conjuntos izquierdo y derecho de una forma se extraen del universo de los números surrealistas (no de las formas , sino de sus clases de equivalencia ).

Regla de equivalencia

Dos formas numéricas

x

y

son formas del mismo número (se encuentran en la misma clase de equivalencia) si y solo si tanto

x \leq y

como

y \leq x

Una relación de ordenación debe ser antisimétrica , es decir, debe tener la propiedad de que $x = y$ (es decir, $x \leq y$ $e y$ ≤ $x$ $son$ ambos verdaderos) solo cuando $x$ e $y son el mismo objeto. Este no es el caso para$ las formas numéricas surrealistas , pero es cierto por construcción para los números surrealistas (clases de equivalencia).

La clase de equivalencia que contiene ${ | }$ está etiquetada como 0; en otras palabras, ${ | }$ es una forma del número surrealista 0.

Orden

La definición recursiva de números surrealistas se completa con la definición de comparación:

Dadas las formas numéricas $x = {X L | X R}$ e $y = {Y L | Y R}$ , $x \leq y$ si y solo si ambas:

No existe $x L \in X L$ tal que $y \leq x L$ . Es decir, cada elemento en la parte izquierda de $x$ es estrictamente menor que $y$ .
No existe $y R \in Y R$ tal que $y R \leq x$ . Es decir, cada elemento en la parte derecha de $y$ es estrictamente mayor que $x$ .

Los números surrealistas se pueden comparar entre sí (o con formas numéricas) eligiendo una forma numérica de su clase de equivalencia para representar cada número surrealista.

Inducción

Este grupo de definiciones es recursivo y requiere alguna forma de inducción matemática para definir el universo de objetos (formas y números) que aparecen en ellas. Los únicos números surrealistas alcanzables mediante inducción finita son las fracciones diádicas ; se puede alcanzar un universo más amplio mediante alguna forma de inducción transfinita .

Regla de inducción

Hay una generación $S 0 = { 0 }$ , en la que 0 consiste en la forma simple ${ | }$ .
Dado cualquier número ordinal $n$ , la generación $S n$ es el conjunto de todos los números surreales que se generan mediante la regla de construcción a partir de subconjuntos de . ${\textstyle \bigcup _{i<n}S_{i}}$

El caso base es en realidad un caso especial de la regla de inducción, en el que se toma 0 como etiqueta para el "menor ordinal". Puesto que no existe ningún $S i$ con $i < 0$ , la expresión es el conjunto vacío; el único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío y, por lo tanto, $S$ $0$ consiste en una única forma surrealista { | } que se encuentra en una única clase de equivalencia 0. ${\textstyle \bigcup _{i<0}S_{i}}$

Para cada número ordinal finito $n$ , $S n$ está bien ordenado por el ordenamiento inducido por la regla de comparación en los números surrealistas.

La primera iteración de la regla de inducción produce las tres formas numéricas { | 0 } < { | } < { 0 | } (la forma { 0 | 0 } no es numérica porque $0 \leq 0$ ). La clase de equivalencia que contiene a { 0 | } se etiqueta como 1 y la clase de equivalencia que contiene a { | 0 } se etiqueta como −1. Estas tres etiquetas tienen un significado especial en los axiomas que definen un anillo ; son la identidad aditiva (0), la identidad multiplicativa (1) y el inverso aditivo de 1 (−1). Las operaciones aritméticas definidas a continuación son consistentes con estas etiquetas.

Para cada $i < n$ , dado que cada forma válida en $S i$ es también una forma válida en $S n$ , todos los números en $S i$ también aparecen en $S n$ (como superconjuntos de su representación en $S i$ ). (La expresión de unión de conjuntos aparece en nuestra regla de construcción, en lugar de la forma más simple $S n -1$ , de modo que la definición también tiene sentido cuando $n$ es un ordinal límite .) Se dice que los números en $S n$ que son un superconjunto de algún número en $S i$ han sido heredados de la generación $i$ . El valor más pequeño de α para el cual un número surreal dado aparece en $S α$ se llama su cumpleaños . Por ejemplo, el cumpleaños de 0 es 0, y el cumpleaños de −1 es 1.

Una segunda iteración de la regla de construcción produce el siguiente ordenamiento de clases de equivalencia:

{ | -1 } = { | -1, 0 } = { | -1, 1 } = { | -1, 0, 1 }

< { | 0 } = { | 0, 1 }

<{-1 | 0 } = { -1 | 0, 1 }

< { | } = { -1 | } = { | 1 } = { -1 | 1 }

< { 0 | 1 } = { -1, 0 | 1 }

< { 0 | } = { -1, 0 | }

< {1 | } = { 0, 1 | } = { -1, 1 | } = { -1, 0, 1 | }

La comparación de estas clases de equivalencia es consistente, independientemente de la forma elegida. A continuación se presentan tres observaciones:

$S 2$ contiene cuatro nuevos números surrealistas. Dos contienen formas extremas: { | −1, 0, 1 } contiene todos los números de generaciones anteriores en su conjunto derecho, y { −1, 0, 1 | } contiene todos los números de generaciones anteriores en su conjunto izquierdo. Los otros tienen una forma que divide todos los números de generaciones anteriores en dos conjuntos no vacíos.
Todo número surrealista $x$ que existía en la "generación" anterior existe también en esta generación, e incluye al menos una nueva forma: una partición de todos los números distintos de $x$ de generaciones anteriores en un conjunto izquierdo (todos los números menores que $x$ ) y un conjunto derecho (todos los números mayores que $x$ ).
La clase de equivalencia de un número depende únicamente del elemento máximo de su conjunto izquierdo y del elemento mínimo del conjunto derecho.

Las interpretaciones informales de { 1 | } y { | −1 } son "el número justo después de 1" y "el número justo antes de −1" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas como 2 y −2. Las interpretaciones informales de { 0 | 1 } y { −1 | 0 } son "el número a medio camino entre 0 y 1" y "el número a medio camino entre −1 y 0" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas como ⁠1/2⁠ y − ⁠1/2⁠ . Estas etiquetas también se justificarán mediante las reglas de suma y multiplicación surrealistas que aparecen a continuación.

Las clases de equivalencia en cada etapa $n$ de la inducción pueden caracterizarse por sus $n$ formas completas ( cada una de las cuales contiene tantos elementos como sea posible de generaciones anteriores en sus conjuntos izquierdo y derecho). Esta forma completa contiene todos los números de generaciones anteriores en su conjunto izquierdo o derecho, en cuyo caso esta es la primera generación en la que aparece este número; o contiene todos los números de generaciones anteriores menos uno, en cuyo caso es una nueva forma de este número. Conservamos las etiquetas de la generación anterior para estos números "antiguos" y escribimos el orden anterior utilizando las etiquetas antigua y nueva:

−2 < −1 < − ⁠12⁠ < 0 < ⁠12< 1 <2.

La tercera observación se extiende a todos los números surrealistas con conjuntos izquierdos y derechos finitos. (Para conjuntos izquierdos o derechos infinitos, esto es válido en una forma alterada, ya que los conjuntos infinitos podrían no contener un elemento máximo o mínimo). El número { 1, 2 | 5, 8 } es, por lo tanto, equivalente a { 2 | 5 }; se puede establecer que estas son formas de 3 utilizando la propiedad de cumpleaños , que es una consecuencia de las reglas anteriores.

Propiedad de cumpleaños

Una forma $x = {L | R}$ que ocurre en la generación $n$ representa un número heredado de una generación anterior $i < n$ si y solo si hay algún número en $S i$ que sea mayor que todos los elementos de $L$ y menor que todos los elementos de $R$ . (En otras palabras, si $L$ y $R$ ya están separados por un número creado en una etapa anterior, entonces $x$ no representa un nuevo número sino uno ya construido.) Si $x$ representa un número de cualquier generación anterior a $n$ , existe al menos una generación $i$ de ese tipo , y exactamente un número $c$ con este menor $i$ como su cumpleaños que se encuentra entre $L$ y $R$ ; $x$ es una forma de este $c$ . En otras palabras, se encuentra en la clase de equivalencia en $S n$ que es un superconjunto de la representación de $c$ en la generación $i$ .

Aritmética

La suma, negación (inversa aditiva) y multiplicación de las formas numéricas surrealistas $x = {X L | X R}$ e $y = {Y L | Y R}$ se definen mediante tres fórmulas recursivas.

Negación

La negación de un número dado $x = {X L | X R}$ se define por donde la negación de un conjunto $S$ de números viene dada por el conjunto de los elementos negados de $S$ : $-x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}=\{-X_{R}\mid -X_{L}\},$ $-S=\{-s:s\in S\}.$

Esta fórmula implica la negación de los números surrealistas que aparecen en los conjuntos izquierdo y derecho de $x$ , lo que debe entenderse como el resultado de elegir una forma del número, evaluar la negación de esta forma y tomar la clase de equivalencia de la forma resultante. Esto solo tiene sentido si el resultado es el mismo, independientemente de la forma elegida del operando. Esto se puede demostrar inductivamente utilizando el hecho de que los números que aparecen en $X L$ y $X R$ se extraen de generaciones anteriores a aquella en la que aparece por primera vez la forma $x$ , y observando el caso especial: $-0=-\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0.$

Suma

La definición de adición también es una fórmula recursiva: donde $x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\},$

$X+y=\{x'+y:x'\in X\},\quad x+Y=\{x+y':y'\in Y\}$ .

Esta fórmula implica la suma de uno de los operandos originales y un número surrealista extraído del conjunto izquierdo o derecho del otro. Se puede demostrar inductivamente con los casos especiales: Por ejemplo: $0+0=\{{}\mid {}\}+\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0$ $x+0=x+\{{}\mid {}\}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x$ $0+y=\{{}\mid {}\}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y$

⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | 1 } + { 0 | 1 } = {⁠ 1 / 2 ⁠ | ⁠ 3 / 2 ⁠}

que por la propiedad de cumpleaños es una forma de 1. Esto justifica la etiqueta utilizada en la sección anterior.

Sustracción

La resta se define con la suma y la negación: $x-y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{-Y_{R}\mid -Y_{L}\}=\{X_{L}-y,x-Y_{R}\mid X_{R}-y,x-Y_{L}\}\,.$

Multiplicación

La multiplicación también se puede definir de forma recursiva, comenzando por los casos especiales que involucran 0, la identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo −1: La fórmula contiene expresiones aritméticas que involucran los operandos y sus conjuntos izquierdo y derecho, como la expresión que aparece en el conjunto izquierdo del producto de $x$ e $y$ . Esto se entiende como , el conjunto de números generado al elegir todas las combinaciones posibles de miembros de y , y sustituirlos en la expresión. ${\begin{aligned}xy&=\{X_{L}\mid X_{R}\}\{Y_{L}\mid Y_{R}\}\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}\mid X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}$ ${\textstyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}}$ ${\textstyle \left\{x'y+xy'-x'y':x'\in X_{R},~y'\in Y_{R}\right\}}$ ${\textstyle X_{R}}$ ${\textstyle Y_{R}}$

Por ejemplo, para demostrar que el cuadrado de ⁠1/2⁠ es ⁠1/4:

⁠ 1 / 2 ⁠ \cdot ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | 1 } \cdot { 0 | 1 } = { 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠} = ⁠ 1 / 4 ⁠

División

La definición de división se hace en términos del recíproco y la multiplicación:

${\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}$

donde ^[6]^{: 21}

${\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}$

para $y$ positivo . Solo se permiten $y L$ $positivos en la fórmula, y se ignoran los términos no positivos (y y R$ siempre son positivos). Esta fórmula implica no solo recursión en términos de poder dividir por números de los conjuntos izquierdo y derecho de $y$ , sino también recursión en cuanto a que los miembros de los conjuntos izquierdo y derecho de $⁠$ $1 / y ⁠$ en sí mismo. 0 siempre es un miembro del conjunto izquierdo de $⁠$ $1 / y ⁠$ , y eso se puede usar para encontrar más términos de manera recursiva. Por ejemplo, si $y = 3 = { 2 |$ }, entonces conocemos un término izquierdo de ⁠1/3⁠ será 0. Esto a su vez significa $⁠$ $1 + (2 - 3)0 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠$ es un término correcto. Esto significa que es un término izquierdo. Esto significa que será un término correcto. Continuando, esto da ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}$ ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}$ ${\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}$

$Para y$ negativo , $⁠$ $1 / y ⁠$ está dado por ${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Si $y = 0$ , $entonces$ $1 / y ⁠$ no está definido.

Consistencia

Se puede demostrar que las definiciones de negación, adición y multiplicación son consistentes, en el sentido de que:

La suma y la negación se definen recursivamente en términos de pasos de suma y negación "más simples", de modo que las operaciones sobre números con cumpleaños $n$ eventualmente se expresarán completamente en términos de operaciones sobre números con cumpleaños menores a $n$ ;
La multiplicación se define recursivamente en términos de adiciones, negaciones y pasos de multiplicación "más simples", de modo que el producto de números con cumpleaños $n$ eventualmente se expresará completamente en términos de sumas y diferencias de productos de números con cumpleaños menores a $n$ ;
Siempre que los operandos sean formas numéricas surrealistas bien definidas (cada elemento del conjunto izquierdo es menor que cada elemento del conjunto derecho), los resultados son nuevamente formas numéricas surrealistas bien definidas;
Las operaciones se pueden extender a números (clases de equivalencia de formas): el resultado de negar $x$ o sumar o multiplicar $x$ e $y$ representará el mismo número independientemente de la elección de la forma de $x$ e $y$ ; y
Estas operaciones obedecen a los axiomas de asociatividad, conmutatividad, inverso aditivo y distributividad en la definición de un cuerpo , con identidad aditiva $0 = { | }$ e identidad multiplicativa $1 = { 0 | }$ .

Con estas reglas se puede comprobar que los números encontrados en las primeras generaciones están correctamente etiquetados. La regla de construcción se repite para obtener más generaciones de surrealistas:

S 0 = { 0 }

S 1 = { -1 < 0 < 1 }

S 2 = { -2 < -1 < - ⁠ 1 / 2 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 2 ⁠ < 1 < 2 }

S 3 = { -3 < -2 < - ⁠ 3 / 2 ⁠ < -1 < - ⁠ 3 / 4 ⁠ < - ⁠ 1 / 2 ⁠ < - ⁠ 1 / 4 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < 1 < ⁠ 3 / 2 ⁠ < 2 < 3 }

S 4 = { -4 < -3 < ... < - ⁠ 1 / 8 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 5 / 8 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < ⁠ 7 / 8 ⁠ < 1 < ⁠ 5 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 2 ⁠ < ⁠ 7 / 4 ⁠ < 2 < ⁠ 5 / 2 ⁠ < 3 < 4 }

Cierre aritmético

Para cada número natural (ordinal finito) $n$ , todos los números generados en $S n$ son fracciones diádicas , es decir, pueden escribirse como una fracción irreducible $.$ $a / 2b ⁠$ , donde $a$ y $b$ son números enteros y $0 \leq b < n$ .

El conjunto de todos los números surreales que se generan en algún $S n$ $para n$ finito puede denotarse como . Se pueden formar las tres clases de las cuales $S$ $*$ es la unión. Ningún $S$ $n$ individual es cerrado bajo adición y multiplicación (excepto $S$ $0$ ), pero $S$ $*$ sí lo es; es el subanillo de los racionales que consiste en todas las fracciones diádicas. ${\textstyle S_{*}=\bigcup _{n\in N}S_{n}}$ ${\begin{aligned}S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}$

Hay infinitos números ordinales β para los cuales el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β está cerrado bajo las diferentes operaciones aritméticas. ^[7] Para cualquier ordinal α, el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que $β = ω α$ (usando potencias de ω) está cerrado bajo la adición y forma un grupo; para cumpleaños menor que ω ^{ω ^α} está cerrado bajo la multiplicación y forma un anillo; ^[b] y para cumpleaños menor que un número épsilon (ordinal) ε _α está cerrado bajo la multiplicación inversa y forma un cuerpo. Los últimos conjuntos también están cerrados bajo la función exponencial definida por Kruskal y Gonshor. ^[7]^[8]^{: cap. 10}^[7]

Sin embargo, siempre es posible construir un número surrealista que sea mayor que cualquier miembro de un conjunto de surrealistas (incluyendo el conjunto en el lado izquierdo del constructor) y, por lo tanto, la colección de números surrealistas es una clase propia . Con sus operaciones de ordenación y algebraicas constituyen un cuerpo ordenado , con la salvedad de que no forman un conjunto . De hecho, es el cuerpo ordenado más grande, en el sentido de que cada cuerpo ordenado es un subcuerpo de los números surrealistas. ^[1] La clase de todos los números surrealistas se denota con el símbolo . ${\textstyle \mathbb {No} }$

Infinidad

Defina $S ω$ como el conjunto de todos los números surrealistas generados por la regla de construcción a partir de subconjuntos de $S *$ . (Este es el mismo paso inductivo que antes, ya que el número ordinal ω es el ordinal más pequeño que es mayor que todos los números naturales; sin embargo, la unión de conjuntos que aparece en el paso inductivo es ahora una unión infinita de conjuntos finitos, y por lo tanto este paso solo se puede realizar en una teoría de conjuntos que permita tal unión). Un único número positivo infinitamente grande ocurre en $S ω$ : $S$ $ω$ también contiene objetos que pueden identificarse como los números racionales . Por ejemplo, la forma ω-completa de la fracción ⁠ $\omega =\{S_{*}\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots \mid {}\}.$ 1/3⁠ viene dado por: El producto de esta forma de ⁠ ${\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3y<1\mid y\in S_{*}:3y>1\}.$ 1/3⁠ con cualquier forma de 3 es una forma cuyo conjunto izquierdo contiene solo números menores que 1 y cuyo conjunto derecho contiene solo números mayores que 1; la propiedad del cumpleaños implica que este producto es una forma de 1.

No sólo aparecen en $S$ $ω$ todos los demás números racionales , sino que también aparecen los restantes números reales finitos . Por ejemplo, $\pi =\left\{3,{\tfrac {25}{8}},{\tfrac {201}{64}},\ldots \mid 4,{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {13}{4}},{\tfrac {51}{16}},\ldots \right\}.$

Los únicos infinitos en $S ω$ son $ω$ y $- ω$ ; pero hay otros números no reales en $S ω$ entre los reales. Considere el número positivo más pequeño en $S ω$ : . Este número es mayor que cero pero menor que todas las fracciones diádicas positivas. Por lo tanto, es un número infinitesimal , a menudo etiquetado como $ε$ . La forma $ω -completa de$ $ε$ (respectivamente − $ε$ ) es la misma que la forma $ω$ -completa de 0, excepto que 0 está incluido en el conjunto izquierdo (respectivamente derecho). Los únicos infinitesimales "puros" en $S$ $ω$ son $ε$ y su inverso aditivo − $ε$ ; al sumarlos a cualquier fracción diádica $y$ produce los números $y$ $\pm$ $ε$ , que también se encuentran en $S$ $ω$ . $\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}\mid S_{+}\}=\left\{0\mid 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots \right\}=\{0\mid y\in S_{*}:y>0\}$

Se puede determinar la relación entre ω y ε multiplicando formas particulares de ellos para obtener:

ω \cdot ε = {ε \cdot S + | ω \cdot S + + S * + ε \cdot S *}

Esta expresión sólo está bien definida en una teoría de conjuntos que permite la inducción transfinita hasta $S ω 2$ . En un sistema así, se puede demostrar que todos los elementos del conjunto izquierdo de $ωS ω \cdot S ω ε$ son infinitesimales positivos y todos los elementos del conjunto derecho son infinitos positivos, y por lo tanto $ωS ω \cdot S ω ε$ es el número finito positivo más antiguo, 1. En consecuencia, $⁠$ $1 / mi ⁠ = ω$ . Algunos autores utilizan sistemáticamente $ω -1$ en lugar del símbolo $ε$ .

Contenido deSω

Dado cualquier $x = {L | R}$ en $S ω$ , exactamente una de las siguientes es verdadera:

$L$ y $R$ están ambos vacíos, en cuyo caso $x = 0$ ;
$R$ está vacío y algún entero $n \geq 0$ es mayor que cada elemento de $L$ , en cuyo caso $x$ es igual al entero más pequeño $n$ ;
$R$ está vacío y ningún entero $n$ es mayor que cada elemento de $L$ , en cuyo caso $x$ es igual a $+ ω$ ;
$L$ está vacío y algún entero $n \leq 0$ es menor que cada elemento de $R$ , en cuyo caso $x$ es igual al mayor de dichos enteros $n$ ;
$L$ está vacío y ningún entero $n$ es menor que cada elemento de $R$ , en cuyo caso $x$ es igual a $- ω$ ;
L y R no están vacíos y:
- Alguna fracción diádica $y$ está "estrictamente entre" $L$ y $R$ (mayor que todos los elementos de $L$ y menor que todos los elementos de $R$ ), en cuyo caso $x$ es igual a la fracción diádica $y$ más antigua ;
- Ninguna fracción diádica $y$ se encuentra estrictamente entre $L$ y $R$ , pero alguna fracción diádica es mayor o igual que todos los elementos de $L$ y menor que todos los elementos de $R$ , en cuyo caso $x$ es igual a $y$ $+$ $ε$ ; ${\textstyle y\in L}$
- Ninguna fracción diádica $y$ se encuentra estrictamente entre $L$ y $R$ , pero alguna fracción diádica es mayor que todos los elementos de $L$ y menor o igual que todos los elementos de $R$ , en cuyo caso $x$ es igual a $y$ $-$ $ε$ ; ${\textstyle y\in R}$
- Toda fracción diádica es mayor que algún elemento de $R$ o menor que algún elemento de $L$ , en cuyo caso $x$ es un número real que no tiene representación como fracción diádica.

$S ω$ no es un cuerpo algebraico, porque no está cerrado bajo operaciones aritméticas; considérese ω+1, cuya forma no se encuentra en ningún número de $S$ $ω$ . El subconjunto máximo de $S$ $ω$ que está cerrado bajo (series finitas de) operaciones aritméticas es el cuerpo de números reales, obtenido al dejar fuera los infinitos $\pm$ $ω$ , los infinitesimales $\pm$ $ε$ y los vecinos infinitesimales $y$ $\pm$ $ε$ de cada fracción diádica distinta de cero $y$ . $\omega +1=\{1,2,3,4,...\mid {}\}+\{0\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots ,\omega \mid {}\}$

Esta construcción de los números reales difiere de los cortes de Dedekind del análisis estándar en que comienza con fracciones diádicas en lugar de racionales generales e identifica naturalmente cada fracción diádica en $S ω$ con sus formas en generaciones anteriores. (Las formas ω-completas de los elementos reales de $S ω$ están en correspondencia uno a uno con los reales obtenidos por cortes de Dedekind, bajo la condición de que los reales de Dedekind correspondientes a números racionales se representen por la forma en la que el punto de corte se omite de los conjuntos izquierdo y derecho). Los racionales no son una etapa identificable en la construcción surrealista; son meramente el subconjunto $Q$ de $S ω$ que contiene todos los elementos $x$ tales que $x b = a$ para algún $a$ y algún $b$ distinto de cero , ambos extraídos de $S *$ . Al demostrar que $Q$ está cerrado bajo repeticiones individuales de las operaciones aritméticas surrealistas, se puede demostrar que es un cuerpo; y al mostrar que cada elemento de $Q$ es alcanzable desde $S *$ mediante una serie finita (no más larga que dos, en realidad) de operaciones aritméticas incluyendo la inversión multiplicativa , se puede mostrar que $Q$ es estrictamente más pequeño que el subconjunto de $S ω$ identificado con los números reales.

El conjunto $S ω$ tiene la misma cardinalidad que los números reales $R$ . Esto se puede demostrar mostrando aplicaciones sobreyectivas de $S ω$ al intervalo unitario cerrado $I$ de $R$ y viceversa. Asignar $S ω$ a $I$ es rutinario; asigna números menores o iguales a $ε$ (incluyendo $- ω$ ) a 0, números mayores o iguales a $1 - ε$ (incluyendo $ω$ ) a 1, y números entre ε y $1 - ε$ a su equivalente en $I$ (asignando los vecinos infinitesimales $y \pm ε$ de cada fracción diádica $y$ , junto con $y$ mismo, a $y$ ). Para asignar $I$ a $S ω$ , asigna el tercio central (abierto) ( ⁠1/3⁠ , ⁠2/3⁠ ) de $I$ sobre ${ | } = 0$ ; el tercio central ( ⁠7/9⁠ , ⁠8/9⁠ ) del tercio superior a ${ 0 } = 1$ ; y así sucesivamente. Esto asigna un intervalo abierto no vacío de $I$ a cada elemento de $S *$ , monótonamente. El residuo de $I$ consiste en el conjunto de Cantor $2 ω$ , cada punto del cual está identificado de forma única por una partición de los intervalos del tercio central en conjuntos izquierdo y derecho, que corresponden precisamente a una forma ${L | R}$ en $S ω$ . Esto coloca al conjunto de Cantor en correspondencia uno a uno con el conjunto de números surrealistas con cumpleaños $ω$ .

Inducción transfinita

Si se continúa con la inducción transfinita más allá de $S ω$ se obtienen más números ordinales $α$ , cada uno representado como el número surrealista más grande que cumple años $α$ . (Esta es esencialmente una definición de los números ordinales resultantes de la inducción transfinita). El primero de estos ordinales es $ω +1 = {ω | }$ . Hay otro número infinito positivo en la generación $ω +1$ :

ω - 1 = { 0, 1, 2, 3, 4, ... | ω}

El número surrealista $ω - 1$ no es un ordinal; el ordinal ω no es el sucesor de ningún ordinal. Se trata de un número surrealista con cumpleaños ω +1, que se etiqueta como $ω - 1$ sobre la base de que coincide con la suma de $ω = { 0, 1, 2, 3, 4, ... | }$ y $-1 = { | 0 }$ . De manera similar, hay dos nuevos números infinitesimales en la generación $ω + 1$ :

2 ε = ε + ε = { ε | 1 + ε , ⁠12⁠ + ε , ⁠14⁠ + ε , ⁠18⁠ + ε , ... } y

⁠ mi / 2 ⁠ = ε \cdot ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | ε}

En una etapa posterior de inducción transfinita, hay un número mayor que $ω + k$ para todos los números naturales k :

2 ω = ω + ω = { ω +1, ω +2, ω +3, ω +4, ... | }

Este número puede ser etiquetado $ω + ω$ tanto porque su cumpleaños es $ω + ω$ (el primer número ordinal no alcanzable desde ω por la operación sucesora) y porque coincide con la suma surrealista de ω y ω ; también puede ser etiquetado 2 ω porque coincide con el producto de $ω = { 1, 2, 3, 4, ... | }$ y $2 = { 1 | }$ . Es el segundo ordinal límite; alcanzarlo desde ω a través del paso de construcción requiere una inducción transfinita en Esto implica una unión infinita de conjuntos infinitos, que es una operación de teoría de conjuntos "más fuerte" que la inducción transfinita anterior requerida. $\bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k}$

Obsérvese que la suma y multiplicación convencionales de ordinales no siempre coinciden con estas operaciones en sus representaciones surrealistas. La suma de los ordinales $1 + ω$ es igual a ω , pero la suma surrealista es conmutativa y produce $1 + ω = ω + 1 > ω$ . La suma y multiplicación de los números surrealistas asociados con los ordinales coincide con la suma natural y el producto natural de los ordinales.

Así como 2 ω es mayor que $ω + n$ para cualquier número natural n , existe un número surrealista ⁠ω/2⁠ que es infinito pero menor que $ω - n$ para cualquier número natural n . Es decir, ⁠ω/2⁠ se define por

⁠ ω / 2 ⁠ = {S * | ω - S *}

donde en el lado derecho se utiliza la notación x − Y para significar ${x - y : y \in Y}$ . Puede identificarse como el producto de ω y la forma { 0 | 1 } de ⁠1/2⁠ . El cumpleaños de ⁠ω/2⁠ es el ordinal límite ω 2.

Potencias de ω y la forma normal de Conway

Para clasificar los "órdenes" de números surrealistas infinitos e infinitesimales, también conocidos como clases arquimedianas , Conway asoció a cada número surrealista x el número surrealista

ω ^x = { 0, r ω ^{x _L} | s ω ^{x _R} },

donde r y s abarcan todos los números reales positivos. Si x < y entonces ω ^y es "infinitamente mayor" que ω ^x , en el sentido de que es mayor que r ω ^x para todos los números reales r . Las potencias de ω también satisfacen las condiciones

ω ^x ω ^y = ω ^{x + y} ,
ω ^{− x} = ⁠1/ωx⁠ ,

Por lo tanto, se comportan de la manera en que uno esperaría que se comportaran los poderes.

Cada potencia de ω también tiene la característica redentora de ser el número surrealista más simple en su clase arquimediana; a la inversa, cada clase arquimediana dentro de los números surrealistas contiene un miembro único más simple. Por lo tanto, para cada número surrealista positivo x siempre existirá algún número real positivo r y algún número surrealista y de modo que $x - rω y$ es "infinitamente menor" que x . El exponente y es el "logaritmo base ω" de x , definido sobre los surrealistas positivos; se puede demostrar que log _ω mapea los surrealistas positivos sobre los surrealistas y que

Iniciar sesión _ω ( xy ) = Iniciar sesión _ω ( x ) + Iniciar sesión _ω ( y ).

Esto se extiende por inducción transfinita de modo que cada número surrealista tiene una "forma normal" análoga a la forma normal de Cantor para números ordinales. Esta es la forma normal de Conway: Todo número surrealista x puede escribirse de forma única como

x = r ₀ ω ^{y ₀} + r ₁ ω ^{y ₁} + ...,

donde cada r _α es un número real distinto de cero y los y _α forman una secuencia estrictamente decreciente de números surrealistas. Esta "suma", sin embargo, puede tener infinitos términos y, en general, tiene la longitud de un número ordinal arbitrario. (Cero corresponde, por supuesto, al caso de una secuencia vacía y es el único número surrealista sin exponente principal).

Vistos de esta manera, los números surrealistas se parecen a un campo de series de potencias , excepto que las secuencias decrecientes de exponentes deben estar limitadas en longitud por un ordinal y no se les permite ser tan largas como la clase de ordinales. Esta es la base para la formulación de los números surrealistas como una serie de Hahn.

Brechas y continuidad

A diferencia de los números reales, un subconjunto (propio) de los números surrealistas no tiene un límite superior (o inferior) mínimo a menos que tenga un elemento máximo (mínimo). Conway define ^[6] un hueco como ${L | R}$ tal que cada elemento de L es menor que cada elemento de R , y ; esto no es un número porque al menos uno de los lados es una clase propia. Aunque similares, los huecos no son exactamente lo mismo que los cortes de Dedekind , ^[c] pero aún podemos hablar de una completitud de los números surrealistas con el ordenamiento natural que es un continuo lineal (del tamaño de una clase propia) . ^[9] ${\textstyle L\cup R=\mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$

Por ejemplo, no existe el surrealismo infinito menos positivo, sino la brecha

$\{x:\exists n\in \mathbb {N} :x<n\mid x:\forall n\in \mathbb {N} :x>n\}$

es mayor que todos los números reales y menor que todos los surrealistas infinitos positivos, y es por lo tanto el límite superior más pequeño de los reales en . De manera similar, la brecha es mayor que todos los números surrealistas. (Este es un juego de palabras esotérico : en la construcción general de ordinales, α "es" el conjunto de ordinales menores que α, y podemos usar esta equivalencia para escribir α = { α | } en los surrealistas; denota la clase de números ordinales, y debido a que es cofinal en tenemos por extensión). ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$ ${\textstyle \mathbb {On} =\{\mathbb {No} \mid {}\}}$ ${\textstyle \mathbb {On} }$ ${\textstyle \mathbb {On} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \{\mathbb {No} \mid {}\}=\{\mathbb {On} \mid {}\}=\mathbb {On} }$

Con un poco de cuidado en la teoría de conjuntos, ^[d] puede equiparse con una topología donde los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos (indexados por conjuntos propios) y se pueden definir funciones continuas. ^[9] También se puede definir un equivalente de las sucesiones de Cauchy , aunque deben indexarse por la clase de ordinales; estos siempre convergerán, pero el límite puede ser un número o un hueco que se puede expresar como con un _α decreciente y sin límite inferior en . (Todos estos huecos se pueden entender como sucesiones de Cauchy en sí mismas, pero hay otros tipos de huecos que no son límites, como ∞ y ). ^[9] ${\textstyle \mathbb {No} }$ $\sum _{\alpha \in \mathbb {No} }r_{\alpha }\omega ^{a_{\alpha }}$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {On} }$

Función exponencial

Basándose en un trabajo inédito de Kruskal , Gonshor llevó a cabo una construcción (por inducción transfinita) que extiende la función exponencial real exp( x ) (con base e ) a los surrealistas. ^[8]^{: cap. 10}

Otras exponenciales

La función potencias de ω también es una función exponencial, pero no tiene las propiedades deseadas para una extensión de la función en los números reales. Sin embargo, será necesaria en el desarrollo de la función exponencial de base e , y es esta función la que se menciona siempre que se utiliza la notación ω ^{x en lo sucesivo.}

Cuando y es una fracción diádica, la función potencia x $\mapsto$ $x$ $y$ $puede$ estar compuesta por multiplicación, inverso multiplicativo y raíz cuadrada, todas las cuales pueden definirse inductivamente. Sus valores están completamente determinados por la relación básica $x$ $y$ $+$ $z$ $=$ $x$ $y$ $\cdot$ $x$ $z$ , y donde se define necesariamente concuerda con cualquier otra exponenciación que pueda existir. ${\textstyle x\in \mathbb {No} }$

Inducción básica

Los pasos de inducción para la exponencial surrealista se basan en la expansión en serie para la exponencial real, más específicamente aquellas sumas parciales que pueden demostrarse mediante álgebra básica como positivas pero menores que todas las posteriores. Para x positivo, se denotan [ x ] _n e incluyen todas las sumas parciales; para x negativo pero finito, [ x ] ₂_n₊₁ denota los pasos impares en la serie comenzando desde el primero con una parte real positiva (que siempre existe). Para x negativo infinito, las sumas parciales impares son estrictamente decrecientes y la notación [ x ] ₂_n₊₁ denota el conjunto vacío, pero resulta que los elementos correspondientes no son necesarios en la inducción. $\exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}$

Las relaciones que se cumplen para x < y reales son entonces

exp x · [ y – x ] _n < exp y

exp y · [ x – y ] _{2 n + 1} < exp x ,

Y esto se puede extender a los surrealistas con la definición

$\exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.$

Esto está bien definido para todos los argumentos surrealistas (el valor existe y no depende de la elección de z _L y z _R ).

Resultados

Utilizando esta definición, se cumple lo siguiente: ^[e]

exp es una función positiva estrictamente creciente, $x < y \Rightarrow 0 < exp x < exp y$
exp satisface $exp(x + y) = exp x \cdot exp y$
exp es una sobreyección (sobre ) y tiene una inversa bien definida, $log = exp$ $-1$ ${\textstyle \mathbb {No} _{+}}$
exp coincide con la función exponencial habitual en los números reales (y por lo tanto $exp 0 = 1, exp 1 = e$ )
Para x infinitesimal, el valor de la serie de potencia formal ( expansión de Taylor ) de exp está bien definido y coincide con la definición inductiva
- Cuando x se da en forma normal de Conway, el conjunto de exponentes en el resultado está bien ordenado y los coeficientes son sumas finitas, lo que da directamente la forma normal del resultado (que tiene un 1 inicial).
- De manera similar, para x infinitesimalmente cercano a 1, el logaritmo de x se obtiene mediante la expansión en serie de potencias de $x - 1$
Para x positivo infinito , exp x también es infinito
- Si x tiene la forma ω ^α ( α > 0), exp x tiene la forma ω ^{ω ^β} donde β es una función estrictamente creciente de α . De hecho, existe una biyección definida inductivamente cuya inversa también puede definirse inductivamente. ${\textstyle g:\mathbb {No} _{+}\to \mathbb {No} :\alpha \mapsto \beta }$
- Si x es "infinito puro" con forma normal $x = Σ α < β r α ω a α$ donde todo $a α > 0$ , entonces $exp x = ω Σ α < β r α ω g (a α)$
- De manera similar, para $x = ω Σ α < β r α ω b α$ , la inversa viene dada por $log x = Σ α < β r α ω g -1 (b α)$
Cualquier número surrealista puede escribirse como la suma de un infinito puro, una parte real y una infinitesimal, y el exponente es el producto de los resultados parciales dados anteriormente.
- La forma normal se puede escribir multiplicando la parte infinita (una sola potencia de ω) y la exponencial real en la serie de potencias resultante de la infinitesimal.
- Por el contrario, al dividir el término principal de la forma normal, cualquier número surrealista tendrá la forma ( ω ^{Σ _{γ < δ} t _γ ω ^{b _γ}} )· r ·(1 + Σ _{α < β} s _α ω ^{a _α} ) , para a _α < 0 , donde cada factor tiene una forma para la cual se ha dado anteriormente una manera de calcular el logaritmo; la suma es entonces el logaritmo general.
  - Si bien no existe una definición inductiva general de logaritmo (a diferencia de exp), los resultados parciales se dan en términos de dichas definiciones. De esta manera, el logaritmo se puede calcular explícitamente, sin referencia al hecho de que es la inversa de la exponencial.
La función exponencial es mucho mayor que cualquier potencia finita.
- Para cualquier infinito positivo x y cualquier n finito , exp( x )/ x ⁿ es infinito
- Para cualquier entero n y x > n ² , exp( x ) > x ⁿ . Esta restricción más fuerte es uno de los axiomas de Ressayre para el campo exponencial real ^[7]
exp satisface todos los axiomas de Ressayre para el campo exponencial real ^[7]
- Los surrealistas con exponencial son una extensión elemental del campo exponencial real.
- Para ε _β un número ordinal épsilon, el conjunto de números reales con cumpleaños menor que ε _β constituye un cuerpo cerrado bajo exponenciales, y es asimismo una extensión elemental del cuerpo exponencial real.

Ejemplos

La exponencial surrealista está dada esencialmente por su comportamiento en potencias positivas de ω, es decir, la función ⁠ ⁠ $g(a)$ , combinada con un comportamiento bien conocido en números finitos. Solo se darán ejemplos de lo primero. Además, ⁠ ⁠ $g(a)=a$ se cumple para una gran parte de su rango, por ejemplo para cualquier número finito con parte real positiva y cualquier número infinito que sea menor que alguna potencia iterada de ω ( $ω ω \cdot \cdot ω$ para algún número de niveles).

exp ω = ω ^ω
exp ω ^{1/ ω} = ω y log ω = ω ^{1/ ω}
exp ( ω · log ω ) = exp ( ω · ω ^{1/ ω} ) = ω ^{ω ^{(1 + 1/ ω )}}
- Esto demuestra que la función "potencia de ω " no es compatible con exp, ya que la compatibilidad exigiría un valor de ω ^ω aquí
exp ε ₀ = ω ^{ω ^{ε ₀ + 1}}
registro ε ₀ = ε ₀ / ω

Exponenciación

Una exponenciación general se puede definir como x ^y = exp( y · log x ) , lo que da una interpretación a expresiones como 2 ^ω = exp(ω · log 2) = ω ^{log 2 · ω} . Nuevamente, es esencial distinguir esta definición de la función "potencias de ω", especialmente si ω puede aparecer como la base.

Números supracomplejos

Un número supracomplejo es un número de la forma $a + b i$ , donde a y b son números supracomplejos e $i$ es la raíz cuadrada de $-1$ . ^[10]^[11] Los números supracomplejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado (excepto por ser una clase propia), isomorfo al cierre algebraico del cuerpo generado al extender los números racionales por una clase propia de elementos trascendentales algebraicamente independientes . Hasta el isomorfismo de cuerpo , este hecho caracteriza el cuerpo de números supracomplejos dentro de cualquier teoría de conjuntos fijos. ^[6]^{: Th.27}

Juegos

La definición de números surrealistas contenía una restricción: cada elemento de L debe ser estrictamente menor que cada elemento de R. Si se elimina esta restricción, podemos generar una clase más general conocida como juegos . Todos los juegos se construyen de acuerdo con esta regla:

Regla de construcción: Si L y R son dos conjuntos de juegos, entonces { L | R } es un juego.

La suma, la negación y la comparación se definen de la misma manera tanto para los números como para los juegos surrealistas.

Cada número surrealista es un juego, pero no todos los juegos son números surrealistas, por ejemplo, el juego { 0 | 0 } no es un número surrealista. La clase de juegos es más general que los surrealistas y tiene una definición más simple, pero carece de algunas de las mejores propiedades de los números surrealistas. La clase de números surrealistas forma un cuerpo , pero la clase de juegos no. Los surrealistas tienen un orden total : dados dos surrealistas cualesquiera, son iguales o uno es mayor que el otro. Los juegos solo tienen un orden parcial : existen pares de juegos que no son iguales, mayores ni menores que el otro. Cada número surrealista es positivo, negativo o cero. Cada juego es positivo, negativo, cero o difuso (incomparable con cero, como ${1 | -1}$ ).

Un movimiento en un juego implica que el jugador al que le corresponde el movimiento elija un juego de los disponibles en L (para el jugador de la izquierda) o R (para el jugador de la derecha) y luego pase el juego elegido al otro jugador. Un jugador que no puede mover porque la elección es del conjunto vacío ha perdido. Un juego positivo representa una victoria para el jugador de la izquierda, un juego negativo para el jugador de la derecha, un juego cero para el segundo jugador que mueve y un juego difuso para el primer jugador que mueve.

Si x , y y z son surrealistas y $x = y$ , entonces $x z = y z$ . Sin embargo, si x , y y z son juegos y $x = y$ , entonces no siempre es cierto que $x z = y z$ . Nótese que "=" aquí significa igualdad, no identidad.

Aplicación a la teoría de juegos combinatorios

Los números surrealistas fueron motivados originalmente por estudios del juego Go , ^[2] y existen numerosas conexiones entre los juegos populares y los surrealistas. En esta sección, utilizaremos Game en mayúsculas para el objeto matemático ${L | R}$ y game en minúsculas para juegos recreativos como ajedrez o Go .

Consideramos juegos con estas propiedades:

Dos jugadores (llamados Izquierda y Derecha )
Determinista (el juego en cada paso dependerá completamente de las decisiones que tomen los jugadores, en lugar de un factor aleatorio)
No hay información oculta (como cartas o fichas que un jugador oculta)
Los jugadores se turnan para tomar turnos (el juego puede permitir o no múltiples movimientos en un turno)
Cada juego debe terminar en un número finito de movimientos.
Tan pronto como no quedan movimientos legales para un jugador, el juego termina y ese jugador pierde.

En la mayoría de los juegos, la posición inicial del tablero no otorga una gran ventaja a ninguno de los jugadores. A medida que avanza el juego y un jugador comienza a ganar, se producirán posiciones en el tablero en las que ese jugador tendrá una clara ventaja. Para analizar los juegos, es útil asociar un Juego a cada posición del tablero. El valor de una posición dada será el Juego {L|R}, donde L es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por la Izquierda. De manera similar, R es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por la Derecha.

El Juego cero (llamado 0) es el Juego en el que L y R están vacíos, por lo que el jugador que mueva a continuación (L o R) pierde inmediatamente. La suma de dos Juegos G = { L1 | R1 } y H = { L2 | R2 } se define como el Juego G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 } donde el jugador que mueve elige en cuál de los Juegos jugar en cada etapa, y el perdedor sigue siendo el jugador que termina sin movimiento legal. Uno puede imaginar dos tableros de ajedrez entre dos jugadores, con jugadores haciendo movimientos alternativamente, pero con total libertad en cuanto a en qué tablero jugar. Si G es el Juego {L | R}, −G es el Juego {−R | −L}, es decir, con el papel de los dos jugadores invertido. Es fácil demostrar que G – G = 0 para todos los Juegos G (donde G – H se define como G + (–H)).

Esta sencilla forma de asociar juegos con juegos da como resultado un resultado muy interesante. Supongamos que dos jugadores perfectos juegan un juego que comienza con una posición dada cuyo juego asociado es x . Podemos clasificar todos los juegos en cuatro clases, como sigue:

Si x > 0 entonces la izquierda ganará, independientemente de quién juegue primero.
Si x < 0 entonces Derecha ganará, independientemente de quién juegue primero.
Si x = 0 entonces el jugador que vaya segundo ganará.
Si x || 0 entonces el jugador que empiece primero ganará.

De manera más general, podemos definir G > H como G – H > 0, y de manera similar para <, = y ||.

La notación G || H significa que G y H son incomparables. G || H es equivalente a G − H || 0, es decir, que G > H, G < H y G = H son todos falsos. A veces se dice que los juegos incomparables se confunden entre sí, porque un jugador puede preferir uno u otro dependiendo de lo que se le añada. Un juego confundido con cero se dice que es difuso , en oposición a positivo, negativo o cero . Un ejemplo de un juego difuso es estrella (*) .

A veces, cuando un juego se acerca a su fin, se descompone en varios juegos más pequeños que no interactúan, excepto que el turno de cada jugador permite moverse solo en uno de ellos. Por ejemplo, en Go, el tablero se llena lentamente de piezas hasta que solo quedan unas pocas islas pequeñas de espacio vacío donde un jugador puede moverse. Cada isla es como un juego de Go separado, jugado en un tablero muy pequeño. Sería útil si cada subjuego pudiera analizarse por separado y luego combinar los resultados para brindar un análisis del juego completo. Esto no parece ser fácil de hacer. Por ejemplo, puede haber dos subjuegos en los que gana quien mueve primero, pero cuando se combinan en un solo juego grande, ya no es el primer jugador el que gana. Afortunadamente, hay una forma de hacer este análisis. Se puede aplicar el siguiente teorema:

Si un juego grande se descompone en dos juegos más pequeños, y los juegos pequeños tienen asociados Juegos de x e y , entonces el juego grande tendrá asociado un Juego de

x + y

Un juego compuesto de juegos más pequeños se llama suma disyuntiva de esos juegos más pequeños, y el teorema establece que el método de suma que definimos es equivalente a tomar la suma disyuntiva de los sumandos.

Históricamente, Conway desarrolló la teoría de los números surrealistas en el orden inverso de cómo se ha presentado aquí. Estaba analizando los finales de Go y se dio cuenta de que sería útil tener alguna forma de combinar los análisis de los subjuegos que no interactúan en un análisis de su suma disyuntiva . A partir de esto, inventó el concepto de Juego y el operador de adición para él. A partir de ahí, pasó a desarrollar una definición de negación y comparación. Luego notó que una cierta clase de Juegos tenía propiedades interesantes; esta clase se convirtió en los números surrealistas. Finalmente, desarrolló el operador de multiplicación y demostró que los surrealistas son en realidad un cuerpo, y que incluye tanto los reales como los ordinales.

Realizaciones alternativas

Enfoques alternativos a los números surrealistas complementan la exposición de Conway en términos de juegos.

Expansión de señal

Definiciones

En lo que ahora se llama la expansión de signos o secuencia de signos de un número surrealista, un número surrealista es una función cuyo dominio es un ordinal y cuyo codominio es { −1, +1 }. ^[8]^{: cap. 2} Esto es equivalente a las secuencias LR de Conway. ^[6]

Defina el predicado binario "más simple que" en números por x es más simple que y si x es un subconjunto propio de y , es decir , si dom( x ) < dom( y ) y x (α) = y (α) para todo α < dom( x ).

Para los números surrealistas, definamos la relación binaria < como orden lexicográfico (con la convención de que los "valores indefinidos" son mayores que −1 y menores que 1). Por lo tanto, x < y si se cumple una de las siguientes condiciones:

x es más simple que y y y (dom( x )) = +1;
y es más simple que x y x (dom( y )) = −1;
existe un número z tal que z es más simple que x , z es más simple que y , x (dom( z )) = − 1 y y (dom( z )) = +1.

De manera equivalente, sea δ( x , y ) = min({ dom( x ), dom( y )} ∪ { α : α < dom( x ) ∧ α < dom( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }), de modo que x = y si y solo si δ( x , y ) = dom( x ) = dom( y ). Entonces, para los números x e y , x < y si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:

δ( x , y ) = dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ y (δ( x , y )) = +1;
δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) = dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = −1;
δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = −1 ∧ y (δ( x , y )) = +1.

Para los números x e y , x ≤ y si y solo si x < y ∨ x = y , y x > y si y solo si y < x . También x ≥ y si y solo si y ≤ x .

La relación < es transitiva y, para todos los números x e y , se cumple exactamente uno de los siguientes supuestos: x < y , x = y , x > y (ley de tricotomía ). Esto significa que < es un orden lineal (excepto que < es una clase propia).

Para conjuntos de números, L y R tales que ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), existe un número único z tal que

∀ x ∈ L ( x < z ) ∧ ∀ y ∈ R ( z < y ),
Para cualquier número w tal que ∀ x ∈ L ( x < w ) ∧ ∀ y ∈ R ( w < y ), w = z o z es más simple que w .

Además, z se puede construir a partir de L y R por inducción transfinita. z es el número más simple entre L y R. Sea el número único z denotado por σ( L , R ).

Para un número x , define su conjunto izquierdo L ( x ) y su conjunto derecho R ( x ) mediante

L ( x ) = { x };
R ( x ) = { x },

entonces σ( L ( x ), R ( x )) = x .

Una ventaja de esta realización alternativa es que la igualdad es identidad, no una relación definida inductivamente. Sin embargo, a diferencia de la realización de los números surrealistas de Conway, la expansión de signos requiere una construcción previa de los ordinales, mientras que en la realización de Conway, los ordinales se construyen como casos particulares de surrealistas.

Sin embargo, se pueden hacer definiciones similares que eliminan la necesidad de una construcción previa de los ordinales. Por ejemplo, podríamos dejar que los surrealistas sean la clase (definida recursivamente) de funciones cuyo dominio es un subconjunto de los surrealistas que satisfacen la regla de transitividad ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) y cuyo rango es { −, + }. "Más simple que" se define ahora de forma muy sencilla: x es más simple que y si x ∈ dom y . El orden total se define considerando x e y como conjuntos de pares ordenados (como se define normalmente una función): o bien x = y , o bien el número surrealista z = x ∩ y está en el dominio de x o en el dominio de y (o en ambos, pero en este caso los signos deben discrepar). Entonces tenemos x < y si x ( z ) = − o y ( z ) = + (o ambos). Convertir estas funciones en secuencias de signos es una tarea sencilla: ordena los elementos de dom f en orden de simplicidad (es decir, de inclusión) y luego escribe los signos que f asigna a cada uno de estos elementos en orden. Los ordinales aparecen entonces de forma natural como esos números surrealistas cuyo rango es { + }.

Suma y multiplicación

La suma x + y de dos números, x e y , se define por inducción en dom( x ) y dom( y ) por x + y = σ( L , R ), donde

$L = {u + y : u \in L (x) } \cup {x + v : v \in L (y) }$ ,
$R = {u + y : u \in R (x) } \cup {x + v : v \in R (y) }$ .

La identidad aditiva viene dada por el número 0 = { }, es decir , el número 0 es la única función cuyo dominio es el ordinal 0, y el inverso aditivo del número x es el número − x , dado por dom(− x ) = dom( x ), y, para α < dom( x ), (− x )( α ) = −1 si x ( α ) = +1, y (− x )( α ) = +1 si x ( α ) = −1.

De ello se deduce que un número x es positivo si y sólo si 0 < dom( x ) y x (0) = +1, y x es negativo si y sólo si 0 < dom( x ) y x (0) = −1.

El producto xy de dos números, x e y , se define por inducción sobre dom( x ) y dom( y ) por xy = σ ( L , R ), donde

$L = {uy + xv - uv : u \in L (x), v \in L (y) } \cup {uy + xv - uv : u \in R (x), v \in R (y) }$ ,
$R = {uy + xv - uv : u \in L (x), v \in R (y) } \cup {uy + xv - uv : u \in R (x), v \in L (y) }$ .

La identidad multiplicativa está dada por el número 1 = { (0,+1) }, es decir , el número 1 tiene dominio igual al ordinal 1, y 1(0) = +1.

Correspondencia con la realización de Conway

La función de la realización de Conway para las expansiones de signos está dada por f ({ L | R }) = σ( M , S ), donde M = { f ( x ) : x ∈ L } y S = { f ( x ) : x ∈ R }.

La función inversa de la realización alternativa a la realización de Conway está dada por g ( x ) = { L | R }, donde L = { g ( y ) : y ∈ L ( x ) } y R = { g ( y ) : y ∈ R ( x ) }.

Enfoque axiomático

En otro enfoque de los surrealistas, propuesto por Alling ^[11] , se prescinde por completo de la construcción explícita. En su lugar, se da un conjunto de axiomas que cualquier enfoque particular de los surrealistas debe satisfacer. De manera muy similar al enfoque axiomático de los reales, estos axiomas garantizan la unicidad hasta el isomorfismo.

Un triple es un sistema numérico surrealista si y sólo si se cumple lo siguiente: ${\textstyle \langle \mathbb {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle }$

< es un pedido total superior ${\textstyle \mathbb {No} }$
b es una función de sobre la clase de todos los ordinales ( b se llama la "función de cumpleaños" en ). ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$
Sean A y B subconjuntos de tales que para todo $x$ $\in$ $A$ e $y$ $\in$ $B$ , x < y (usando la terminología de Alling, 〈A , B〉 es un "corte de Conway" de ). Entonces existe un único tal que b ( z ) es mínimo y para todo $x$ $\in$ $A$ y todo $y$ $\in$ $B$ , x < z < y . (Este axioma se conoce a menudo como "Teorema de Simplicidad de Conway"). ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle z\in \mathbb {No} }$
Además, si un ordinal α es mayor que b ( x ) para todo x ∈ A , B , entonces b ( z ) ≤ α . (Alling llama a un sistema que satisface este axioma un "sistema numérico surrealista completo").

Tanto la construcción original de Conway como la construcción de expansión de signos de los surrealistas satisfacen estos axiomas.

Dados estos axiomas, Alling ^[11] deriva la definición original de Conway de ≤ y desarrolla una aritmética surrealista.

Jerarquía de la simplicidad

Philip Ehrlich construyó los números surrealistas como un pseudoárbol binario maximal con simplicidad (antecesor) y relaciones de ordenamiento. ^[12] La diferencia con la definición usual de un árbol es que el conjunto de antecesores de un vértice está bien ordenado, pero puede no tener un elemento maximal (predecesor inmediato); en otras palabras, el tipo de orden de ese conjunto es un número ordinal general, no solo un número natural. Esta construcción también cumple con los axiomas de Alling y puede mapearse fácilmente a la representación de secuencia de signos.

Serie Hahn

Alling ^[11]^{: th. 6.55, p. 246} también demuestra que el cuerpo de los números surrealistas es isomorfo (como cuerpo ordenado) al cuerpo de las series de Hahn con coeficientes reales en el grupo de valores de los propios números surrealistas (la representación en serie correspondiente a la forma normal de un número surrealista, como se definió anteriormente). Esto proporciona una conexión entre los números surrealistas y los enfoques matemáticos más convencionales de la teoría de campos ordenados.

Este isomorfismo convierte a los números surrealistas en un cuerpo valorado donde la valoración es el inverso aditivo del exponente del término principal en la forma normal de Conway, por ejemplo, $ν (ω) = -1$ . El anillo de valoración consiste entonces en los números surrealistas finitos (números con una parte real y/o infinitesimal). La razón para la inversión de signos es que los exponentes en la forma normal de Conway constituyen un conjunto bien ordenado inverso, mientras que las series de Hahn se formulan en términos de subconjuntos bien ordenados (no invertidos) del grupo de valores.

Relación con los hiperreales

Philip Ehrlich ha construido un isomorfismo entre el cuerpo numérico surrealista máximo de Conway y los hiperreales máximos de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel . ^[12]

Véase también

Notas

^ En la formulación original que utiliza la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel , los surreales forman una clase propia, en lugar de un conjunto, por lo que el término campo no es precisamente correcto; donde esta distinción es importante, algunos autores usan Campo o CAMPO para referirse a una clase propia que tiene las propiedades aritméticas de un campo. Se puede obtener un campo verdadero limitando la construcción a un universo de Grothendieck , produciendo un conjunto con la cardinalidad de algún cardinal fuertemente inaccesible , o utilizando una forma de teoría de conjuntos en la que las construcciones por recursión transfinita se detienen en algún ordinal contable como épsilon cero .
^ El conjunto de fracciones diádicas constituye el grupo y anillo no trivial más simple de este tipo; está formado por los números surrealistas con cumpleaños menor que ω = ω ¹ = ω ^{ω ⁰} .
^ La definición de un espacio omite las condiciones de un corte de Dedekind de que L y R no estén vacíos y que L no tenga un elemento más grande, y también la identificación de un corte con el elemento más pequeño en R si existe.
^ Es importante destacar que no se afirma que la colección de secuencias de Cauchy constituya una clase en la teoría de conjuntos NBG.
^ Incluso la más trivial de estas igualdades puede implicar inducción transfinita y constituir un teorema separado.

Referencias

^ ab Bajnok, Béla (2013). Una invitación a las matemáticas abstractas. ISBN 9781461466369. Teorema 24.29. El sistema de números surrealistas es el campo ordenado más grande
^ ab O'Connor, JJ; Robertson, EF, Biografía de Conway , consultado el 24 de enero de 2008
^ Knuth, Donald. "Números surrealistas". Stanford . Consultado el 25 de mayo de 2020 .
^ Alling, Norman L. (1962), "Sobre la existencia de cuerpos reales cerrados que son $η$ $α$ -conjuntos de potencia $ℵ$ $α$ .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR 0146089
^ Alling, Norman (enero de 1985), "El campo de números surrealistas de Conway" (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 287 (1): 365–386, doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0766225-7 , consultado el 5 de marzo de 2019
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Lectura adicional

Exposición original de Donald Knuth : Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness , 1974, ISBN 0-201-03812-9 . Puede encontrarse más información en la página oficial del libro (archivada).
Una actualización del clásico libro de 1976 que define los números surrealistas y explora sus conexiones con los juegos: John Conway, On Numbers And Games , 2.a ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6 .
Una actualización de la primera parte del libro de 1981 que presentó números surrealistas y el análisis de juegos a un público más amplio: Berlekamp, Conway y Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays , vol. 1, 2.ª ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6 .
Martin Gardner , Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, WH Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8 , Capítulo 4. Una descripción general no técnica; reimpresión del artículo de Scientific American de 1976 .
Polly Shulman, "Infinito más uno y otros números surrealistas", Discover , diciembre de 1995.
Un tratamiento detallado de los números surrealistas: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields , 1987, ISBN 0-444-70226-1 .
Un tratamiento de lo surrealista basado en la realización de la expansión del signo: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers , 1986, ISBN 0-521-31205-1 .
Un desarrollo filosófico detallado del concepto de números surrealistas como el concepto más general de número: Alain Badiou , Number and Numbers , Nueva York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (libro de bolsillo), ISBN 0-7456-3878-3 (tapa dura).
Programa de Fundamentos Univalentes (2013). Teoría de tipos de homotopía: Fundamentos univalentes de las matemáticas. Princeton, NJ: Instituto de Estudios Avanzados . MR 3204653.Los números surrealistas se estudian en el contexto de la teoría de tipos de homotopía en la sección 11.6.

Enlaces externos

La Wikiversidad analiza cifras surrealistas

Wikilibros tiene un libro sobre números surrealistas

Hackenstrings y las preguntas más frecuentes sobre 0.999... ?= 1, por AN Walker, un archivo del original desaparecido
Una introducción suave pero completa de Claus Tøndering
Buenas matemáticas, malas matemáticas: números surrealistas, una serie de artículos sobre números surrealistas y sus variaciones
Matemáticas de Conway después de Conway, un estudio de los logros de Conway en los Avisos de la AMS, con una sección sobre números surrealistas