Longitud del arco

Distancia a lo largo de una curva

Cuando se rectifica, la curva da un segmento de línea recta con la misma longitud que la longitud del arco de la curva.

Longitud de arco s de una espiral logarítmica en función de su parámetro θ .

La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva .

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular mediante la aproximación del segmento de arco como segmentos de línea (rectos) conectados también se denomina rectificación de curva . En el caso de una curva rectificable, estas aproximaciones no son arbitrariamente grandes (por lo que la curva tiene una longitud finita).

Si una curva se puede parametrizar como una función inyectiva y continuamente diferenciable (es decir, la derivada es una función continua) , entonces la curva es rectificable (es decir, tiene una longitud finita). ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

El advenimiento del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Enfoque general

Aproximación a una curva mediante múltiples segmentos lineales, llamada rectificación de una curva.

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva utilizando segmentos de línea (rectos) para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar mediante la suma de las longitudes de cada segmento lineal;Esta aproximación se conoce como distancia cordal (acumulativa) . ^[1]

Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, entonces el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de línea de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones de la longitud de la curva. Esta determinación de la longitud de la curva mediante la aproximación de la curva como segmentos de línea conectados (rectos) se denomina rectificación de una curva. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelvan arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas, existe un número mínimo que constituye un límite superior para la longitud de todas las aproximaciones poligonales (rectificación). Estas curvas se denominan rectificables y la longitud del arco se define como el número . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Se puede definir una longitud de arco con signo para transmitir una sensación de orientación o "dirección" con respecto a un punto de referencia tomado como origen en la curva (ver también: orientación de la curva y distancia con signo ). ^[2]

Fórmula para una curva suave

Sea una función inyectiva y continuamente diferenciable (es decir, la derivada es una función continua). La longitud de la curva definida por se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos lineales para una partición regular de a medida que el número de segmentos tiende al infinito. Esto significa ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

donde con para Esta definición es equivalente a la definición estándar de longitud de arco como una integral: ${\displaystyle t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {b-a}{N}}=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}$$

La última igualdad se demuestra mediante los siguientes pasos:

1. El segundo teorema fundamental del cálculo muestra dónde sobre se aplica a y . En el paso siguiente, se utiliza la siguiente expresión equivalente. $${\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta }$$ ${\displaystyle t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ ${\displaystyle dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta }$ $${\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .}$$
2. La función es una función continua de un intervalo cerrado al conjunto de los números reales, por lo que es uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor , por lo que existe una función real positiva y monótonamente no decreciente de números reales positivos tal que implica donde y . Consideremos el límite de la siguiente fórmula, ${\displaystyle \left|f'\right|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\ce {N\to \infty }}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Con el resultado del paso anterior, se convierte en

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Los términos se reorganizan de modo que se conviertan en

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}}$$

donde se utiliza en el lado más a la izquierda . Por for so that , se convierte en ${\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$

$${\displaystyle \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t}$$

con , , y . En el límite , por lo tanto, el lado izquierdo de tiende a . En otras palabras, en este límite, y el lado derecho de esta igualdad es simplemente la integral de Riemann de en Esta definición de longitud de arco muestra que la longitud de una curva representada por una función continuamente diferenciable en es siempre finita, es decir, rectificable . ${\displaystyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\displaystyle \varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)}$ ${\displaystyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t}$ ${\displaystyle \left|f'(t)\right|}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

La definición de longitud de arco de una curva suave como la integral de la norma de la derivada es equivalente a la definición

$${\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones posibles de ^[3] Esta definición como el supremo de todas las sumas de particiones posibles también es válida si es meramente continua, no diferenciable. ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f}$

Una curva se puede parametrizar de infinitas maneras. Sea cualquier biyección continuamente diferenciable . Entonces es otra parametrización continuamente diferenciable de la curva definida originalmente por La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definir la curva: ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}$ ${\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}$$

Encontrar longitudes de arco por integración

Cuarto de círculo

Si una curva plana en se define por la ecuación donde es continuamente diferenciable , entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde y La distancia euclidiana de cada segmento infinitesimal del arco se puede dar por: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=t}$ ${\displaystyle y=f(t).}$

$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

La longitud del arco viene dada por:

$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Las curvas con soluciones de forma cerrada para la longitud de arco incluyen la catenaria , el círculo , la cicloide , la espiral logarítmica , la parábola , la parábola semicúbica y la línea recta . La falta de una solución de forma cerrada para la longitud de arco de un arco elíptico e hiperbólico condujo al desarrollo de las integrales elípticas .

Integración numérica

En la mayoría de los casos, incluso en curvas simples, no existen soluciones de forma cerrada para la longitud del arco y es necesaria la integración numérica . La integración numérica de la integral de la longitud del arco suele ser muy eficiente. Por ejemplo, considere el problema de encontrar la longitud de un cuarto del círculo unitario mediante la integración numérica de la integral de la longitud del arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como El intervalo corresponde a un cuarto del círculo. Dado que y la longitud de un cuarto del círculo unitario es ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}$ ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}$

$${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

La estimación de la regla de Gauss-Kronrod de 15 puntos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$$

por1,3 × 10 ⁻¹¹ y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de1.570 796 326 794 727 difiere de la longitud real solo en1,7 × 10 ⁻¹³ . Esto significa que es posible evaluar esta integral con una precisión casi mecánica con solo 16 evaluaciones del integrando.

Curva en una superficie

Sea una aplicación de superficie y sea una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco es Para evaluar la derivada se requiere la regla de la cadena para campos vectoriales: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$ ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

La norma al cuadrado de este vector es

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(donde es el primer coeficiente de la forma fundamental ), por lo que el integrando de la integral de longitud de arco se puede escribir como (donde y ). ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$ ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=v}$

Otros sistemas de coordenadas

Sea una curva expresada en coordenadas polares. La aplicación que transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

El integrando de la integral de longitud de arco es La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que Entonces el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es: $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

La segunda expresión es para un gráfico polar parametrizado por . ${\displaystyle r=r(\theta )}$ ${\displaystyle t=\theta }$

Ahora sea una curva expresada en coordenadas esféricas donde es el ángulo polar medido desde el eje positivo y es el ángulo azimutal. La aplicación que transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

Usando nuevamente la regla de la cadena se muestra que todos los productos escalares donde y difieren son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Un cálculo muy similar muestra que la longitud del arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Casos sencillos

Arcos de círculos

Las longitudes de arco se denotan por s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es spatium .

En las líneas siguientes, representa el radio de un círculo , es su diámetro , es su circunferencia , es la longitud de un arco del círculo, y es el ángulo que el arco subtiende en el centro del círculo. Las distancias y se expresan en las mismas unidades. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,d,C,}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$que es lo mismo que Esta ecuación es una definición de ${\displaystyle C=\pi d.}$ ${\displaystyle \pi .}$
• Si el arco es un semicírculo , entonces ${\displaystyle s=\pi r.}$
• Para un arco circular arbitrario:
  • Si está en radianes entonces Esta es una definición del radián. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s=r\theta .}$
  • Si está en grados , entonces, que es lo mismo que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • Si está en grados (100 grados, o grados, o gradianes son un ángulo recto ), entonces, que es lo mismo que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • Si está en vueltas (una vuelta es una rotación completa, o 360°, o 400 grados, o radianes), entonces . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$

Grandes círculos en la Tierra

Originalmente se definieron dos unidades de longitud, la milla náutica y el metro (o kilómetro), de modo que las longitudes de los arcos de los círculos máximos en la superficie de la Tierra estuvieran simplemente relacionadas numéricamente con los ángulos que subtienden en su centro. La sencilla ecuación se aplica en las siguientes circunstancias: ${\displaystyle s=\theta }$

• si está en millas náuticas, y está en minutos de arco ( 1 ⁄ 60 grados ), o ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$
• si está en kilómetros, y está en gradianes . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$

Las longitudes de las unidades de distancia se eligieron para que la circunferencia de la Tierra fuera igual.40 000 kilómetros, o21 600 millas náuticas. Esos son los números de las unidades angulares correspondientes en una vuelta completa.

Esas definiciones del metro y la milla náutica han sido reemplazadas por otras más precisas, pero las definiciones originales siguen siendo lo suficientemente precisas para fines conceptuales y algunos cálculos. Por ejemplo, implican que un kilómetro es exactamente 0,54 millas náuticas. Usando definiciones oficiales modernas, una milla náutica es exactamente 1,852 kilómetros, ^[4] lo que implica que 1 kilómetro es aproximadamente0,539 956 80 millas náuticas. ^[5] Esta relación moderna difiere de la calculada a partir de las definiciones originales en menos de una parte en 10 000.

Otros casos sencillos

• Espiral de Arquímedes § Longitud del arco
• Cicloide § Longitud del arco
• Elipse § Longitud del arco
• Hélice § Longitud del arco
• Parábola § Longitud del arco
• Seno y coseno § Longitud de arco
• Onda triangular § Longitud del arco

Métodos históricos

Antigüedad

Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los más grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había sido pionero en una forma de encontrar el área bajo una curva con su " método de extenuación ", pocos creían que fuera posible que las curvas tuvieran longitudes definidas, como las líneas rectas. El primer avance en este campo se produjo, como ha sucedido a menudo en el cálculo , mediante la aproximación . La gente empezó a inscribir polígonos dentro de las curvas y a calcular la longitud de los lados para obtener una medida algo precisa de la longitud. Al utilizar más segmentos y al disminuir la longitud de cada segmento, pudieron obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al inscribir un polígono de muchos lados en un círculo, pudieron encontrar valores aproximados de π . ^{[6] [7]}

Siglo XVII

En el siglo XVII, el método de agotamiento condujo a la rectificación por métodos geométricos de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen que John Wallis en la década de 1650), la cicloide de Christopher Wren en 1658 y la catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659, Wallis atribuyó a William Neile el descubrimiento de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . ^[8] Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, se menciona a William Neile como Gulielmus Nelius .

Forma integral

Antes del desarrollo formal completo del cálculo, la base de la forma integral moderna para la longitud de arco fue descubierta independientemente por Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat .

En 1659, van Heuraet publicó una construcción que mostraba que el problema de determinar la longitud de arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud de arco de una parábola semicúbica, lo que requería encontrar el área bajo una parábola . ^[9] En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geométrica (Disertación geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas). ^[10]

Método de Fermat para determinar la longitud del arco

Basándose en su trabajo previo con tangentes, Fermat utilizó la curva

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

cuya tangente en x = a tenía una pendiente de

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

Entonces la recta tangente tendría la ecuación

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

A continuación, aumentó a en una pequeña cantidad hasta a + ε , lo que hace que el segmento AC sea una aproximación relativamente buena para la longitud de la curva de A a D . Para encontrar la longitud del segmento AC , utilizó el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

que, al ser resuelto, da como resultado

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

Para aproximar la longitud, Fermat sumaría una secuencia de segmentos cortos.

Curvas de longitud infinita

La curva de Koch.

La gráfica de ${\displaystyle x\cdot \sin(1/x)}$

Como se mencionó anteriormente, algunas curvas no son rectificables. Es decir, no hay un límite superior en las longitudes de las aproximaciones poligonales; la longitud puede hacerse arbitrariamente grande . De manera informal, se dice que tales curvas tienen longitud infinita. Hay curvas continuas en las que cada arco (excepto un arco de un solo punto) tiene longitud infinita. Un ejemplo de tal curva es la curva de Koch . Otro ejemplo de una curva con longitud infinita es el gráfico de la función definida por f ( x ) =  x  sen(1/ x ) para cualquier conjunto abierto con 0 como uno de sus delimitadores y f (0) = 0. A veces, la dimensión de Hausdorff y la medida de Hausdorff se utilizan para cuantificar el tamaño de tales curvas.

Generalización a variedades (pseudo)riemannianas

Sea una variedad (pseudo-)riemanniana , el tensor (pseudo-) métrico , una curva definida por ecuaciones paramétricas ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}$

y

${\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }$

La longitud de , se define como ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}$,

o, eligiendo coordenadas locales , ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}$,

dónde

${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$

es el vector tangente de en El signo en la raíz cuadrada se elige una vez para una curva dada, para asegurar que la raíz cuadrada sea un número real. El signo positivo se elige para curvas espaciales; en una variedad pseudo-riemanniana, el signo negativo puede elegirse para curvas temporales. Por lo tanto, la longitud de una curva es un número real no negativo. Por lo general, no se consideran curvas que sean en parte espaciales y en parte temporales. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t.}$

En la teoría de la relatividad , la longitud del arco de las curvas temporales ( líneas del mundo ) es el tiempo propio transcurrido a lo largo de la línea del mundo, y la longitud del arco de una curva espacial es la distancia propia a lo largo de la curva.

Véase también

• Arco (geometría)
• Circunferencia
• Fórmula de Crofton
• Integral elíptica
• Geodésicas
• Ecuación intrínseca
• Aproximaciones integrales
• Integral de línea
• Arco meridiano
• Cálculo multivariable
• Sinuosidad

Referencias

1. Ahlberg; Nilson (1967). La teoría de splines y sus aplicaciones . Academic Press. pág. 51. ISBN 9780080955452.
2. Nestoridis, Vassili; Papadopoulos, Athanase (2017). "Longitud de arco como parámetro conforme global para curvas analíticas". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 445 (2). Elsevier BV: 1505–1515. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN  0022-247X.
3. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill, Inc., págs. 137. ISBN 978-0-07-054235-8.
4. Suplee, Curt (2 de julio de 2009). "Publicación especial 811". nist.gov .
5. Manual de química y física del CRC , pág. F-254
6. Richeson, David (mayo de 2015). "Razonamiento circular: ¿quién demostró por primera vez que C dividido por d es una constante?". The College Mathematics Journal . 46 (3): 162–171. doi :10.4169/college.math.j.46.3.162. ISSN  0746-8342. S2CID  123757069.
7. Coolidge, JL (febrero de 1953). "Las longitudes de las curvas". The American Mathematical Monthly . 60 (2): 89–93. doi :10.2307/2308256. JSTOR  2308256.
8. Wallis, Juan (1659). Tractatus Dúo. Antes, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis…. Oxford: prensa universitaria. págs. 91–96.
9. van Heuraet, Hendrik (1659). "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Carta sobre la transformación de líneas curvas en rectas]". Renati Des-Cartes Geometria (2ª ed.). Ámsterdam: Louis y Daniel Elzevir. págs. 517–520.
10. MPEAS (seudónimo de Fermat) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geométrica. Toulouse: Arnaud Colomer.

Fuentes

• Farouki, Rida T. (1999). "Curvas a partir del movimiento, movimiento a partir de curvas". En Laurent, P.-J.; Sablonniere, P.; Schumaker, LL (eds.). Diseño de curvas y superficies: Saint-Malo 1999. Vanderbilt Univ. Press. págs. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

Enlaces externos

• "Curva rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La historia de la curvatura
• Weisstein, Eric W. "Longitud de arco". MathWorld .
• Longitud de arco por Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Guía de estudio de cálculo: longitud de arco (rectificación)
• Índice de curvas famosas Archivo de Historia de las matemáticas de MacTutor
• Aproximación de la longitud del arco por Chad Pierson, Josh Fritz y Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
• Experimento de longitud de una curva Ilustra la solución numérica para encontrar la longitud de una curva.