Principio de argumentación

Teorema en análisis complejo

El contorno simple C (negro), los ceros de f (azul) y los polos de f (rojo). Aquí tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,}$

En el análisis complejo , el principio de argumento (o principio de argumento de Cauchy ) es un teorema que relaciona la diferencia entre el número de ceros y polos de una función meromórfica con una integral de contorno de la derivada logarítmica de la función .

Formulación

Si f ( z ) es una función meromórfica dentro y sobre algún contorno cerrado C , y f no tiene ceros ni polos en C , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P}$

donde Z y P denotan respectivamente el número de ceros y polos de f ( z ) dentro del contorno C , con cada cero y polo contados tantas veces como su multiplicidad y orden , respectivamente, indiquen. Este enunciado del teorema supone que el contorno C es simple, es decir, sin autointersecciones, y que está orientado en sentido antihorario.

De manera más general, supongamos que f ( z ) es una función meromórfica en un conjunto abierto Ω en el plano complejo y que C es una curva cerrada en Ω que evita todos los ceros y polos de f y es contráctil hasta un punto dentro de Ω. Para cada punto z ∈ Ω, sea n ( C , z ) el número de vueltas de C alrededor de z . Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

donde la primera suma es sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma es sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

Interpretación de la integral de contorno

La integral de contorno se puede interpretar como 2π i por el número de vueltas del camino f ( C ) alrededor del origen, utilizando la sustitución w = f ( z ): ${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

Es decir, es i veces el cambio total en el argumento de f ( z ) a medida que z viaja alrededor de C , lo que explica el nombre del teorema; esto se deduce de

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

y la relación entre argumentos y logaritmos.

Prueba del principio del argumento

Sea z _Z un cero de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z  −  z _Z ) ^k g ( z ) donde k es la multiplicidad del cero, y por lo tanto g ( z _Z ) ≠ 0. Obtenemos

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

Como g ( z _Z ) ≠ 0, se deduce que g' ( z )/ g ( z ) no tiene singularidades en z _Z , y por lo tanto es analítico en z _Z , lo que implica que el residuo de f ′( z )/ f ( z ) en z _Z es  k .

Sea z _P un polo de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z  −  z _P ) ^{− m} h ( z ) donde m es el orden del polo y h ( z _P ) ≠ 0. Entonces,

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

De manera similar a lo anterior. Se deduce que h ′( z )/ h ( z ) no tiene singularidades en z _P ya que h ( z _P ) ≠ 0 y por lo tanto es analítica en z _P . Encontramos que el residuo de f ′( z )/ f ( z ) en z _P es − m .

Juntando todo esto, cada cero z _Z de multiplicidad k de f crea un polo simple para f ′( z )/ f ( z ) con residuo k , y cada polo z _P de orden m de f crea un polo simple para f ′( z )/ f ( z ) con residuo − m . (Aquí, por polo simple queremos decir un polo de orden uno.) Además, se puede demostrar que f ′( z )/ f ( z ) no tiene otros polos, y por lo tanto no tiene otros residuos.

Por el teorema de los residuos tenemos que la integral de C es el producto de 2 πi y la suma de los residuos. En conjunto, la suma de los k para cada cero z _Z es el número de ceros contando las multiplicidades de los ceros, y lo mismo para los polos, y así tenemos nuestro resultado.

Aplicaciones y consecuencias

El principio de argumento se puede utilizar para localizar de forma eficiente los ceros o polos de funciones meromórficas en una computadora. Incluso con errores de redondeo, la expresión arrojará resultados cercanos a un entero; al determinar estos enteros para diferentes contornos C se puede obtener información sobre la ubicación de los ceros y polos. Las pruebas numéricas de la hipótesis de Riemann utilizan esta técnica para obtener un límite superior para el número de ceros de la función de Riemann dentro de un rectángulo que interseca la línea crítica. El principio de argumento también se puede utilizar para demostrar el teorema de Rouché , que se puede utilizar para acotar las raíces de las raíces de polinomios. ${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$ ${\displaystyle \xi (s)}$

Una consecuencia de la formulación más general del principio de argumento es que, bajo la misma hipótesis, si g es una función analítica en Ω, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

Por ejemplo, si f es un polinomio que tiene ceros z ₁ , ..., z _p dentro de un contorno simple C , y g ( z ) = z ^k , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

es el polinomio simétrico suma de potencias de las raíces de f .

Otra consecuencia es si calculamos la integral compleja:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

Para una elección adecuada de g y f tenemos la fórmula de Abel-Plana :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

que expresa la relación entre una suma discreta y su integral.

El principio de argumentación también se aplica en la teoría de control . En los libros modernos sobre la teoría de control por retroalimentación, se utiliza comúnmente como base teórica para el criterio de estabilidad de Nyquist . Además, se puede emplear una forma más generalizada del principio de argumentación para derivar la integral de sensibilidad de Bode y otras relaciones integrales relacionadas. ^[1]

Principio de argumento generalizado

Hay una generalización inmediata del principio de argumento. Supongamos que g es analítico en la región . Entonces ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

donde la primera suma es nuevamente sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma es nuevamente sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

Historia

Según el libro de Frank Smithies ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997, p. 177), Augustin-Louis Cauchy presentó un teorema similar al anterior el 27 de noviembre de 1831, durante su exilio autoimpuesto en Turín (entonces capital del Reino de Piamonte-Cerdeña) lejos de Francia. Sin embargo, según este libro, solo se mencionaban los ceros, no los polos. Este teorema de Cauchy solo se publicó muchos años después, en 1874, en forma manuscrita, por lo que es bastante difícil de leer. Cauchy publicó un artículo con una discusión sobre los ceros y los polos en 1855, dos años antes de su muerte.

Véase también

• Derivada logarítmica
• Criterio de estabilidad de Nyquist

Referencias

1. Xu, Yong; Chen, Gang; Chen, Jie; Qiu, Li (2023). "Principio de argumento y relaciones integrales: vínculos ocultos y formas generalizadas". IEEE Transactions on Automatic Control . 68 (3): 1831–1838. doi :10.1109/TAC.2022.3159565. ISSN  0018-9286.

• Rudin, Walter (1986). Análisis real y complejo (Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Variables complejas y aplicaciones . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les ceros de la función zeta(s) de Riemann, CR Acad. Ciencia. París 158, 1979–1982.

Enlaces externos

• "Argumento, principio de la", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]