Ecuación interferométrica de rendija N

Ecuación

La mecánica cuántica fue aplicada por primera vez a la óptica , y a la interferencia en particular, por Paul Dirac . ^[1] Richard Feynman , en sus Lectures on Physics , utiliza la notación de Dirac para describir experimentos mentales sobre la interferencia de electrones por doble rendija . ^[2] Frank Duarte amplió el enfoque de Feynman a interferómetros de rendija N para iluminación de fotón único o iluminación láser de ancho de línea estrecho , es decir, iluminación mediante fotones indistinguibles . ^{[3] [4]} El interferómetro de rendija N se aplicó por primera vez en la generación y medición de patrones de interferencia complejos . ^{[3] [4]}

En este artículo se describe la ecuación interferométrica generalizada de N -rendijas, derivada mediante la notación de Dirac. Aunque originalmente se derivó para reproducir y predecir interferogramas de N -rendijas, ^{[3] [4]} esta ecuación también tiene aplicaciones en otras áreas de la óptica.

Amplitudes de probabilidad y la ecuación interferométrica de N -rendija

Esquemas de vista superior del interferómetro de rendija N que indican la posición de los planos s , j y x . La matriz de N rendijas, o rejilla, está colocada en j . La distancia intrainterferométrica puede alcanzar varios cientos de metros. TBE es un expansor de haz telescópico, MPBE es un expansor de haz de prismas múltiples .

En este enfoque, la amplitud de probabilidad para la propagación de un fotón desde una fuente s a un plano de interferencia x , a través de una serie de rendijas j , se da utilizando la notación de soporte de Dirac como ^[3]

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{\mathbb {N} }\langle x|j\rangle \langle j|s\rangle }$

Esta ecuación representa la amplitud de probabilidad de un fotón que se propaga de s a x a través de una serie de j rendijas. Usando una representación de función de onda para amplitudes de probabilidad, ^[1] y definiendo las amplitudes de probabilidad como ^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j|s\rangle &=\Psi \left(r_{j,s}\right)e^{-i\theta _{j}}\\\langle x|j\rangle &=\Psi \left(r_{x,j}\right)e^{-i\phi _{j}}\end{aligned}}}$

donde θ _j y Φ _j son los ángulos de fase de incidencia y difracción, respectivamente. Por lo tanto, la amplitud de probabilidad general se puede reescribir como

${\displaystyle \langle x|s\rangle =\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)e^{-i\Omega _{j}}}$

dónde

${\displaystyle \Psi \left(r_{j}\right)=\Psi \left(r_{x,j}\right)\Psi \left(r_{j,s}\right)}$

y

${\displaystyle \Omega _{j}=\theta _{j}+\phi _{j}}$

después de algo de álgebra, la probabilidad correspondiente se convierte en ^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\big |}\langle x|s\rangle {\big |}^{2}=\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)^{2}+2\sum _{j=1}^{N}\Psi \left(r_{j}\right)\left(\sum _{m=j+1}^{N}\Psi \left(r_{m}\right)\cos \left(\Omega _{m}-\Omega _{j}\right)\right)}$

donde N es el número total de rendijas en la matriz, o rejilla de transmisión, y el término entre paréntesis representa la fase que está directamente relacionada con las diferencias de ruta exactas derivadas de la geometría de la matriz de N rendijas ( j ), la intrainterferometría distancia y el plano interferométrico x . ^[5] En su versión más simple, el término de fase se puede relacionar con la geometría usando

${\displaystyle \cos(\Omega _{m}-\Omega _{j})=\cos k|L_{m}-L_{m-1}|}$

donde k es el número de onda , y L _m y L _{m − 1} representan las diferencias de trayectoria exactas. Aquí la ecuación interferométrica de Dirac – Duarte (DD) es una distribución de probabilidad que está relacionada con la distribución de intensidad medida experimentalmente. ^[6] Los cálculos se realizan numéricamente. ^[5]

La ecuación interferométrica DD se aplica a la propagación de un solo fotón, o la propagación de un conjunto de fotones indistinguibles, y permite la predicción precisa de patrones interferométricos de N rendijas medidos continuamente desde el campo cercano al lejano. ^{[5] [6]} Se ha demostrado que los interferogramas generados con esta ecuación se comparan bien con los interferogramas medidos tanto para valores pares ( N = 2, 4, 6... ) como impares ( N = 3, 5, 7... ). de N de 2 a 1600. ^{[5] [7]}

Aplicaciones

A nivel práctico, la ecuación interferométrica de N -rendija se introdujo para aplicaciones de imágenes ^[5] y se aplica de forma rutinaria para predecir interferogramas láser de N -rendija, tanto en el campo cercano como en el lejano. Por lo tanto, se ha convertido en una herramienta valiosa en la alineación de interferómetros láser de rendija N grandes y muy grandes ^{[8] [9]} utilizados en el estudio de la turbulencia del aire claro y la propagación de caracteres interferométricos para comunicaciones láser seguras en el espacio . Otras aplicaciones analíticas se describen a continuación.

Interferograma para N = 3 rendijas con patrón de difracción superpuesto en el ala exterior derecha. ^[9]

Difracción y refracción generalizadas.

La ecuación interferométrica de N -rendija se ha aplicado para describir fenómenos clásicos como la interferencia , la difracción , la refracción ( ley de Snell ) y la reflexión , en un enfoque racional y unificado, utilizando principios de la mecánica cuántica. ^{[7] [10]} En particular, este enfoque interferométrico se ha utilizado para derivar ecuaciones de refracción generalizadas para la refracción positiva y negativa , ^[11] proporcionando así un vínculo claro entre la teoría de la difracción y la refracción generalizada. ^[11]

Del término de fase, de la ecuación interferométrica, la expresión

${\displaystyle d_{m}\left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)=M\pi }$

se puede obtener, donde M = 0, 2, 4... .

Para n ₁ = n ₂ , esta ecuación se puede escribir como ^{[7] [10]}

${\displaystyle d_{m}\left(\pm \sin {\theta _{m}}\pm \sin {\phi _{m}}\right)=m\lambda }$

que es la ecuación de red de difracción generalizada . Aquí, θ _m es el ángulo de incidencia, φ _m es el ángulo de difracción, λ es la longitud de onda y m = 0, 1, 2... es el orden de difracción.

Bajo ciertas condiciones, d _m ≪ λ , que pueden obtenerse fácilmente experimentalmente, el término de fase se convierte en ^{[7] [10]}

${\displaystyle \left(\pm n_{1}\sin {\theta _{m}}\pm n_{2}\sin {\phi _{m}}\right)=0}$

que es la ecuación de refracción generalizada, ^[11] donde θ _m es el ángulo de incidencia y φ _m ahora se convierte en el ángulo de refracción.

Ecuación del ancho de línea de la cavidad

Además, se ha aplicado la ecuación interferométrica de N rendija para derivar la ecuación de ancho de línea de la cavidad aplicable a osciladores dispersivos, como los osciladores láser de rejilla de prismas múltiples : ^[12]

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\frac {\partial \Theta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}}$

En esta ecuación, Δ θ es la divergencia del haz y la dispersión angular total intracavidad es la cantidad entre paréntesis.

Imágenes por transformada de Fourier

Los investigadores que trabajan en imágenes de fantasmas mediante transformada de Fourier consideran la ecuación interferométrica de rendija N ^{[3] [5] [10]} como una vía para investigar la naturaleza cuántica de las imágenes de fantasmas. ^[13] Además, el enfoque interferométrico de N -rendija es uno de varios enfoques aplicados para describir fenómenos ópticos básicos de una manera cohesiva y unificada. ^[14]

Nota: dadas las diversas terminologías en uso, para la interferometría de N rendijas, debe quedar explícito que la ecuación interferométrica de N rendijas se aplica a la interferencia de dos rendijas, la interferencia de tres rendijas, la interferencia de cuatro rendijas, etc.

Entrelazamiento cuántico

Los principios de Dirac y la metodología probabilística utilizados para derivar la ecuación interferométrica de rendija N también se han utilizado para derivar la amplitud de probabilidad de entrelazamiento cuántico de polarización ^[15]

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|x\right\rangle _{1}\left|y\right\rangle _{2}-\left|y\right\rangle _{1}\left|x\right\rangle _{2}{\bigr )}}$

y las amplitudes de probabilidad correspondientes que representan la propagación de múltiples pares de cuantos. ^[dieciséis]

Comparación con métodos clásicos.

Travis S. Taylor et al . han realizado una comparación del enfoque de Dirac con los métodos clásicos en la realización de cálculos interferométricos. ^[17] Estos autores concluyeron que la ecuación interferométrica, derivada mediante el formalismo de Dirac, era ventajosa en el campo muy cercano.

Algunas diferencias entre la ecuación interferométrica DD y los formalismos clásicos se pueden resumir de la siguiente manera:

• El enfoque clásico de Fresnel se utiliza para aplicaciones de campo cercano y el enfoque clásico de Fraunhofer se utiliza para aplicaciones de campo lejano. Esa división no es necesaria cuando se utiliza el enfoque interferométrico DD ya que este formalismo se aplica tanto al caso de campo cercano como al de campo lejano. ^[5]
• El enfoque Fraunhofer funciona para la iluminación de ondas planas. ^[18] El enfoque DD funciona tanto para iluminación de ondas planas como para patrones de iluminación altamente difractivos. ^[5]
• La ecuación interferométrica DD es de carácter estadístico. Este no es el caso de las formulaciones clásicas.

Hasta ahora no se ha publicado ninguna comparación con enfoques clásicos más generales basados ​​en el principio de Huygens-Fresnel o la fórmula de difracción de Kirchhoff .

Ver también

• Expansor de haz
• notación de Dirac
• Difracción de Fraunhofer (matemáticas)
• Comunicaciones ópticas en espacio libre.
• Ecuación de rejilla
• Comunicación láser en el espacio.
• Ancho de línea láser
• Teoría de la dispersión de prismas múltiples
• Interferómetro de rendija N

Referencias

1. Dirac, PAM (1978). Los principios de la mecánica cuántica (4ª ed.). Londres: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-851208-0.^{[ página necesaria ]}
2. Feynman, RP ; Leighton, RB; Arenas, M. (1965). Las conferencias Feynman sobre física . vol. III. Lectura: Addison Wesley .^{[ página necesaria ]}
3. Duarte, FJ ; Paine, DJ (1989). Tamaño, RC; Duarte, FJ (eds.). "Descripción de la mecánica cuántica de los fenómenos de interferencia de la rendija N ". Láseres '88; Actas de la Conferencia Internacional . McLean, VA: STS: 42–47. Código Bib : 1989lase.conf...42D.
4. Duarte, FJ (1991). "Capítulo 2. Láseres de tintes dispersivos". En Duarte, FJ (ed.). Láseres de tinte de alta potencia . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54066-3.
5. Duarte, FJ (1993). "Sobre una ecuación de interferencia generalizada y medidas interferométricas". Optar. Comunitario . 103 (1–2): 8–14. Código Bib : 1993OptCo.103....8D. doi :10.1016/0030-4018(93)90634-H.
6. Duarte, FJ (2004). "Comentario sobre 'Reflexión, refracción e interferencia multirendija'". Eur. J. Phys . 25 (5): L57–L58. Bibcode :2004EJPh...25L..57D. doi :10.1088/0143-0807/25/5/L04. S2CID  250829486.
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8. Duarte, FJ; Taylor, TS; Clark, AB; Davenport, NOSOTROS (2010). "El interferómetro de rendija N : una configuración extendida". J. Optar . 12 (1): 015705. Código bibliográfico : 2010JOpt...12a5705D. doi :10.1088/2040-8978/12/1/015705. S2CID  121521124.
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