Criterio del círculo

En la teoría de control y estabilidad no lineal , el criterio del círculo es un criterio de estabilidad para sistemas no lineales que varían con el tiempo. Puede considerarse como una generalización del criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) .

Descripción general

Consideremos un sistema lineal sujeto a retroalimentación no lineal, es decir, un elemento no lineal está presente en el bucle de retroalimentación. Supongamos que el elemento satisface una condición de sector y (para simplificar) que el sistema de bucle abierto es estable. Entonces, el sistema de bucle cerrado es globalmente asintóticamente estable si el lugar geométrico de Nyquist no penetra el círculo que tiene como diámetro el segmento ubicado en el eje x . ${\displaystyle \varphi (v,t)}$ ${\displaystyle [\mu _{1},\mu _{2}]}$ ${\displaystyle [-1/\mu _{1},-1/\mu _{2}]}$

Descripción general

Consideremos el sistema no lineal

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} +\mathbf {Bw} ,}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Cx} ,}$

${\displaystyle \mathbf {w} =\varphi (v,t).}$

Supongamos que

1. ${\displaystyle \mu _{1}v\leq \varphi (v,t)\leq \mu _{2}v,\ \forall v,t}$
2. ${\displaystyle \det(i\omega I_{n}-A)\neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}{\text{ and }}\exists \mu _{0}\in [\mu _{1},\mu _{2}]\,:\,A+\mu _{0}BC}$es estable
3. ${\displaystyle \Re \left[(\mu _{2}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B-1)(1-\mu _{1}C(i\omega I_{n}-A)^{-1}B)\right]<0\ \forall \omega \in R^{-1}.}$

Entonces , para cualquier solución del sistema, se cumple la siguiente relación: ${\displaystyle \exists c>0,\delta >0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t\geq 0.}$

La condición 3 también se conoce como condición de frecuencia . La condición 1 es la condición de sector .

Enlaces externos

• Condiciones suficientes para la estabilización de la retroalimentación de salida dinámica a través del criterio del círculo
• Criterio de Popov y Circle (Cam UK)
• Análisis de estabilidad utilizando el criterio del círculo en Mathematica

Referencias

• Haddad, Wassim M.; Chellaboina, VijaySekhar (2011). Sistemas dinámicos no lineales y control: un enfoque basado en Lyapunov . Princeton University Press. ISBN 9781400841042.