Primera forma fundamental

Producto interno de una superficie en 3D, inducido por el producto escalar

En geometría diferencial , la primera forma fundamental es el producto interno en el espacio tangente de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional que se induce canónicamente a partir del producto escalar de R ³ . Permite el cálculo de la curvatura y las propiedades métricas de una superficie, como la longitud y el área, de una manera coherente con el espacio ambiente . La primera forma fundamental se denota con el número romano I , $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}$$

Definición

Sea X ( u , v ) una superficie paramétrica . Entonces el producto interno de dos vectores tangentes es donde E , F y G son los coeficientes de la primera forma fundamental . $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$$

La primera forma fundamental puede representarse como una matriz simétrica . $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}$$

Notación adicional

Cuando la primera forma fundamental se escribe con un solo argumento, denota el producto interno de ese vector consigo mismo. $${\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}$$

La primera forma fundamental suele escribirse en la notación moderna del tensor métrico . Los coeficientes pueden escribirse entonces como g _ij : $${\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$$

Los componentes de este tensor se calculan como el producto escalar de los vectores tangentes X ₁ y X ₂ : para i , j = 1, 2 . Véase el ejemplo siguiente. $${\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle }$$

Cálculo de longitudes y áreas

La primera forma fundamental describe completamente las propiedades métricas de una superficie. Por lo tanto, permite calcular las longitudes de las curvas en la superficie y las áreas de las regiones en la superficie. El elemento de línea ds puede expresarse en términos de los coeficientes de la primera forma fundamental como $${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}$$

El elemento de área clásico dado por dA = | X _u × X _v | du dv se puede expresar en términos de la primera forma fundamental con la ayuda de la identidad de Lagrange , $${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

Ejemplo: curva en una esfera

Una curva esférica en la esfera unitaria en R ³ se puede parametrizar como Diferenciando X ( u , v ) con respecto a u y v se obtiene Los coeficientes de la primera forma fundamental se pueden encontrar tomando el producto escalar de las derivadas parciales . $${\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}}$$entonces: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Longitud de una curva en la esfera

El ecuador de la esfera unitaria es una curva parametrizada dada por donde t varía de 0 a 2 π . El elemento de línea puede utilizarse para calcular la longitud de esta curva. $${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }$$

Área de una región en la esfera

El elemento de área se puede utilizar para calcular el área de la esfera unitaria.

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_{0}^{\pi }=4\pi }$$

Curvatura gaussiana

La curvatura gaussiana de una superficie está dada por donde L , M y N son los coeficientes de la segunda forma fundamental . $${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$

El teorema egregium de Gauss establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede expresar únicamente en términos de la primera forma fundamental y sus derivadas, de modo que K es, de hecho, un invariante intrínseco de la superficie. La fórmula de Brioschi proporciona una expresión explícita de la curvatura gaussiana en términos de la primera forma fundamental .

Véase también

• Tensor métrico
• Segunda forma fundamental
• Tercera forma fundamental
• Una forma tautológica
• Matriz de Gram

Enlaces externos

• Primera forma fundamental — de Wolfram MathWorld