Círculos de pasillo

Diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto en azul con los círculos M y N superpuestos en el gráfico. El círculo M con M = 0,45 está resaltado en rojo e intercepta el diagrama de Nyquist en las frecuencias . ${\displaystyle G(s)=1/(s+0.5)}$ ${\displaystyle \omega \approx \pm 1.64}$

Los círculos de Hall (también conocidos como círculos M y círculos N ) son una herramienta gráfica en la teoría de control que se utiliza para obtener valores de una función de transferencia de bucle cerrado a partir del diagrama de Nyquist (o diagrama de Nichols ) de la función de transferencia de bucle abierto asociada. Los círculos de Hall fueron introducidos en la teoría de control por Albert C. Hall en su tesis. ^[1]

Construcción

Considere un sistema de control lineal de bucle cerrado con una función de transferencia de bucle abierto dada por la función de transferencia y con una ganancia unitaria en el bucle de retroalimentación. La función de transferencia de bucle cerrado está dada por . ${\displaystyle G(s)}$ ${\textstyle T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}}$

Para comprobar la estabilidad de T ( s ), es posible utilizar el criterio de estabilidad de Nyquist con el diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto G ( s ). Sin embargo, tenga en cuenta que solo el diagrama de Nyquist de G ( s ) no proporciona los valores reales de T ( s ). Para obtener esta información del plano G(s), Hall propuso construir el lugar geométrico de los puntos en el plano G ( s ) tales que T ( s ) tenga magnitud constante y también el lugar geométrico de los puntos en el plano G ( s ) tales que T ( s ) tenga ángulo de fase constante.

Dado un valor real positivo M que representa una magnitud fija, y que denota G(s) por z , los puntos que satisfacen están dados por los puntos z en el plano G ( s ) tales que la relación entre la distancia entre z y 0 y la distancia entre z y -1 es igual a M . Los puntos z que satisfacen esta condición de lugar geométrico son círculos de Apolonio , y este lugar geométrico se conoce en el contexto de los sistemas de control como M-círculos . $${\displaystyle M=|T(s)|={\frac {|G(s)|}{|1+G(s)|}}={\frac {|z|}{|1+z|}}}$$

Dado un valor real positivo N que representa un ángulo de fase, los puntos que satisfacen están dados por los puntos z en el plano G ( s ) de manera que el ángulo entre -1 y z y el ángulo entre 0 y z es constante. En otras palabras, el ángulo opuesto al segmento de línea entre -1 y 0 debe ser constante. Esto implica que los puntos z que satisfacen esta condición de lugar geométrico son arcos de círculo, ^[2] y este lugar geométrico se conoce en el contexto de los sistemas de control como N-círculos . $${\displaystyle N=\arg \left[{\frac {G(s)}{1+G(s)}}\right]=\arg[G(s)]-\arg[1+G(s)]=\arg[z]-\arg[1+z]}$$

Uso

Diagrama de Nichols de la función de transferencia 1/s(1+s)(1+2s) junto con los círculos M y N modificados.

Para utilizar los círculos de Hall, se realiza un gráfico de los círculos M y N sobre el gráfico de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto. Los puntos de intersección entre estos gráficos dan el valor correspondiente de la función de transferencia de lazo cerrado.

Los círculos de Hall también se utilizan con el diagrama de Nichols y, en este contexto, también se conocen como diagrama de Nichols. En lugar de superponer directamente los círculos de Hall sobre el diagrama de Nichols, los puntos de los círculos se transfieren a un nuevo sistema de coordenadas donde la ordenada está dada por y la abscisa por . La ventaja de utilizar el diagrama de Nichols es que el ajuste de la ganancia de la función de transferencia de bucle abierto se refleja directamente en la traslación hacia arriba y hacia abajo del diagrama de Nichols en el diagrama. ${\displaystyle 20\log _{10}(|G(s)|)}$ ${\displaystyle \arg(G(s))}$

Véase también

• El complot de Nyquist
• El complot de Nichols

Notas

1. C., Hall, Albert (1943). El análisis y la síntesis de servomecanismos lineales. Cambridge: Technology Press, Instituto Tecnológico de Massachusetts. ISBN 9780262080736.OCLC 857968901  .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. "Masticando ángulos inscritos". cut-the-knot . Consultado el 25 de mayo de 2018 .

Referencias

• Katsuhiko, Ogata (2002). Ingeniería de control moderna (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0130609072.OCLC 46619221  .
• S., Nise, Norman (2008). Ingeniería de sistemas de control (5.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471794752.OCLC 154798791  .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )