En matemáticas , el sistema numérico surrealista es una clase propia totalmente ordenada que contiene no sólo los números reales sino también números infinitos e infinitesimales , respectivamente mayores o menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. La investigación sobre el final del Go realizada por John Horton Conway condujo a la definición original y la construcción de números surrealistas. La construcción de Conway se introdujo en el libro de Donald Knuth de 1974 Números surrealistas: cómo dos ex estudiantes se volvieron hacia las matemáticas puras y encontraron la felicidad total .
Los surrealistas comparten muchas propiedades con los reales, incluidas las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división); como tal, forman un campo ordenado . [a] Si se formulan en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , los números surrealistas son un campo ordenado universal en el sentido de que todos los demás campos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales , el campo de Levi-Civita , Los números superreales (incluidos los números hiperreales ) pueden realizarse como subcampos de los surreales. [1] Los surrealistas también contienen todos los números ordinales transfinitos ; la aritmética sobre ellos está dada por las operaciones naturales . También se ha demostrado (en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel) que el campo hiperreal de clase máxima es isomorfo al campo surrealista de clase máxima.
La investigación sobre el final del Go realizada por John Horton Conway condujo a la definición original y la construcción de los números surrealistas. [2] La construcción de Conway se introdujo en el libro de Donald Knuth de 1974 Números surrealistas: cómo dos ex estudiantes se volvieron hacia las matemáticas puras y encontraron la felicidad total . En su libro, que adopta la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término números surrealistas para lo que Conway había llamado simplemente números . [3] Conway adoptó más tarde el término de Knuth y utilizó surrealistas para analizar juegos en su libro de 1976 Sobre números y juegos .
Una ruta separada para definir los surrealistas comenzó en 1907, cuando Hans Hahn introdujo las series de Hahn como una generalización de las series de potencias formales , y Felix Hausdorff introdujo ciertos conjuntos ordenados llamados η α -conjuntos para ordinales α y preguntó si era posible encontrar un conjunto compatible. grupo ordenado o estructura de campo. En 1962, Norman Alling utilizó una forma modificada de la serie de Hahn para construir campos ordenados asociados a ciertos ordinales α y, en 1987, demostró que tomando α como la clase de todos los ordinales en su construcción se obtiene una clase que es un campo ordenado. isomórfico a los números surrealistas. [4]
Si los surrealistas se consideran "sólo" un campo real cerrado del tamaño adecuado de una clase, el artículo de Alling de 1962 aborda el caso de los cardenales fuertemente inaccesibles que pueden considerarse naturalmente como clases adecuadas cortando la jerarquía acumulativa del universo un nivel por encima del cardenal y, en consecuencia, Alling merece mucho crédito por el descubrimiento/invención de los surrealistas en este sentido. Hay una importante estructura de campo adicional en los surrealistas que no es visible a través de esta lente, a saber, la noción de un "cumpleaños" y la correspondiente descripción natural de los surrealistas como resultado de un proceso de relleno de cortes a lo largo de sus cumpleaños dado por Conway. Esta estructura adicional se ha vuelto fundamental para una comprensión moderna de los números surrealistas y, por lo tanto, se le da crédito a Conway por descubrir los surrealistas tal como los conocemos hoy; el propio Alling le da todo el crédito a Conway en un artículo de 1985 que precede a su libro sobre el tema. [5]
En la construcción de Conway, [6] los números surrealistas se construyen en etapas, junto con un orden ≤ tal que para dos números surrealistas cualesquiera a y b , a ≤ bo b ≤ a . (Ambos pueden ser válidos, en cuyo caso a y b son equivalentes y denotan el mismo número). Cada número se forma a partir de un par ordenado de subconjuntos de números ya construidos: dados los subconjuntos L y R de números tales que todos los miembros de L son estrictamente menor que todos los miembros de R , entonces el par { L | R } representa un número intermedio en valor entre todos los miembros de L y todos los miembros de R .
Diferentes subconjuntos pueden acabar definiendo el mismo número: { L | R } y { L ′ | R′ } puede definir el mismo número incluso si L ≠ L′ y R ≠ R′ . (Un fenómeno similar ocurre cuando los números racionales se definen como cocientes de números enteros: 1/2y2/4son representaciones diferentes del mismo número racional.) Entonces, estrictamente hablando, los números surrealistas son clases de equivalencia de representaciones de la forma { L | R } que designan el mismo número.
En la primera etapa de construcción, no existen números previamente por lo que la única representación debe utilizar el conjunto vacío: { | } . Esta representación, donde L y R están vacíos, se llama 0. Las etapas posteriores producen formas como
y
Los números enteros están así contenidos dentro de los números surrealistas. (Las identidades anteriores son definiciones, en el sentido de que el lado derecho es un nombre para el lado izquierdo. Que los nombres son realmente apropiados será evidente cuando se definan las operaciones aritméticas con números surrealistas, como en la sección siguiente ). Del mismo modo, representaciones como
surgen, de modo que los racionales diádicos (números racionales cuyos denominadores son potencias de 2) están contenidos dentro de los números surrealistas.
Después de un número infinito de etapas, quedan disponibles infinitos subconjuntos, de modo que cualquier número real a puede representarse mediante { L a | R a }, donde La es el conjunto de todos los racionales diádicos menores que a y Ra es el conjunto de todos los racionales diádicos mayores que a (que recuerda a un corte de Dedekind ). Así, los números reales también están incrustados en los surrealistas.
También hay representaciones como
donde ω es un número transfinito mayor que todos los números enteros y ε es un infinitesimal mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Además, las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación y división) se pueden extender a estos números no reales de una manera que convierte la colección de números surrealistas en un campo ordenado, de modo que se puede hablar de 2 ω o ω . − 1 y así sucesivamente.
Los números surrealistas se construyen inductivamente como clases de equivalencia de pares de conjuntos de números surrealistas, restringidos por la condición de que cada elemento del primer conjunto sea más pequeño que cada elemento del segundo conjunto. La construcción consta de tres partes interdependientes: la regla de construcción, la regla de comparación y la regla de equivalencia.
Una forma es un par de conjuntos de números surrealistas, llamados conjunto izquierdo y conjunto derecho . Una forma con el conjunto izquierdo L y el conjunto derecho R se escribe { L | R } . Cuando L y R se dan como listas de elementos, se omiten las llaves que los rodean.
Cualquiera o ambos del conjunto izquierdo y derecho de un formulario pueden ser el conjunto vacío. La forma { { } | { } } con la izquierda y la derecha vacías también se escribe { | } .
Regla de construcción
Las formas numéricas se ubican en clases de equivalencia; cada una de estas clases de equivalencia es un número surrealista . Los elementos de los conjuntos izquierdo y derecho de una forma se extraen del universo de los números surrealistas (no de las formas , sino de sus clases de equivalencia ).
regla de equivalencia
Una relación de orden debe ser antisimétrica , es decir, debe tener la propiedad de que x = y (es decir, x ≤ y e y ≤ x son ambos verdaderos) sólo cuando x e y son el mismo objeto. Este no es el caso de las formas numéricas surrealistas , pero sí lo es por construcción para los números surrealistas (clases de equivalencia).
La clase de equivalencia que contiene { | } está etiquetado como 0; en otras palabras, { | } es una forma del número surrealista 0.
La definición recursiva de números surrealistas se completa definiendo la comparación:
Formas numéricas dadas x = { X L | X R } y y = { Y L | Y R }, x ≤ y si y sólo si ambos:
Los números surrealistas se pueden comparar entre sí (o con formas numéricas) eligiendo una forma numérica de su clase de equivalencia para representar cada número surrealista.
Este grupo de definiciones es recursivo y requiere alguna forma de inducción matemática para definir el universo de objetos (formas y números) que ocurren en ellas. Los únicos números surrealistas alcanzables mediante inducción finita son las fracciones diádicas ; Se puede alcanzar un universo más amplio dada alguna forma de inducción transfinita .
El caso base es en realidad un caso especial de la regla de inducción, donde 0 se toma como etiqueta para el "menos ordinal". Como no existe Si i con i < 0, la expresión es el conjunto vacío; el único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío y, por tanto, S 0 consta de una única forma surrealista { | } que se encuentra en una única clase de equivalencia 0.
Para cada número ordinal finito n , S n está bien ordenado por el orden inducido por la regla de comparación de los números surrealistas.
La primera iteración de la regla de inducción produce las tres formas numéricas { | 0 } < { | } < {0 | } (la forma { 0 | 0 } no es numérica porque 0 ≤ 0). La clase de equivalencia que contiene { 0 | } está etiquetado como 1 y la clase de equivalencia que contiene { | 0 } está etiquetado como −1. Estas tres etiquetas tienen un significado especial en los axiomas que definen un anillo ; son la identidad aditiva (0), la identidad multiplicativa (1) y el inverso aditivo de 1 (−1). Las operaciones aritméticas definidas a continuación son consistentes con estas etiquetas.
Para cada i < n , dado que cada forma válida en Si también es una forma válida en S n , todos los números en Si también aparecen en S n (como superconjuntos de su representación en Si ) . (La expresión de unión de conjuntos aparece en nuestra regla de construcción, en lugar de la forma más simple S n −1 , de modo que la definición también tiene sentido cuando n es un ordinal límite .) Números en S n que son un superconjunto de algún número en S i Se dice que se heredó de la generación i . El valor más pequeño de α para el cual aparece un número surrealista determinado en S α se llama su cumpleaños . Por ejemplo, el cumpleaños de 0 es 0 y el cumpleaños de −1 es 1.
Una segunda iteración de la regla de construcción produce el siguiente orden de clases de equivalencia:
La comparación de estas clases de equivalencia es coherente, independientemente de la forma elegida. Siguen tres observaciones:
Las interpretaciones informales de { 1 | } y { | −1 } son "el número justo después de 1" y "el número justo antes de −1" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas como 2 y −2. Las interpretaciones informales de { 0 | 1 } y { −1 | 0 } son "el número a medio camino entre 0 y 1" y "el número a medio camino entre −1 y 0" respectivamente; sus clases de equivalencia están etiquetadas1/2y -1/2. Estas etiquetas también estarán justificadas por las reglas de suma y multiplicación surrealistas que aparecen a continuación.
Las clases de equivalencia en cada etapa n de inducción pueden caracterizarse por sus n - formas completas (cada una contiene tantos elementos como sea posible de generaciones anteriores en sus conjuntos izquierdo y derecho). O esta forma completa contiene todos los números de generaciones anteriores en su conjunto izquierdo o derecho, en cuyo caso esta es la primera generación en la que aparece este número; o contiene todos los números de generaciones anteriores menos uno, en cuyo caso es una nueva forma de este número. Conservamos las etiquetas de la generación anterior para estos números "antiguos" y escribimos el orden anterior utilizando las etiquetas antiguas y nuevas:
La tercera observación se extiende a todos los números surrealistas con conjuntos finitos de izquierda y derecha. (Para conjuntos infinitos de izquierda o derecha, esto es válido en una forma alterada, ya que los conjuntos infinitos pueden no contener un elemento máximo o mínimo). El número { 1, 2 | 5, 8 } es por tanto equivalente a { 2 | 5 }; Se puede establecer que estas son formas de 3 usando la propiedad de cumpleaños , que es una consecuencia de las reglas anteriores.
Una forma x = { L | R } que ocurre en la generación n representa un número heredado de una generación anterior i < n si y solo si hay algún número en Si que es mayor que todos los elementos de L y menor que todos los elementos de R . (En otras palabras, si L y R ya están separados por un número creado en una etapa anterior, entonces x no representa un número nuevo sino uno ya construido.) Si x representa un número de cualquier generación anterior a n , hay un al menos esa generación i , y exactamente un número c con este mínimo i como fecha de nacimiento que se encuentra entre L y R ; x es una forma de este c . En otras palabras, se encuentra en la clase de equivalencia en S n que es un superconjunto de la representación de c en la generación i .
La suma, negación (inversa aditiva) y multiplicación de formas numéricas surrealistas x = { X L | X R } y y = { Y L | Y R } están definidos por tres fórmulas recursivas.
Negación de un número dado x = { X L | X R } está definido por
donde la negación de un conjunto S de números viene dada por el conjunto de los elementos negados de S :
Esta fórmula implica la negación de los números surrealistas que aparecen en los conjuntos izquierdo y derecho de x , lo que debe entenderse como el resultado de elegir una forma del número, evaluar la negación de esta forma y tomar la clase de equivalencia del resultado. forma. Esto sólo tiene sentido si el resultado es el mismo, independientemente de la forma elegida del operando. Esto se puede demostrar inductivamente utilizando el hecho de que los números que aparecen en X L y X R se extraen de generaciones anteriores a aquella en la que aparece la forma x por primera vez, y observando el caso especial:
La definición de suma también es una fórmula recursiva:
dónde
Esta fórmula implica sumas de uno de los operandos originales y un número surrealista extraído del conjunto izquierdo o derecho del otro. Se puede demostrar inductivamente con los casos especiales:
Por ejemplo:
que por la propiedad de cumpleaños es una forma de 1. Esto justifica la etiqueta utilizada en la sección anterior.
La multiplicación también se puede definir de forma recursiva, comenzando por los casos especiales que involucran 0, la identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo −1:
La fórmula contiene expresiones aritméticas que involucran los operandos y sus conjuntos izquierdo y derecho, como la expresión que aparece en el conjunto izquierdo del producto de x e y . Se entiende como el conjunto de números generados al seleccionar todas las combinaciones posibles de miembros de y y sustituirlas en la expresión.
Por ejemplo, para demostrar que el cuadrado de1/2es1/4:
La definición de división se hace en términos del recíproco y la multiplicación:
donde [6] : 21
para y positivo . En la fórmula solo se permiten y L positivos , ignorando cualquier término no positivo (y y R siempre son positivos). Esta fórmula implica no sólo recursividad en términos de poder dividir por números de los conjuntos izquierdo y derecho de y , sino también recursividad en el sentido de que los miembros de los conjuntos izquierdo y derecho de y1/ysí mismo. 0 es siempre un miembro del conjunto izquierdo de1/y, y que se puede utilizar para encontrar más términos de forma recursiva. Por ejemplo, si y = 3 = { 2 | }, entonces conocemos un término izquierdo de1/3será 0. Esto a su vez significa1 + (2 - 3)0/2=1/2es un término correcto. Esto significa
es un término de izquierda. Esto significa
será un término correcto. Continuando, esto da
Para y negativo ,1/yes dado por
Si y = 0, entonces1/yes indefinido.
Se puede demostrar que las definiciones de negación, suma y multiplicación son consistentes, en el sentido de que:
Con estas reglas ahora se puede verificar que los números encontrados en las primeras generaciones estaban correctamente etiquetados. La regla de construcción se repite para obtener más generaciones de surrealistas:
Para cada número natural (ordinal finito) n , todos los números generados en S n son fracciones diádicas , es decir, se pueden escribir como una fracción irreducible. a/2 segundo, donde a y b son números enteros y 0 ≤ b < n .
El conjunto de todos los números surrealistas que se generan en algún S n para n finito puede denotarse como . Se pueden formar las tres clases.
de los cuales S ∗ es la unión. Ningún S n individual es cerrado bajo suma y multiplicación (excepto S 0 ), pero S ∗ sí lo es; es el subanillo de los racionales que consta de todas las fracciones diádicas.
Hay infinitos números ordinales β para los cuales el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β está cerrado bajo las diferentes operaciones aritméticas. [7] Para cualquier ordinal α, el conjunto de números surrealistas con fecha de nacimiento menor que β = ω α (usando potencias de ω) se cierra bajo suma y forma un grupo; para cumpleaños menores que ω ω α se cierra al multiplicar y forma un anillo; [b] y para cumpleaños menores que un número épsilon (ordinal) ε α , se cierra bajo inverso multiplicativo y forma un campo. Estos últimos conjuntos también están cerrados bajo la función exponencial definida por Kruskal y Gonshor. [7] [8] : cap. 10 [7]
Sin embargo, siempre es posible construir un número surrealista que sea mayor que cualquier miembro de un conjunto de surreales (al incluir el conjunto en el lado izquierdo del constructor) y, por lo tanto, la colección de números surrealistas es una clase adecuada . Con su ordenamiento y operaciones algebraicas constituyen un campo ordenado , con la salvedad de que no forman un conjunto . De hecho, es el campo ordenado más grande, ya que cada campo ordenado es un subcampo de los números surrealistas. [1] La clase de todos los números surrealistas se indica con el símbolo .
Defina S ω como el conjunto de todos los números surrealistas generados por la regla de construcción a partir de subconjuntos de S ∗ . (Este es el mismo paso inductivo que antes, ya que el número ordinal ω es el ordinal más pequeño que es mayor que todos los números naturales; sin embargo, la unión de conjuntos que aparece en el paso inductivo es ahora una unión infinita de conjuntos finitos, por lo que este paso sólo se puede realizar en una teoría de conjuntos que permita tal unión). Un número positivo único infinitamente grande ocurre en S ω :
S ω también contiene objetos que pueden identificarse como números racionales . Por ejemplo, la forma ω-completa de la fracción1/3es dado por:
El producto de esta forma de1/3con cualquier forma de 3 es una forma cuyo conjunto izquierdo contiene solo números menores que 1 y cuyo conjunto derecho contiene solo números mayores que 1; la propiedad de cumpleaños implica que este producto es una forma de 1.
No sólo el resto de los números racionales aparecen en S ω ; los números reales finitos restantes también lo hacen. Por ejemplo,
Los únicos infinitos en S ω son ω y − ω ; pero hay otros números no reales en S ω entre los reales. Considere el número positivo más pequeño en S ω :
Este número es mayor que cero pero menor que todas las fracciones diádicas positivas. Por lo tanto, es un número infinitesimal , a menudo denominado ε . La forma ω -completa de ε (respectivamente − ε ) es la misma que la forma ω -completa de 0, excepto que 0 está incluido en el conjunto izquierdo (respectivamente derecho). Los únicos infinitesimales "puros" en S ω son ε y su inverso aditivo − ε ; sumarlos a cualquier fracción diádica y produce los números y ± ε , que también se encuentran en S ω .
Se puede determinar la relación entre ω y ε multiplicando formas particulares de ellos para obtener:
Esta expresión sólo está bien definida en una teoría de conjuntos que permite la inducción transfinita hasta S ω 2 . En tal sistema, se puede demostrar que todos los elementos del conjunto izquierdo de ω S ω · S ω ε son infinitesimales positivos y todos los elementos del conjunto derecho son infinitos positivos, y por lo tanto ω S ω · S ω ε es el número finito positivo más antiguo, 1. En consecuencia,1/ε= ω. Algunos autores utilizan sistemáticamente ω −1 en lugar del símbolo ε.
Dado cualquier x = { L | R } en S ω , exactamente uno de los siguientes es verdadero:
S ω no es un campo algebraico, porque no está cerrado bajo operaciones aritméticas; considere ω+1, cuya forma
no se encuentra en ningún número en S ω . El subconjunto máximo de S ω que se cierra bajo (series finitas de) operaciones aritméticas es el campo de números reales, obtenido omitiendo los infinitos ±ω, los infinitesimales ±ε y los vecinos infinitesimales y ± ε de cada fracción diádica distinta de cero. y .
Esta construcción de los números reales difiere de los cortes de Dedekind del análisis estándar en que parte de fracciones diádicas en lugar de racionales generales y, naturalmente, identifica cada fracción diádica en S ω con sus formas en generaciones anteriores. (Las formas ω-completas de elementos reales de S ω están en correspondencia uno a uno con los reales obtenidos mediante cortes de Dedekind, bajo la condición de que los reales de Dedekind correspondientes a números racionales estén representados por la forma en la que se omite el punto de corte tanto de la izquierda como de la derecha.) Los racionales no son una etapa identificable en la construcción surrealista; son simplemente el subconjunto Q de S ω que contiene todos los elementos x tales que x b = a para algunos a y algunos b distintos de cero , ambos extraídos de S ∗ . Al demostrar que Q es cerrado bajo repeticiones individuales de operaciones aritméticas surrealistas, se puede demostrar que es un campo; y al mostrar que cada elemento de Q es alcanzable desde S ∗ mediante una serie finita (no más de dos, en realidad) de operaciones aritméticas, incluida la inversión multiplicativa , se puede demostrar que Q es estrictamente más pequeño que el subconjunto de S ω identificado con los reales. .
El conjunto S ω tiene la misma cardinalidad que los números reales R . Esto se puede demostrar exhibiendo mapeos sobreyectivos desde S ω al intervalo unitario cerrado I de R y viceversa. Mapear S ω sobre I es una rutina; mapear números menores o iguales a ε (incluido −ω) a 0, números mayores o iguales a 1 − ε (incluido ω) a 1, y números entre ε y 1 − ε a su equivalente en I (mapeo de los vecinos infinitesimales y ±ε de cada fracción diádica y , junto con el propio y , a y ). Para mapear I en S ω , mapear el tercio central (abierto) (1/3,2/3) de I sobre { | } = 0; el tercio central (7/9,8/9) del tercio superior a { 0 | } = 1; Etcétera. Esto asigna un intervalo abierto no vacío de I a cada elemento de S ∗ , de manera monótona. El residuo de I consiste en el conjunto de Cantor 2 ω , cada punto del cual se identifica de forma única mediante una partición de los intervalos del tercio central en conjuntos izquierdo y derecho, correspondientes precisamente a una forma { L | R } en S ω . Esto coloca al conjunto de Cantor en correspondencia uno a uno con el conjunto de números surrealistas con cumpleaños ω.
Continuar realizando la inducción transfinita más allá de S ω produce más números ordinales α, cada uno representado como el número surrealista más grande que tiene fecha de nacimiento α. (Esta es esencialmente una definición de los números ordinales resultantes de la inducción transfinita). El primer ordinal de este tipo es ω+1 = { ω | }. Hay otro número infinito positivo en la generación ω+1:
El número surrealista ω − 1 no es un ordinal; el ordinal ω no es sucesor de ningún ordinal. Este es un número surrealista con cumpleaños ω+1, que está etiquetado como ω − 1 porque coincide con la suma de ω = { 1, 2, 3, 4, ... | } y −1 = { | 0 } . De manera similar, hay dos nuevos números infinitesimales en la generación ω + 1:
En una etapa posterior de la inducción transfinita, hay un número mayor que ω + k para todos los números naturales k :
Este número puede denominarse ω + ω tanto porque su cumpleaños es ω + ω (el primer número ordinal no alcanzable desde ω mediante la operación sucesora) como porque coincide con la suma surrealista de ω y ω; también puede etiquetarse como 2ω porque coincide con el producto de ω = { 1, 2, 3, 4, ... | } y 2 = { 1 | } . Es el segundo límite ordinal; alcanzarlo desde ω a través del paso de construcción requiere una inducción transfinita en
Esto implica una unión infinita de conjuntos infinitos, que es una operación teórica de conjuntos "más fuerte" que la inducción transfinita anterior requerida.
Tenga en cuenta que la suma y multiplicación convencional de ordinales no siempre coincide con estas operaciones en sus representaciones surrealistas. La suma de los ordinales 1 + ω es igual a ω, pero la suma surrealista es conmutativa y produce 1 + ω = ω + 1 > ω. La suma y multiplicación de los números surrealistas asociados a los ordinales coincide con la suma natural y el producto natural de los ordinales.
Así como 2ω es mayor que ω + n para cualquier número natural n , existe un número surrealistaω/2eso es infinito pero menor que ω − n para cualquier número natural n . Eso es,ω/2es definido por
donde en el lado derecho la notación x − Y se usa para significar { x − y : y ∈ Y } . Puede identificarse como el producto de ω y la forma { 0 | 1 } de1/2. el cumpleaños deω/2es el límite ordinal ω2.
Para clasificar los "órdenes" de números surrealistas infinitos e infinitesimales, también conocidos como clases de Arquímedes , Conway asoció cada número surrealista x el número surrealista
donde r y s oscilan sobre los números reales positivos. Si x < y entonces ω y es "infinitamente mayor" que ω x , en el sentido de que es mayor que r ω x para todos los números reales r . Las potencias de ω también satisfacen las condiciones.
por lo que se comportan de la forma en que uno esperaría que se comportaran las potencias.
Cada potencia de ω también tiene la característica redentora de ser el número surrealista más simple de su clase arquímedes; por el contrario, cada clase de Arquímedes dentro de los números surrealistas contiene un miembro único y más simple. Por lo tanto, para cada número surrealista positivo x siempre existirá algún número real positivo r y algún número surrealista y de modo que x − r ω y es "infinitamente menor" que x . El exponente y es el "logaritmo base ω" de x , definido en los surreales positivos; se puede demostrar que log ω asigna los surreales positivos a los surreales y que
Esto se amplía mediante inducción transfinita de modo que cada número surrealista tiene una "forma normal" análoga a la forma normal de Cantor para los números ordinales. Esta es la forma normal de Conway: cada número surrealista x puede escribirse de forma única como
donde cada r α es un número real distinto de cero y los y α s forman una secuencia estrictamente decreciente de números surrealistas. Esta "suma", sin embargo, puede tener infinitos términos y, en general, tiene la longitud de un número ordinal arbitrario. (El cero corresponde, por supuesto, al caso de una secuencia vacía, y es el único número surrealista sin exponente principal.)
Vistos de esta manera, los números surrealistas se parecen a un campo de series de potencias , excepto que las secuencias decrecientes de exponentes deben estar limitadas en longitud por un ordinal y no se permite que sean tan largas como la clase de ordinales. Ésta es la base para la formulación de los números surrealistas como una serie de Hahn.
A diferencia de los números reales, un subconjunto (adecuado) de los números surrealistas no tiene un límite superior (o inferior) mínimo a menos que tenga un elemento máximo (mínimo). Conway define [6] una brecha como { L | R } tal que cada elemento de L es menor que cada elemento de R , y ; este no es un número porque al menos uno de los lados es una clase adecuada. Aunque similares, las brechas no son exactamente las mismas que los cortes de Dedekind , [c] pero aún podemos hablar de una finalización de los números surrealistas con el orden natural, que es un continuo lineal (del tamaño adecuado de la clase) . [9]
Por ejemplo, no existe el surrealismo infinito menos positivo, pero la brecha
es mayor que todos los números reales y menor que todos los surreales infinitos positivos y, por tanto, es el límite superior mínimo de los reales en . De manera similar, la brecha es mayor que todos los números surrealistas. (Este es un juego de palabras esotérico : en la construcción general de ordinales, α "es" el conjunto de ordinales más pequeños que α, y podemos usar esta equivalencia para escribir α = { α | } en los surreales; denota la clase de números ordinales , y porque es cofinal en tenemos por extensión.)
Con un poco de cuidado en la teoría de conjuntos, [d] puede equiparse con una topología donde los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos (indexados por conjuntos adecuados) y se pueden definir funciones continuas. [9] También se puede definir un equivalente de las secuencias de Cauchy , aunque deben estar indexadas por la clase de ordinales; estos siempre convergerán, pero el límite puede ser un número o una brecha que puede expresarse como
con un α decreciente y sin límite inferior en . (Todos estos espacios pueden entenderse como secuencias de Cauchy en sí, pero existen otros tipos de espacios que no son límites, como ∞ y ). [9]
Basado en un trabajo inédito de Kruskal , Gonshor llevó a cabo una construcción (por inducción transfinita) que extiende la función exponencial real exp( x ) (con base e ) a los surreales. [8] : cap. 10
Las potencias de la función ω también son una función exponencial, pero no tienen las propiedades deseadas para una extensión de la función en los reales. Sin embargo, será necesaria en el desarrollo del exponencial en base e , y es esta función a la que se refiere cada vez que se utiliza la notación ω x a continuación.
Cuando y es una fracción diádica, la función de potencia x ∈ , x ↦ x y puede estar compuesta por multiplicación, inversa multiplicativa y raíz cuadrada, todas las cuales pueden definirse inductivamente. Sus valores están completamente determinados por la relación básica x y+z = x y · x z , y cuando se definen necesariamente concuerda con cualquier otra exponenciación que pueda existir.
Los pasos de inducción para la exponencial surrealista se basan en la expansión en serie para la exponencial real,
más específicamente aquellas sumas parciales que mediante álgebra básica pueden demostrar que son positivas pero menores que todas las posteriores. Para x positivo, estos se denotan [ x ] n e incluyen todas las sumas parciales; para x negativo pero finito, [ x ] 2 n +1 denota los pasos impares de la serie a partir del primero con parte real positiva (que siempre existe). Para x infinito negativo, las sumas parciales impares son estrictamente decrecientes y la notación [ x ] 2 n +1 denota el conjunto vacío, pero resulta que los elementos correspondientes no son necesarios en la inducción.
Las relaciones que se cumplen para x < y reales son entonces
y
y esto se puede extender a los surrealistas con la definición
Esto está bien definido para todos los argumentos surrealistas (el valor existe y no depende de la elección de z L y z R ).
Usando esta definición, se cumple lo siguiente: [e]
La exponencial surrealista viene dada esencialmente por su comportamiento en potencias positivas de ω, es decir, la función g(a) , combinado con un comportamiento bien conocido en números finitos. Sólo se darán ejemplos de los primeros. Además, g(a) = a se cumple para una gran parte de su rango, por ejemplo para cualquier número finito con parte real positiva y cualquier número infinito que sea menor que alguna potencia iterada de ω ( ω ω · · ω para algún número de niveles).
Una exponenciación general se puede definir como x y = exp( y · log x ) , dando una interpretación a expresiones como 2 ω = exp(ω · log 2) = ω log 2 · ω . Nuevamente es esencial distinguir esta definición de la función "potencias de ω", especialmente si ω puede aparecer como base.
Un número surcomplejo es un número de la forma a + b i , donde a y b son números surrealistas e i es la raíz cuadrada de −1 . [10] [11] Los números surcomplejos forman un campo algebraicamente cerrado (excepto por ser una clase propia), isomorfo al cierre algebraico del campo generado al extender los números racionales por una clase propia de elementos trascendentales algebraicamente independientes . Hasta el isomorfismo de campo , este hecho caracteriza el campo de números surcomplejos dentro de cualquier teoría de conjuntos fijos. [6] : T.27
La definición de números surrealistas contenía una restricción: cada elemento de L debe ser estrictamente menor que cada elemento de R. Si se elimina esta restricción, podemos generar una clase más general conocida como juegos . Todos los juegos se construyen según esta regla:
La suma, la negación y la comparación se definen de la misma manera tanto para los números como para los juegos surrealistas.
Cada número surrealista es un juego, pero no todos los juegos son números surrealistas, por ejemplo, el juego { 0 | 0 } no es un número surrealista. La clase de juegos es más general que los surrealistas y tiene una definición más simple, pero carece de algunas de las propiedades más agradables de los números surrealistas. La clase de los números surrealistas forma un campo , pero la clase de los juegos no. Los surrealistas tienen un orden total : dados dos surrealistas cualesquiera, o son iguales o uno es mayor que el otro. Los juegos tienen sólo un orden parcial : existen pares de juegos que no son ni iguales, ni mayores, ni menores entre sí. Cada número surrealista es positivo, negativo o cero. Cada juego es positivo, negativo, cero o difuso (incomparable con cero, como {1 | −1}).
Un movimiento en un juego implica que el jugador cuyo movimiento realiza elige un juego entre los disponibles en L (para el jugador izquierdo) o R (para el jugador derecho) y luego pasa este juego elegido al otro jugador. Un jugador que no puede moverse porque la elección es del conjunto vacío ha perdido. Un juego positivo representa una victoria para el jugador de la izquierda, un juego negativo para el jugador de la derecha, un juego cero para el segundo jugador que se mueve y un juego difuso para el primer jugador que se mueve.
Si x , y y z son surrealistas y x = y , entonces x z = y z . Sin embargo, si x , y y z son juegos y x = y , entonces no siempre es cierto que x z = y z . Tenga en cuenta que "=" aquí significa igualdad, no identidad.
Los números surrealistas fueron motivados originalmente por estudios del juego Go , [2] y existen numerosas conexiones entre los juegos populares y los surrealistas. En esta sección, usaremos un Juego en mayúscula para el objeto matemático {L | R}, y el juego en minúscula para juegos recreativos como Ajedrez o Go .
Consideramos juegos con estas propiedades:
En la mayoría de los juegos, la posición inicial del tablero no da gran ventaja a ninguno de los jugadores. A medida que avanza el juego y un jugador comienza a ganar, se producirán posiciones en el tablero en las que ese jugador tiene una clara ventaja. Para analizar juegos, es útil asociar un Juego con cada posición del tablero. El valor de una determinada posición será el Juego {L|R}, donde L es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por Izquierda. De manera similar, R es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento con la Derecha.
El Juego cero (llamado 0) es el Juego donde L y R están vacíos, por lo que el jugador que se mueve a continuación (L o R) pierde inmediatamente. La suma de dos Juegos G = { L1 | R1 } y H = {L2 | R2 } se define como el Juego G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 } donde el jugador a mover elige en cuál de los Juegos jugar en cada etapa, y el perdedor sigue siendo el jugador que termina sin ningún movimiento legal. Uno puede imaginar dos tableros de ajedrez entre dos jugadores, con jugadores realizando movimientos alternativamente, pero con total libertad en cuanto a en qué tablero jugar. Si G es el Juego {L | R}, −G es el Juego {−R | −L}, es decir, con el papel de los dos jugadores invertido. Es fácil mostrar G – G = 0 para todos los Juegos G (donde G – H se define como G + (–H)).
Esta sencilla forma de asociar Juegos con juegos produce un resultado muy interesante. Supongamos que dos jugadores perfectos juegan un juego que comienza en una posición determinada cuyo Juego asociado es x . Podemos clasificar todos los Juegos en cuatro clases de la siguiente manera:
De manera más general, podemos definir G > H como G – H > 0, y de manera similar para <, = y ||.
La notación G || H significa que G y H son incomparables. GRAMO || H es equivalente a G − H || 0, es decir, que G > H, G < H y G = H son todas falsas. A veces se dice que los juegos incomparables se confunden entre sí, porque un jugador puede preferir uno u otro dependiendo de lo que se le agregue. Un juego confundido con cero se dice difuso , a diferencia de positivo, negativo o cero . Un ejemplo de juego difuso es la estrella (*) .
A veces, cuando un juego se acerca al final, se descompone en varios juegos más pequeños que no interactúan, excepto que el turno de cada jugador permite moverse en solo uno de ellos. Por ejemplo, en Go, el tablero se irá llenando lentamente de piezas hasta que solo queden unas pocas islas pequeñas de espacio vacío donde el jugador pueda moverse. Cada isla es como un juego de Go independiente, que se juega en un tablero muy pequeño. Sería útil si cada subjuego pudiera analizarse por separado y luego combinar los resultados para dar un análisis del juego completo. Esto no parece fácil de hacer. Por ejemplo, puede haber dos subjuegos en los que quien se mueve primero gana, pero cuando se combinan en un gran juego, ya no es el primer jugador el que gana. Afortunadamente, existe una manera de hacer este análisis. Se puede aplicar el siguiente teorema:
Un juego compuesto de juegos más pequeños se llama suma disyuntiva de esos juegos más pequeños, y el teorema establece que el método de suma que definimos equivale a tomar la suma disyuntiva de los sumandos.
Históricamente, Conway desarrolló la teoría de los números surrealistas en el orden inverso a como se ha presentado aquí. Estaba analizando finales de Go y se dio cuenta de que sería útil tener alguna forma de combinar los análisis de subjuegos que no interactúan en un análisis de su suma disyuntiva . A partir de esto inventó el concepto de Juego y el operador de suma para ello. De ahí pasó a desarrollar una definición de negación y comparación. Luego se dio cuenta de que cierta clase de juegos tenía propiedades interesantes; Esta clase se convirtió en los números surrealistas. Finalmente, desarrolló el operador de multiplicación y demostró que los surreales son en realidad un campo y que incluye tanto los reales como los ordinales.
Aproximaciones alternativas a los números surrealistas complementan la exposición de Conway en términos de juegos.
En lo que ahora se llama expansión de signos o secuencia de signos de un número surrealista, un número surrealista es una función cuyo dominio es un ordinal y cuyo codominio es {−1, +1}. [8] : cap. 2 Esto es equivalente a las secuencias LR de Conway. [6]
Defina el predicado binario "más simple que" en números mediante x es más simple que y si x es un subconjunto propio de y , es decir, si dom( x ) < dom( y ) y x (α) = y (α) para todo α < dominio( x ).
Para los números surrealistas, defina la relación binaria < como orden lexicográfico (con la convención de que los "valores indefinidos" son mayores que −1 y menores que 1). Entonces x < y si se cumple una de las siguientes condiciones:
De manera equivalente, sea δ( x , y ) = min({ dom( x ), dom( y )} ∪ { α : α < dom( x ) ∧ α < dom( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }), de modo que x = y si y sólo si δ( x , y ) = dom( x ) = dom( y ). Entonces, para los números x e y , x < y si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
Para los números x e y , x ≤ y si y solo si x < y ∨ x = y , y x > y si y solo si y < x . También x ≥ y si y sólo si y ≤ x .
La relación < es transitiva , y para todos los números x e y , se cumple exactamente uno de x < y , x = y , x > y (ley de la tricotomía ). Esto significa que < es un orden lineal (excepto que < es una clase adecuada).
Para conjuntos de números, L y R tales que ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), existe un número único z tal que
Además, z se puede construir a partir de L y R mediante inducción transfinita. z es el número más simple entre L y R. Denotemos el número único z por σ( L , R ).
Para un número x , defina su conjunto izquierdo L ( x ) y su conjunto derecho R ( x ) por
entonces σ( L ( x ), R ( x )) = x .
Una ventaja de esta realización alternativa es que la igualdad es identidad, no una relación definida inductivamente. Sin embargo, a diferencia de la realización de Conway de los números surrealistas, la expansión de signos requiere una construcción previa de los ordinales, mientras que en la realización de Conway, los ordinales se construyen como casos particulares de surreales.
Sin embargo, se pueden hacer definiciones similares que eliminan la necesidad de una construcción previa de los ordinales. Por ejemplo, podríamos dejar que los surreales sean la clase de funciones (definidas recursivamente) cuyo dominio es un subconjunto de los surreales que satisfacen la regla de transitividad ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) y cuyo el rango es { −, + }. "Más simple que" ahora se define de manera muy simple: x es más simple que y si x ∈ dom y . El orden total se define considerando x e y como conjuntos de pares ordenados (como se define normalmente una función): O x = y , o bien el número surrealista z = x ∩ y está en el dominio de x o en el dominio de y (o ambos, pero en este caso los signos deben diferir). Entonces tenemos x < y si x ( z ) = − o y ( z ) = + (o ambos). Convertir estas funciones en secuencias de signos es una tarea sencilla; organice los elementos de dom f en orden de simplicidad (es decir, inclusión) y luego escriba los signos que f asigna a cada uno de estos elementos en orden. Los ordinales entonces aparecen naturalmente como esos números surrealistas cuyo rango es {+}.
La suma x + y de dos números, x e y , se define por inducción en dom( x ) y dom( y ) por x + y = σ( L , R ), donde
La identidad aditiva viene dada por el número 0 = { }, es decir, el número 0 es la función única cuyo dominio es el ordinal 0, y el inverso aditivo del número x es el número − x , dado por dom(− x ) = dom( x ), y, para α < dom( x ), (− x )(α) = −1 si x (α) = +1, y (− x )(α) = +1 si x (α) = −1.
Se deduce que un número x es positivo si y solo si 0 < dom( x ) y x (0) = +1, y x es negativo si y solo si 0 < dom( x ) y x (0) = −1.
El producto xy de dos números, x e y , se define por inducción en dom( x ) y dom( y ) por xy = σ( L , R ), donde
La identidad multiplicativa viene dada por el número 1 = { (0,+1) }, es decir, el número 1 tiene dominio igual al ordinal 1, y 1(0) = +1.
El mapa de la realización de Conway para las expansiones de signos está dado por f ({ L | R }) = σ( M , S ), donde M = { f ( x ) : x ∈ L } y S = { f ( x ) : x ∈R } .
El mapa inverso de la realización alternativa a la realización de Conway viene dado por g ( x ) = { L | R }, donde L = { g ( y ) : y ∈ L ( x ) } y R = { g ( y ) : y ∈ R ( x ) }.
En otra aproximación a los surrealistas, dada por Alling, [11] se pasa por alto por completo la construcción explícita. En cambio, se da una serie de axiomas que cualquier enfoque particular de lo surrealista debe satisfacer. Al igual que el enfoque axiomático de los reales, estos axiomas garantizan la unicidad hasta el isomorfismo.
Un triple es un sistema numérico surrealista si y sólo si se cumple lo siguiente:
Tanto la construcción original de Conway como la construcción de signos surrealistas satisfacen estos axiomas.
Teniendo en cuenta estos axiomas, Alling [11] deriva la definición original de Conway de ≤ y desarrolla una aritmética surrealista.
Una construcción de los números surrealistas como un pseudoárbol binario máximo con simplicidad (ancestro) y relaciones de orden se debe a Philip Ehrlich, [12] La diferencia con la definición habitual de árbol es que el conjunto de ancestros de un vértice está bien -ordenado, pero puede no tener un elemento máximo (predecesor inmediato); en otras palabras, el tipo de orden de ese conjunto es un número ordinal general, no sólo un número natural. Esta construcción también cumple los axiomas de Alling y puede trasladarse fácilmente a la representación de secuencia de signos.
Alling [11] : th. 6.55, pág. 246 también demuestra que el campo de los números surrealistas es isomorfo (como un campo ordenado) al campo de la serie de Hahn con coeficientes reales en el grupo de valores de los números surrealistas (la representación de la serie correspondiente a la forma normal de un número surrealista, como se define arriba). Esto proporciona una conexión entre los números surrealistas y los enfoques matemáticos más convencionales de la teoría de campos ordenados.
Este isomorfismo convierte los números surrealistas en un campo valorado donde la valoración es el inverso aditivo del exponente del término principal en la forma normal de Conway, por ejemplo, ν(ω) = −1. El anillo de valoración se compone entonces de números surrealistas finitos (números con una parte real y/o infinitesimal). La razón de la inversión de signos es que los exponentes en la forma normal de Conway constituyen un conjunto bien ordenado inverso, mientras que las series de Hahn se formulan en términos de subconjuntos bien ordenados (no invertidos) del grupo de valores.
Philip Ehrlich ha construido un isomorfismo entre el campo numérico surrealista máximo de Conway y los hiperreales máximos en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel . [12]
Teorema 24.29. El sistema numérico surrealista es el campo ordenado más grande.
![{\displaystyle \exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{ 2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8b8d41b0d00e4860b4d62f39f72e841ebcca03)
