Criterio de estabilidad de Nyquist

Método gráfico para determinar la estabilidad de un sistema dinámico.

El diagrama de Nyquist para con s = jω . ${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s^{2}+s+1}}}$

En teoría del control y teoría de la estabilidad , el criterio de estabilidad de Nyquist o criterio de estabilidad de Strecker-Nyquist , descubierto de forma independiente por el ingeniero eléctrico alemán Felix Strecker  [de] en Siemens en 1930 ^{[1] [2] [3]} y el ingeniero eléctrico sueco-estadounidense Harry Nyquist en Bell Telephone Laboratories en 1932, ^[4] es una técnica gráfica para determinar la estabilidad de un sistema dinámico .

Debido a que solo analiza el diagrama de Nyquist de los sistemas de bucle abierto , se puede aplicar sin calcular explícitamente los polos y ceros del sistema de bucle cerrado o del sistema de bucle abierto (aunque el número de cada tipo de singularidades del semiplano derecho debe ser conocido). Como resultado, se puede aplicar a sistemas definidos por funciones no racionales , como sistemas con retrasos. A diferencia de los diagramas de Bode , puede manejar funciones de transferencia con singularidades de semiplano derecho. Además, existe una generalización natural a sistemas más complejos con múltiples entradas y múltiples salidas , como los sistemas de control de aviones.

El criterio de estabilidad de Nyquist se utiliza ampliamente en la ingeniería de sistemas de control y electrónica , así como en otros campos, para diseñar y analizar sistemas con retroalimentación . Si bien Nyquist es una de las pruebas de estabilidad más generales, todavía está restringida a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Sin embargo, existen generalizaciones del criterio (y gráfico) de Nyquist para sistemas no lineales, como el criterio del círculo y el gráfico relativo escalado de un operador no lineal . ^[5] Además, también se pueden aplicar otros criterios de estabilidad, como los métodos de Lyapunov, para sistemas no lineales.

Aunque Nyquist es una técnica gráfica, sólo proporciona una cantidad limitada de intuición sobre por qué un sistema es estable o inestable, o cómo modificar un sistema inestable para que sea estable. Técnicas como los diagramas de Bode, aunque menos generales, a veces son una herramienta de diseño más útil.

Trama de Nyquist

Un complot de Nyquist. Aunque las frecuencias no están indicadas en la curva, se puede inferir que el punto de frecuencia cero está a la derecha y la curva gira en espiral hacia el origen a alta frecuencia. Esto se debe a que la ganancia a frecuencia cero debe ser puramente real (en el eje X ) y comúnmente no es cero, mientras que la mayoría de los procesos físicos tienen cierta cantidad de filtrado de paso bajo, por lo que la respuesta de alta frecuencia es cero.

Un gráfico de Nyquist es un gráfico paramétrico de una respuesta de frecuencia utilizada en el control automático y el procesamiento de señales . El uso más común de los gráficos de Nyquist es para evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación . En coordenadas cartesianas , la parte real de la función de transferencia se traza en el eje X , mientras que la parte imaginaria se traza en el eje Y. La frecuencia se barre como parámetro, lo que da como resultado un punto por frecuencia. El mismo gráfico se puede describir usando coordenadas polares , donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente. La trama de Nyquist lleva el nombre de Harry Nyquist , un ex ingeniero de los Laboratorios Bell .

La evaluación de la estabilidad de un sistema de retroalimentación negativa en circuito cerrado se realiza aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist al gráfico de Nyquist del sistema en circuito abierto (es decir, el mismo sistema sin su circuito de retroalimentación ). Este método es fácilmente aplicable incluso para sistemas con retrasos y otras funciones de transferencia no racionales, que pueden parecer difíciles de analizar con otros métodos. La estabilidad se determina observando el número de círculos del punto (−1, 0). El rango de ganancias sobre el cual el sistema será estable se puede determinar observando los cruces del eje real.

El gráfico de Nyquist puede proporcionar cierta información sobre la forma de la función de transferencia. Por ejemplo, el gráfico proporciona información sobre la diferencia entre el número de ceros y polos de la función de transferencia ^[6] por el ángulo en el que la curva se acerca al origen.

Cuando se dibuja a mano, a veces se utiliza una versión de dibujos animados del diagrama de Nyquist, que muestra la linealidad de la curva, pero donde las coordenadas se distorsionan para mostrar más detalles en las regiones de interés. Cuando se traza computacionalmente, hay que tener cuidado de cubrir todas las frecuencias de interés. Normalmente, esto significa que el parámetro se barre logarítmicamente para cubrir una amplia gama de valores.

Fondo

Las matemáticas utilizan la transformada de Laplace , que transforma integrales y derivadas en el dominio del tiempo en multiplicaciones y divisiones simples en el dominio s .

Consideremos un sistema cuya función de transferencia es ; cuando se coloca en un circuito cerrado con retroalimentación negativa , la función de transferencia de circuito cerrado (CLTF) se convierte en: ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G}{1+GH}}}$

La estabilidad se puede determinar examinando las raíces del polinomio del factor de desensibilidad , por ejemplo utilizando la matriz de Routh , pero este método es algo tedioso. También se pueden llegar a conclusiones examinando la función de transferencia de bucle abierto (OLTF) , utilizando sus diagramas de Bode o, como aquí, su diagrama polar utilizando el criterio de Nyquist, como sigue. ${\displaystyle 1+GH}$ ${\displaystyle GH(s)}$

Cualquier función de transferencia de dominio de Laplace se puede expresar como la relación de dos polinomios : ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Las raíces de se llaman ceros de y las raíces de son los polos de . También se dice que los polos de son las raíces de la ecuación característica . ${\displaystyle N(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

La estabilidad de está determinada por los valores de sus polos: para la estabilidad, la parte real de cada polo debe ser negativa. Si se forma cerrando un bucle de retroalimentación unitaria negativa alrededor de la función de transferencia de bucle abierto, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle GH(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

entonces las raíces de la ecuación característica son también los ceros de , o simplemente las raíces de . ${\displaystyle 1+GH(s)}$ ${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

Principio argumental de Cauchy

A partir del análisis complejo , la función puede asignar un contorno dibujado en el plano complejo, que abarca pero no pasa por cualquier número de ceros y polos de una función , a otro plano (llamado plano) . Precisamente, cada punto complejo del contorno se asigna al punto del nuevo plano que produce un nuevo contorno. ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$

La trama de Nyquist , que es el contorno rodeará el punto del plano veces, donde por el principio de argumento de Cauchy . Aquí y son, respectivamente, el número de ceros y polos de dentro del contorno . Tenga en cuenta que contamos los círculos en el plano en el mismo sentido que el contorno y que los círculos en la dirección opuesta son círculos negativos . Es decir, consideramos que los cercos en el sentido de las agujas del reloj son positivos y los cercos en el sentido contrario a las agujas del reloj, negativos. ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle s={-1/k+j0}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=P-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1+kF(s)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

En lugar del principio argumental de Cauchy, el artículo original de Harry Nyquist de 1932 utiliza un enfoque menos elegante. El enfoque explicado aquí es similar al utilizado por Leroy MacColl (Teoría fundamental de los servomecanismos, 1945) o por Hendrik Bode (Análisis de redes y diseño de amplificadores de retroalimentación, 1945), quienes también trabajaron para los Laboratorios Bell . Este enfoque aparece en la mayoría de los libros de texto modernos sobre teoría del control.

Definición

Primero construimos el contorno de Nyquist , un contorno que abarca la mitad derecha del plano complejo:

• un camino que viaja hacia arriba del eje, de a . ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$
• un arco semicircular, con radio , que comienza en y viaja en el sentido de las agujas del reloj hasta . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle 0+j\infty }$ ${\displaystyle 0-j\infty }$

El contorno de Nyquist mapeado a través de la función produce una gráfica de en el plano complejo. Según el principio del argumento, el número de circunferencias del origen en el sentido de las agujas del reloj debe ser el número de ceros de en el plano semicomplejo derecho menos el número de polos de en el plano semicomplejo derecho. Si, en cambio, el contorno se mapea a través de la función de transferencia de bucle abierto , el resultado es el Gráfico de Nyquist de . Al contar los contornos de −1 del contorno resultante, encontramos la diferencia entre el número de polos y ceros en el plano complejo de la mitad derecha de . Recordando que los ceros de son los polos del sistema en lazo cerrado y observando que los polos de son los mismos que los polos de , ahora enunciamos el criterio de Nyquist : ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Dado un contorno de Nyquist , sea el número de polos de rodeado por y el número de ceros de rodeado por . Alternativamente, y más importante, si es el número de polos del sistema en bucle cerrado en el semiplano derecho, y es el número de polos de la función de transferencia en bucle abierto en el semiplano derecho, el contorno resultante en el plano -, rodeará (en el sentido de las agujas del reloj) el punto veces tal que . ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1+G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$ ${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=Z-P}$

Si el sistema es originalmente inestable en lazo abierto, es necesaria retroalimentación para estabilizar el sistema. Los polos del semiplano derecho (RHP) representan esa inestabilidad. Para la estabilidad en lazo cerrado de un sistema, el número de raíces en lazo cerrado en la mitad derecha del plano s debe ser cero. Por lo tanto, el número de círculos en sentido antihorario debe ser igual al número de polos en bucle abierto en el RHP. Cualquier círculo alrededor del punto crítico en el sentido de las agujas del reloj por la respuesta de frecuencia de bucle abierto (cuando se juzga desde baja frecuencia a alta frecuencia) indicaría que el sistema de control de retroalimentación sería desestabilizador si el bucle estuviera cerrado. (El uso de ceros RHP para "cancelar" los polos RHP no elimina la inestabilidad, sino que garantiza que el sistema permanecerá inestable incluso en presencia de retroalimentación, ya que las raíces de circuito cerrado viajan entre los polos de circuito abierto y los ceros en presencia de retroalimentación. De hecho, el RHP cero puede hacer que el polo inestable no sea observable y por lo tanto no sea estabilizable a través de retroalimentación.) ${\displaystyle -1+j0}$

El criterio de Nyquist para sistemas con polos en el eje imaginario

La consideración anterior se realizó asumiendo que la función de transferencia de bucle abierto no tiene ningún polo en el eje imaginario (es decir, polos de la forma ). Esto resulta del requisito del principio argumental de que el contorno no puede pasar por ningún polo de la función de mapeo. El caso más común son los sistemas con integradores (polos a cero). ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$

Para poder analizar sistemas con polos en el eje imaginario se puede modificar el Contorno de Nyquist para evitar pasar por el punto . Una forma de hacerlo es construir un arco semicircular con radio alrededor de , que comienza en y viaja en sentido antihorario hasta . Tal modificación implica que el fasor viaja a lo largo de un arco de radio infinito de , donde es la multiplicidad del polo en el eje imaginario. ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle 0+j\omega }$ ${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$ ${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle -l\pi }$ ${\displaystyle l}$

Derivación matemática

Un sistema unitario de retroalimentación negativa G con ganancia escalar denotada por K

Nuestro objetivo es, a través de este proceso, verificar la estabilidad de la función de transferencia de nuestro sistema de retroalimentación unitaria con ganancia k , que está dada por

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

Es decir, nos gustaría comprobar si la ecuación característica de la función de transferencia anterior, dada por

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

tiene ceros fuera del semiplano izquierdo abierto (comúnmente inicializado como OLHP).

Suponemos que tenemos un contorno en el sentido de las agujas del reloj (es decir, orientado negativamente) que encierra el semiplano derecho, con las muescas necesarias para evitar pasar por ceros o polos de la función . El principio argumental de Cauchy establece que ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

Donde denota el número de ceros encerrados por el contorno y denota el número de polos del mismo contorno. Reordenando tenemos , es decir ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D(s)}$ ${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

Luego observamos que tiene exactamente los mismos polos que . Así, podemos encontrar contando los polos que aparecen dentro del contorno, es decir, dentro del semiplano derecho abierto (ORHP). ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G(s)}$

Ahora reorganizaremos la integral anterior mediante sustitución. Es decir, estableciendo , tenemos ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

Luego hacemos una sustitución adicional, estableciendo . esto nos da ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

Ahora notamos que nos da la imagen de nuestro contorno debajo , es decir, nuestro diagrama de Nyquist . Podemos reducir aún más la integral ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

aplicando la fórmula integral de Cauchy . De hecho, encontramos que la integral anterior corresponde precisamente al número de veces que el diagrama de Nyquist rodea el punto en el sentido de las agujas del reloj. Así, finalmente podemos afirmar que ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, encontramos que, como se definió anteriormente, corresponde a un sistema de retroalimentación unitaria estable cuando , como se evaluó anteriormente, es igual a 0. ${\displaystyle T(s)}$ ${\displaystyle Z}$

Importancia

El criterio de estabilidad de Nyquist es una técnica gráfica que determina la estabilidad de un sistema dinámico, como un sistema de control de retroalimentación. Se basa en el principio del argumento y el diagrama de Nyquist de la función de transferencia en bucle abierto del sistema. Se puede aplicar a sistemas que no están definidos por funciones racionales, como sistemas con retrasos. También puede manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho, a diferencia de los diagramas de Bode. El criterio de estabilidad de Nyquist también se puede utilizar para encontrar los márgenes de fase y ganancia de un sistema, que son importantes para el diseño de controladores en el dominio de la frecuencia. ^[7]

Resumen

• Si la función de transferencia de bucle abierto tiene un polo de multiplicidad cero , entonces el diagrama de Nyquist tiene una discontinuidad en . Durante un análisis más detallado se debe suponer que el fasor viaja veces en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de un semicírculo de radio infinito. Después de aplicar esta regla, los polos cero deben despreciarse, es decir, si no hay otros polos inestables, entonces la función de transferencia en bucle abierto debe considerarse estable. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle G(s)}$
• Si la función de transferencia de bucle abierto es estable, entonces el sistema de bucle cerrado es inestable, si y sólo si, el gráfico de Nyquist rodea el punto −1 al menos una vez. ${\displaystyle G(s)}$
• Si la función de transferencia en lazo abierto es inestable , entonces para que el sistema en lazo cerrado sea estable, debe haber un círculo en sentido antihorario de −1 para cada polo de en la mitad derecha del plano complejo. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$
• El número de cercos excedentes ( N  +  P mayor que 0) es exactamente el número de polos inestables del sistema en circuito cerrado.
• Sin embargo, si la gráfica pasa por el punto , entonces decidir incluso sobre la estabilidad marginal del sistema se vuelve difícil y la única conclusión que se puede sacar de la gráfica es que existen ceros en el eje. ${\displaystyle -1+j0}$ ${\displaystyle j\omega }$

Ver también

• Estabilidad BIBO
• trama de presagio
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• margen de ganancia
• Trama de Nichols
• círculos de pasillo
• margen de fase
• Criterio de estabilidad de Barkhausen
• Criterio del círculo
• Ingeniería de control
• valor singular de Hankel

Referencias

1. Reinschke, Kurt (2014). "Capítulo 4.3. Das Stabilitätskriterium von Strecker-Nyquist". Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie (en alemán) (2 ed.). Springer-Verlag . pag. 184.ISBN _ 978-3-64240960-8. Consultado el 14 de junio de 2019 .
2. Bissell, Christopher C. (2001). "Inventar la 'caja negra': las matemáticas como una tecnología habilitante desatendida en la historia de la ingeniería de las comunicaciones" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 14 de junio de 2019 . Consultado el 14 de junio de 2019 .
3. Strecker, Felix [en alemán] (1947). Die elektrische Selbsterregung mit einer Theorie der aktiven Netzwerke (en alemán). Stuttgart, Alemania: S. Hirzel Verlag  [delaware] .(NB. Los trabajos anteriores se pueden encontrar en la sección de literatura).
4. Nyquist, Harry (enero de 1932). "Teoría de la regeneración". Revista técnica del sistema Bell . Estados Unidos: Compañía Estadounidense de Teléfonos y Telégrafos (AT&T). 11 (1): 126-147. doi :10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. S2CID  115002788.
5. Chaffey, Thomas; Forni, Fulvio; Sepulcro, Rodolphe (2023). "Análisis gráfico de sistemas no lineales". Transacciones IEEE sobre control automático . 68 (10): 6067–6081. arXiv : 2107.11272 . doi :10.1109/TAC.2023.3234016. ISSN  0018-9286. S2CID  236318576.
6. Parcelas de Nyquist Archivado el 30 de septiembre de 2008 en la Wayback Machine.
7. "12.2: Criterio de estabilidad de Nyquist". Matemáticas LibreTexts . 2017-09-05 . Consultado el 25 de diciembre de 2023 .

Otras lecturas

• Faulkner, EA (1969): Introducción a la Teoría de Sistemas Lineales ; Chapman y Salón; ISBN 0-412-09400-2 
• Pippard, AB (1985): Respuesta y estabilidad ; Prensa de la Universidad de Cambridge; ISBN 0-521-31994-3 
• Gessing, R. (2004): Fundamentos de control ; Universidad Tecnológica de Silesia; ISBN 83-7335-176-0 
• Franklin, G. (2002): Control de retroalimentación de sistemas dinámicos ; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4 

enlaces externos

• Applets con parámetros modificables
• EIS Spectrum Analyzer: un programa gratuito para el análisis y simulación de espectros de impedancia
• Función MATLAB para crear un gráfico de Nyquist de una respuesta de frecuencia de un modelo de sistema dinámico.
• Conformación de trazado PID Nyquist: herramienta virtual interactiva gratuita, simulador de bucle de control
• Función Mathematica para crear el diagrama de Nyquist
• El diagrama de Nyquist para circuitos eléctricos