La ley de Snell

Fórmula para los ángulos de refracción.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios de diferentes índices de refracción , con n ₂ > n ₁ . Dado que la velocidad es menor en el segundo medio (v ₂ < v ₁ ), el ángulo de refracción θ ₂ es menor que el ángulo de incidencia θ ₁ ; es decir, el rayo en el medio de índice más alto está más cerca de lo normal.

La ley de Snell (también conocida como ley de Snell-Descartes , ley de Ibn-Sahl y ley de refracción ) es una fórmula utilizada para describir la relación entre los ángulos de incidencia y refracción , cuando se hace referencia a la luz u otras ondas que pasan a través de un Límite entre dos medios isotrópicos diferentes , como agua, vidrio o aire. En óptica, la ley se utiliza en el trazado de rayos para calcular los ángulos de incidencia o refracción, y en óptica experimental para encontrar el índice de refracción de un material. La ley también se cumple en los metamateriales , que permiten que la luz se doble "hacia atrás" en un ángulo de refracción negativo con un índice de refracción negativo .

La ley establece que, para un par de medios dado, la relación entre los senos del ángulo de incidencia ( ) y el ángulo de refracción ( ) es igual al índice de refracción del segundo medio con respecto al primero ( ) que es igual a la relación de los índices de refracción ( ) de los dos medios, o de manera equivalente, a la relación de las velocidades de fase ( ) en los dos medios. ^[1] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle n_{21}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{21}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$

La ley se deriva del principio de tiempo mínimo de Fermat , que a su vez se deriva de la propagación de la luz en forma de ondas. Esta ley se puede "probar" calculando el camino más rápido que puede tomar una luz a través de estos dos medios para llegar a un punto. A partir de este cálculo, podemos ver que la Ley de Snell es cierta.

Historia

Reproducción de una página del manuscrito de Ibn Sahl que muestra su descubrimiento de la ley de refracción.

Ptolomeo , en Alejandría , Egipto, ^[2] había encontrado una relación respecto a los ángulos de refracción, pero era inexacta para ángulos que no eran pequeños. Ptolomeo confiaba en haber encontrado una ley empírica precisa, en parte como resultado de alterar ligeramente sus datos para que se ajustaran a la teoría (ver: sesgo de confirmación ). ^[3]

Una visión de 1837 de la historia de "la ley de los senos" ^[4]

La ley finalmente recibió el nombre de Snell , aunque fue descubierta por primera vez por el científico persa Ibn Sahl , en la corte de Bagdad en 984. ^{[5] [6] [7]} En el manuscrito Sobre espejos y lentes ardientes , Sahl usó la ley para derivar Formas de lentes que enfocan la luz sin aberración geométrica . ^[8]

Alhazen , en su Libro de la Óptica (1021), estuvo a punto de redescubrir la ley de refracción, pero no dio este paso. ^[9]

La ley fue redescubierta por Thomas Harriot en 1602, ^[10] quien, sin embargo, no publicó sus resultados a pesar de haber mantenido correspondencia con Kepler sobre este mismo tema. En 1621, el astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580-1626) —Snell— derivó una forma matemáticamente equivalente, que permaneció inédita durante su vida. René Descartes derivó la ley de forma independiente utilizando argumentos heurísticos de conservación del momento en términos de senos en su ensayo Dioptrique de 1637 , y la utilizó para resolver una variedad de problemas ópticos. Rechazando la solución de Descartes, Pierre de Fermat llegó a la misma solución basándose únicamente en su principio del tiempo mínimo . Descartes asumió que la velocidad de la luz era infinita, pero al deducir la ley de Snell también asumió que cuanto más denso era el medio, mayor era la velocidad de la luz. Fermat apoyó los supuestos opuestos, es decir, la velocidad de la luz es finita y su derivación dependió de que la velocidad de la luz fuera más lenta en un medio más denso. ^{[11] [12]} La derivación de Fermat también utilizó su invención de la igualdad , un procedimiento matemático equivalente al cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos y tangentes. ^{[13] [14]}

En su influyente libro de matemáticas Geometría , Descartes resuelve un problema en el que trabajaron Apolonio de Perga y Pappo de Alejandría . Dadas n líneas L y un punto P(L) en cada línea, encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tales que las longitudes de los segmentos de línea QP(L) satisfagan ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando n = 4, dadas las rectas a, b, cyd y un punto A en a, B en b, etc., encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tales que el producto QA*QB sea igual al producto Control de calidad*QD. Cuando las líneas no son todas paralelas, Pappus demostró que los lugares geométricos son cónicas, pero cuando Descartes consideró n mayor, obtuvo curvas cúbicas y de mayor grado. Para demostrar que las curvas cúbicas eran interesantes, demostró que surgían naturalmente en óptica a partir de la ley de Snell. ^[15]

Según Dijksterhuis, ^[16] "En De natura lucis et proprietate (1662) Isaac Vossius dijo que Descartes había visto el artículo de Snell y había elaborado su propia prueba. Ahora sabemos que esta acusación es inmerecida, pero ha sido adoptada muchas veces desde entonces". Tanto Fermat como Huygens repitieron esta acusación de que Descartes había copiado a Snell. En francés , la Ley de Snell a veces se llama "la loi de Descartes" o más frecuentemente " loi de Snell-Descartes ".

La construcción de Christiaan Huygens

En su Traité de la Lumière de 1678 , Christiaan Huygens mostró cómo la ley de los senos de Snell podría explicarse o derivarse de la naturaleza ondulatoria de la luz, utilizando lo que hemos dado en llamar el principio de Huygens-Fresnel .

Con el desarrollo de la teoría óptica y electromagnética moderna, la antigua ley de Snell pasó a una nueva etapa. En 1962, Bloembergen demostró que en la frontera de un medio no lineal, la ley de Snell debería escribirse en forma general. ^[17] En 2008 y 2011, también se demostró que las metasuperficies plasmónicas cambian las direcciones de reflexión y refracción del haz de luz. ^{[18] [19]}

Explicación

La ley de Snell en un muro de Leiden

La ley de Snell se utiliza para determinar la dirección de los rayos de luz a través de medios refractivos con índices de refracción variables. Los índices de refracción de los medios, etiquetados como , etc., se utilizan para representar el factor por el cual la velocidad de un rayo de luz disminuye cuando viaja a través de un medio refractivo, como vidrio o agua, en comparación con su velocidad en el vacío. ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

A medida que la luz pasa el límite entre los medios, dependiendo de los índices de refracción relativos de los dos medios, la luz se refractará en un ángulo menor o mayor. Estos ángulos se miden con respecto a la recta normal , representada perpendicular al límite. En el caso de que la luz viaje del aire al agua, la luz se refractaría hacia la línea normal, porque la luz se ralentiza en el agua; la luz que viaja del agua al aire se refractaría alejándose de la línea normal.

La refracción entre dos superficies también se conoce como reversible porque si todas las condiciones fueran idénticas, los ángulos serían los mismos para la luz que se propaga en la dirección opuesta.

La ley de Snell generalmente es cierta sólo para medios isotrópicos o especulares (como el vidrio ). En medios anisotrópicos , como algunos cristales , la birrefringencia puede dividir el rayo refractado en dos rayos, el ordinario o rayo o que sigue la ley de Snell, y el otro extraordinario o rayo e que puede no ser coplanar con el rayo incidente.

Cuando la luz u otra onda involucrada es monocromática, es decir, de una sola frecuencia, la ley de Snell también se puede expresar en términos de una relación de longitudes de onda en los dos medios, y : ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$

Derivaciones y fórmula

Frentes de onda de una fuente puntual en el contexto de la ley de Snell. La región debajo de la línea gris tiene un índice de refracción más alto y una velocidad de la luz proporcionalmente menor que la región encima de ella.

La ley de Snell se puede derivar de varias formas.

Derivación del principio de Fermat

La ley de Snell se puede derivar del principio de Fermat , que establece que la luz recorre el camino que requiere el menor tiempo. Al tomar la derivada de la longitud del camino óptico , se encuentra el punto estacionario que da el camino recorrido por la luz. (Hay situaciones en las que la luz viola el principio de Fermat al no tomar el menor recorrido temporal, como en el reflejo en un espejo (esférico).) En una analogía clásica, el área de menor índice de refracción se reemplaza por una playa, el área de mayor índice de refracción índice junto al mar, y la forma más rápida para que un rescatista en la playa llegue a una persona que se está ahogando en el mar es correr por un camino que sigue la ley de Snell.

La luz del medio 1, punto Q, entra en el medio 2, se produce la refracción y finalmente la luz llega al punto P.

Como se muestra en la figura de la derecha, suponga que el índice de refracción del medio 1 y el medio 2 son y respectivamente. La luz ingresa al medio 2 desde el medio 1 a través del punto O. ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}}$es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción con respecto a la normal. ${\displaystyle \theta _{2}}$

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y el medio 2 son

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$y

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$respectivamente.

${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Sea T el tiempo necesario para que la luz viaje desde el punto Q, pasando por el punto O, hasta el punto P.

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}$

donde a, b, l y x son como se indican en la figura de la derecha, siendo x el parámetro variable.

Para minimizarlo se puede diferenciar:

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$(punto estacionario)

Tenga en cuenta que ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

y ${\displaystyle {\frac {l-x}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$

Derivación del principio de Huygens

Alternativamente, la ley de Snell se puede derivar utilizando la interferencia de todos los caminos posibles de la onda de luz desde la fuente al observador; da como resultado una interferencia destructiva en todas partes excepto en los extremos de fase (donde la interferencia es constructiva), que se convierten en caminos reales.

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

Otra forma de derivar la ley de Snell implica una aplicación de las condiciones de contorno generales de las ecuaciones de Maxwell para la radiación e inducción electromagnéticas .

Derivación de la conservación de la energía y el impulso.

Otra forma más de derivar la ley de Snell se basa en consideraciones de simetría de traducción. ^[20] Por ejemplo, una superficie homogénea perpendicular a la dirección z no puede cambiar el momento transversal. Dado que el vector de propagación es proporcional al momento del fotón, la dirección de propagación transversal debe permanecer igual en ambas regiones. Supongamos sin pérdida de generalidad un plano de incidencia en el plano . Utilizando la bien conocida dependencia del número de onda del índice de refracción del medio, derivamos inmediatamente la ley de Snell. ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$ ${\displaystyle z,x}$ ${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}}$

${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,}$

${\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}$

¿Dónde está el número de onda en el vacío? Aunque ninguna superficie es verdaderamente homogénea a escala atómica, la simetría traslacional total es una aproximación excelente siempre que la región sea homogénea en la escala de longitud de onda de la luz. ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$

forma vectorial

Dado un vector de luz normalizado (que apunta desde la fuente de luz hacia la superficie) y un vector normal plano normalizado , se pueden calcular los rayos reflejados y refractados normalizados, a través de los cosenos del ángulo de incidencia y el ángulo de refracción , sin utilizar explícitamente el valores de seno o cualquier función trigonométrica o ángulos: ^[21] ${\displaystyle {\vec {l}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

Nota: debe ser positivo, que lo será si es el vector normal que apunta desde la superficie hacia el lado de donde proviene la luz, la región con índice . Si es negativo, entonces apunta al lado sin luz, así que comience de nuevo reemplazándolo por su negativo. ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}$

Este vector de dirección reflejado apunta hacia el lado de la superficie de donde proviene la luz.

Ahora aplique la ley de Snell a la relación de senos para derivar la fórmula para el vector director del rayo refractado:

${\displaystyle \sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}}$

La fórmula puede parecer más simple en términos de valores simples renombrados y , evitando cualquier aparición de nombres de funciones trigonométricas o nombres de ángulos: ${\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}$ ${\displaystyle c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$

${\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}$

Los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.

La reflexión interna total se indica mediante un radicando negativo en la ecuación de , lo que solo puede ocurrir para rayos que cruzan hacia un medio menos denso ( ). ${\displaystyle \cos \theta _{2}}$ ${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$

Reflexión interna total y ángulo crítico.

Demostración de no refracción en ángulos mayores que el ángulo crítico

Cuando la luz viaja desde un medio con un índice de refracción más alto a uno con un índice de refracción más bajo, la ley de Snell parece requerir en algunos casos (siempre que el ángulo de incidencia sea lo suficientemente grande) que el seno del ángulo de refracción sea mayor que uno. Por supuesto, esto es imposible y, en tales casos, la luz se refleja completamente en el límite, un fenómeno conocido como reflexión interna total . El ángulo de incidencia más grande posible que todavía resulta en un rayo refractado se llama ángulo crítico ; en este caso el rayo refractado viaja a lo largo del límite entre los dos medios.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios.

Por ejemplo, considere un rayo de luz que se mueve del agua al aire con un ángulo de incidencia de 50°. Los índices de refracción del agua y del aire son aproximadamente 1,333 y 1, respectivamente, por lo que la ley de Snell nos da la relación

${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$

lo cual es imposible de satisfacer. El ángulo crítico θ _crit es el valor de θ ₁ para el cual θ ₂ es igual a 90°:

${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$

Dispersión

En muchos medios de propagación de ondas, la velocidad de las ondas cambia con la frecuencia o longitud de onda de las ondas; esto es cierto para la propagación de la luz en la mayoría de las sustancias transparentes distintas del vacío. Estos medios se llaman dispersivos. El resultado es que los ángulos determinados por la ley de Snell también dependen de la frecuencia o la longitud de onda, de modo que un rayo de longitudes de onda mixtas, como la luz blanca, se extenderá o dispersará. Esta dispersión de la luz en el vidrio o el agua es la base del origen del arco iris y otros fenómenos ópticos , en los que diferentes longitudes de onda aparecen como diferentes colores.

En los instrumentos ópticos, la dispersión conduce a una aberración cromática ; un desenfoque dependiente del color que a veces es el efecto limitante de la resolución. Esto era especialmente cierto en los telescopios refractores , antes de la invención de las lentes objetivas acromáticas .

Medios con pérdidas, absorbentes o conductores

En un medio conductor, la permitividad y el índice de refracción tienen valores complejos. En consecuencia, también lo son el ángulo de refracción y el vector de onda. Esto implica que, mientras que las superficies de fase real constante son planos cuyas normales forman un ángulo igual al ángulo de refracción con la interfaz normal, las superficies de amplitud constante, por el contrario, son planos paralelos a la propia interfaz. Como estos dos planos generalmente no coinciden entre sí, se dice que la onda es no homogénea. ^[22] La onda refractada se atenúa exponencialmente, con exponente proporcional a la componente imaginaria del índice de refracción. ^{[23] [24]}

Ver también

• Lista de índices de refracción
• El índice de refracción frente a la longitud de onda de la luz  : relación empírica entre el índice de refracción y la longitud de onda
• Onda evanescente  : tipo de campo donde el flujo neto de energía electromagnética es cero.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Reflexión (física)  : "rebote" de ondas en una interfaz
• Ventana de Snell  : fenómeno submarino debido a la ley de Snell
• Cálculo de variaciones  – Cálculo diferencial en espacios funcionales
• Curva braquistocrona  : descenso de curva más rápido sin fricción para una prueba sencilla de Jacob Bernoulli
• Óptica hamiltoniana
• Cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera.
• Ecuación interferométrica de rendija N

Referencias

1. Nacido y lobo (1959). Principios de la Óptica . Nueva York, NY: Pergamon Press INC. p. 37.
2. David Michael Harland (2007). " Cassini en Saturno: resultados de Huygens ". pág.1. ISBN 0-387-26129-X 
3. "Ptolomeo (ca. 100-ca. 170)". El mundo de la biografía científica de Eric Weinstein .
4. William Whewell, Historia de la ciencia inductiva desde los inicios hasta la actualidad , Londres: John H. Parker, 1837.
5. Papadopoulos, Athanase (2017). "Roshdi Rashed, historiador de las matemáticas griegas y árabes". HAL Ciencia Abierta . pag. 12.hal-01653436.
6. Mourad Zghal; Hamid-Eddine Bouali; Zohra Ben Lakhdar; Habib Hamam. "Los primeros pasos para aprender óptica: los trabajos de Ibn Sahl, Al-Haytham y Young sobre refracción como ejemplos típicos" (PDF) . R. Rashed le dio crédito a Ibn Sahl por haber descubierto la ley de refracción [23], generalmente llamada ley de Snell y también ley de Snell y Descartes.
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8. Erupción, Roshdi (1990). "Un pionero en anaclásticos: Ibn Sahl sobre espejos y lentes quemados". Isis . 81 (3): 464–491. doi :10.1086/355456. S2CID  144361526.^{[ disputado ] [ se necesita aclaración ]}
9. AI Sabra (1981), Teorías de la luz de Descartes a Newton , Cambridge University Press . ( cf. Pavlos Mihas, Uso de la historia en el desarrollo de ideas sobre refracción, lentes y arco iris, p. 5, Universidad Demokritus, Tracia , Grecia ).
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13. Carl Benjamin Boyer , El arcoíris: del mito a las matemáticas (1959)
14. Florian Cajori , "¿Quién fue el primer inventor del cálculo?" The American Mathematical Monthly (1919) Vol.26
15. La geometría de René Descartes (Dover Books on Mathematics) de René Descartes, David Eugene Smith y Marcia L. Latham (1 de junio de 1954).
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18. Xu, T.; et al. (2008). "Deflector plasmónico". Optar. Expresar . 16 (7): 4753–9. Código Bib : 2008OExpr..16.4753X. doi : 10.1364/oe.16.004753 . PMID  18542573.
19. Yu, Nanfang; Genevet, Patrice; Kats, Mijaíl A.; Aieta, Francisco; Tétienne, Jean-Philippe; Capasso, Federico; Gaburro, Zenón (octubre de 2011). "Propagación de la luz con discontinuidades de fase: leyes generalizadas de reflexión y refracción". Ciencia . 334 (6054): 333–7. Código Bib : 2011 Ciencia... 334.. 333Y. doi : 10.1126/ciencia.1210713 . PMID  21885733. S2CID  10156200.
20. Joannopoulos, John D; Johnson, SG; Winn, JN; Meade, RD (2008). Cristales fotónicos: moldeando el flujo de luz (2ª ed.). Princeton Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 31.ISBN​ 978-0-691-12456-8.
21. Glassner, Andrew S. (1989). Introducción al trazado de rayos. Morgan Kaufman. ISBN 0-12-286160-4.
22. Born and Wolf, sección 13.2, "Refracción y reflexión en una superficie metálica"
23. Hecht, Óptica , sec. 4.8, Propiedades ópticas de los metales.
24. SJ Orfanidis, Ondas y antenas electromagnéticas , sec. 7.9, Incidencia oblicua en un medio con pérdidas, [1]

enlaces externos

• Ibn Sahl y la ley de Snell
• Descubrimiento de la ley de refracción.
• Ley de refracción de Snell (frentes de onda) por Todd Rowland, Proyecto de demostraciones Wolfram
• La ley de Snell en un muro en el centro de Leiden Archivado el 27 de abril de 2018 en la Wayback Machine.
• Efecto de línea costera