principio de fermat

El principio de Fermat , también conocido como principio del tiempo mínimo , es el vínculo entre la óptica de rayos y la óptica de ondas . El principio de Fermat establece que el camino que sigue un rayo entre dos puntos dados es el camino que puede recorrer en el menor tiempo.

Propuesto por primera vez por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, como medio para explicar la ley ordinaria de refracción de la luz (Fig. 1), el principio de Fermat fue inicialmente controvertido porque parecía atribuir conocimiento e intención a la naturaleza. No fue hasta el siglo XIX que se entendió que la capacidad de la naturaleza para probar caminos alternativos es simplemente una propiedad fundamental de las ondas. ^[1] Si se dan los puntos A y B , un frente de onda que se expande desde A barre todas las trayectorias posibles de los rayos que irradian desde A , ya sea que pasen por B o no. Si el frente de onda alcanza el punto B , barre no sólo la (s) trayectoria(s) del rayo de A a B , sino también una infinidad de trayectorias cercanas con los mismos puntos finales. El principio de Fermat describe cualquier rayo que llega al punto B ; no hay ninguna implicación de que el rayo "conociera" el camino más rápido o "pretendiera" tomar ese camino.

En su forma original "fuerte", ^[2] el principio de Fermat establece que el camino seguido por un rayo entre dos puntos dados es el camino que se puede recorrer en el menor tiempo. Para que sea cierta en todos los casos, esta afirmación debe debilitarse reemplazando el tiempo "mínimo" por un tiempo que sea " estacionario " con respecto a las variaciones de la trayectoria, de modo que una desviación en la trayectoria provoque, como máximo, una cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. Para decirlo en términos generales, la trayectoria de un rayo está rodeada de trayectorias cercanas que pueden atravesarse en tiempos muy cercanos. Se puede demostrar que esta definición técnica corresponde a nociones más intuitivas de un rayo, como una línea de visión o la trayectoria de un haz estrecho .

Para comparar los tiempos de recorrido, el tiempo desde un punto hasta el siguiente punto designado se toma como si el primer punto fuera una fuente puntual . ^[3] Sin esta condición, el tiempo de recorrido sería ambiguo; por ejemplo, si el tiempo de propagación de $P$ a $P'$ se calculara a partir de un frente de onda arbitrario W que contenga $P$ (Fig. 2), ese tiempo podría hacerse arbitrariamente pequeño inclinando adecuadamente el frente de onda.

Tratar un punto del camino como fuente es el requisito mínimo del principio de Huygens y es parte de la explicación del principio de Fermat. Pero también se puede demostrar que la construcción geométrica mediante la cual Huygens intentó aplicar su propio principio (a diferencia del principio mismo) es simplemente una invocación del principio de Fermat. ^[4] Por lo tanto, todas las conclusiones que Huygens extrajo de esa construcción –incluidas, entre otras, las leyes de la propagación rectilínea de la luz, la reflexión ordinaria, la refracción ordinaria y la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita)- son también consecuencias de El principio de Fermat.

Derivación

Condiciones suficientes

Supongamos que:

Una perturbación se propaga secuencialmente a través de un medio (un vacío o algún material, no necesariamente homogéneo o isotrópico ), sin acción a distancia ;
Durante la propagación, la influencia de la perturbación en cualquier punto intermedio P sobre los puntos circundantes tiene una extensión angular distinta de cero (como si P fuera una fuente), de modo que una perturbación que se origina en cualquier punto A llega a cualquier otro punto B a través de una infinitud. de caminos, por los cuales B recibe una infinidad de versiones retardadas de la perturbación en A ; ^{[Nota 1]} y
Estas versiones retrasadas de la perturbación se reforzarán entre sí en B si se sincronizan dentro de cierta tolerancia.

Entonces, los distintos caminos de propagación de A a B se ayudarán mutuamente, o interferirán constructivamente, si sus tiempos de recorrido coinciden dentro de dicha tolerancia. Para una tolerancia pequeña (en el caso límite), el rango permisible de variaciones de la trayectoria se maximiza si la trayectoria es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación de la trayectoria provoca como máximo un segundo. -cambio de orden en el tiempo de recorrido. ^[5]

El ejemplo más obvio de estacionariedad en el tiempo transversal es un mínimo (local o global), es decir, un camino de tiempo mínimo , como en la forma "fuerte" del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento. ^{[Nota 2]}

Habiendo establecido que un camino de tiempo transversal estacionario se ve reforzado por un corredor de caminos vecinos de máxima amplitud, todavía necesitamos explicar cómo este refuerzo corresponde a las nociones intuitivas de un rayo. Pero, para ser breves en las explicaciones, definamos primero la trayectoria de un rayo como una trayectoria de tiempo transversal estacionario.

Un rayo como camino de señal (línea de visión)

Si el corredor de caminos que refuerzan la trayectoria de un rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto alterará significativamente la perturbación que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de cualquiera de esos corredores, que bloquea caminos que no se refuerzan entre sí. La primera obstrucción perturbará significativamente la señal que llega a B desde A , mientras que la segunda no; por tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de señal . Si la señal es luz visible, la primera obstrucción afectará significativamente la apariencia de un objeto en A tal como lo ve un observador en B , mientras que la segunda no; entonces la trayectoria del rayo marca una línea de visión .

En experimentos ópticos, se supone habitualmente que una línea de visión es la trayectoria de un rayo. ^[6]

Un rayo como camino de energía (haz)

Si el corredor de trayectorias que refuerza la trayectoria del rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto afectará significativamente la energía ^{[Nota 3]} que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de dicho corredor. Así, la trayectoria del rayo marca un camino de energía , al igual que un rayo.

Supongamos que un frente de onda que se expande desde el punto A pasa por el punto P , que se encuentra en la trayectoria de un rayo desde el punto A hasta el punto B. Por definición, todos los puntos del frente de onda tienen el mismo tiempo de propagación desde A. Ahora supongamos que el frente de onda esté bloqueado excepto por una ventana, centrada en P y lo suficientemente pequeña como para quedar dentro del corredor de trayectorias que refuerzan la trayectoria del rayo de A a B. Entonces, todos los puntos en la porción no obstruida del frente de onda tendrán tiempos de propagación, casi iguales, a B , pero no a puntos en otras direcciones, de modo que B estará en la dirección de intensidad máxima del haz admitido a través de la ventana. ^[7] Entonces, la trayectoria del rayo marca el haz. Y en los experimentos ópticos, un haz se considera habitualmente como un conjunto de rayos o (si es estrecho) como una aproximación a un rayo (Fig. 3). ^[8]

Analogías

Según la forma "fuerte" del principio de Fermat, el problema de encontrar la trayectoria de un rayo de luz desde el punto A , en un medio de propagación más rápida, hasta el punto B , en un medio de propagación más lenta (Fig. 1), es análogo al Problema al que se enfrenta un salvavidas a la hora de decidir por dónde entrar al agua para llegar lo antes posible a un nadador que se está ahogando, dado que el salvavidas puede correr más rápido que nadar. ^[9] Pero esa analogía no llega a explicar el comportamiento de la luz, porque el salvavidas puede pensar en el problema (aunque sea por un instante) mientras que la luz presumiblemente no puede. El descubrimiento de que las hormigas son capaces de realizar cálculos similares ^[10] no cierra la brecha entre lo animado y lo inanimado.

Por el contrario, los supuestos anteriores (1) a (3) son válidos para cualquier perturbación ondulatoria y explican el principio de Fermat en términos puramente mecanicistas , sin ninguna imputación de conocimiento o propósito.

El principio se aplica a las ondas en general, incluidas (por ejemplo) las ondas sonoras en fluidos y las ondas elásticas en sólidos. ^[11] En una forma modificada, incluso funciona para ondas de materia : en mecánica cuántica , la trayectoria clásica de una partícula se puede obtener aplicando el principio de Fermat a la onda asociada, excepto que, debido a que la frecuencia puede variar con la trayectoria, la estacionariedad está en el cambio de fase (o número de ciclos) y no necesariamente en el tiempo. ^[12]^[13]

Sin embargo, el principio de Fermat es más conocido en el caso de la luz visible : es el vínculo entre la óptica geométrica , que describe ciertos fenómenos ópticos en términos de rayos , y la teoría ondulatoria de la luz , que explica los mismos fenómenos basándose en la hipótesis de que la luz está formado por ondas .

Equivalencia a la construcción de Huygens

**Fig. 4** : Dos iteraciones de la construcción de Huygens. En la primera iteración, el frente de onda posterior $W'$ se deriva del frente de onda anterior $W$ tomando la envolvente de todos los frentes de onda secundarios (arcos grises) que se expanden en un tiempo dado desde todos los puntos (por ejemplo, P $)$ en $W.$ Las flechas muestran las direcciones de los rayos.

En este artículo distinguimos entre el principio de Huygens , que establece que todo punto atravesado por una onda viajera se convierte en fuente de una onda secundaria, y la construcción de Huygens , que se describe a continuación.

Sea la superficie $W$ un frente de onda en el instante $t$ , y sea la superficie $W'$ el mismo frente de onda en el instante posterior $t + Δ t$ (Fig. 4). Sea $P$ un punto general en $W.$ Entonces, según la construcción de Huygens, ^[14]

$W'$ es la envolvente (superficie tangente común), en el lado delantero de $W$ , de todos los frentes de onda secundarios, cada uno de los cuales se expandiría en el tiempo $Δ t$ desde un punto en $W$ , y
Si el frente de onda secundario que se expande desde el punto $P$ en el tiempo $Δ t$ toca la superficie $W'$ en el punto $P'$ , entonces $P$ y $P'$ se encuentran en un rayo .

La construcción puede repetirse para encontrar posiciones sucesivas del frente de onda primario y puntos sucesivos del rayo.

La dirección del rayo dada por esta construcción es la dirección radial del frente de onda secundario, ^[15] y puede diferir de la normal del frente de onda secundario (cf. Fig. 2) y, por lo tanto, de la normal del frente de onda primario en el punto de tangencia. Por tanto, la velocidad del rayo , en magnitud y dirección, es la velocidad radial de un frente de onda secundario infinitesimal y generalmente es función de la ubicación y la dirección. ^[dieciséis]

Ahora sea $Q$ un punto en $W$ cercano a $P$ , y sea $Q'$ un punto en $W'$ cercano a $P'$ . Luego, por la construcción,

el tiempo que tarda un frente de onda secundario desde $P$ en llegar a $Q'$ tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento $P'Q'$ , y
el tiempo que tarda un frente de onda secundario en llegar $a P'$ desde $Q$ tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento $PQ$ .

Por (i), la trayectoria del rayo es una trayectoria de tiempo transversal estacionario de $P$ a $W'$ ; ^[17] y por (ii), es un camino de tiempo transversal estacionario desde un punto en $W$ hasta $P'$ . ^[18]

Así, la construcción de Huygens define implícitamente la trayectoria de un rayo como una trayectoria de tiempo transversal estacionario entre posiciones sucesivas de un frente de onda , contándose el tiempo a partir de una fuente puntual en el frente de onda anterior. ^{[Nota 4]} Esta conclusión sigue siendo válida si los frentes de onda secundarios son reflejados o refractados por superficies de discontinuidad en las propiedades del medio, siempre que la comparación se limite a las trayectorias afectadas y las porciones afectadas de los frentes de onda. ^{[Nota 5]}

El principio de Fermat, sin embargo, se expresa convencionalmente en términos de punto a punto , no de frente de onda a frente de onda. En consecuencia, modifiquemos el ejemplo suponiendo que el frente de onda que se convierte en superficie $W$ en el momento $t$ , y que se convierte en superficie $W'$ en el momento posterior $t + Δ t$ , se emite desde el punto $A$ en el momento $0$ . Sea $P$ un punto en $W$ (como antes) y $B$ un punto en $W'$ . Y sean dados $A$ , $W$ , $W'$ y $B$ , de modo que el problema sea encontrar $P.$

Si $P$ satisface la construcción de Huygens, de modo que el frente de onda secundario de P $es$ tangencial a $W'$ en $B$ , entonces $PB$ es una trayectoria de tiempo transversal estacionario de $W$ a $B.$ Sumando el tiempo fijo de $A$ a $W$ , encontramos que $APB$ es el camino del tiempo transversal estacionario de $A$ a $B$ (posiblemente con un dominio de comparación restringido, como se señaló anteriormente), de acuerdo con el principio de Fermat. El argumento funciona igual de bien en la dirección inversa, siempre que $W'$ tenga un plano tangente bien definido en $B$ . Por tanto, la construcción de Huygens y el principio de Fermat son geométricamente equivalentes. ^[19]^{[Nota 6]}

A través de esta equivalencia, el principio de Fermat sustenta la construcción de Huygens y de ahí todas las conclusiones que Huygens pudo extraer de esa construcción. En resumen: "Las leyes de la óptica geométrica pueden derivarse del principio de Fermat". ^[20] Con la excepción del propio principio de Fermat-Huygens, estas leyes son casos especiales en el sentido de que dependen de suposiciones adicionales sobre los medios. Dos de ellos se mencionan en el siguiente título.

Casos especiales

Medios isotrópicos: rayos normales a los frentes de onda.

En un medio isotrópico, debido a que la velocidad de propagación es independiente de la dirección, los frentes de onda secundarios que se expanden desde puntos en un frente de onda primario en un tiempo infinitesimal dado son esféricos, ^[16] de modo que sus radios son normales a su superficie tangente común en los puntos de tangencia. Pero sus radios marcan las direcciones de los rayos y su superficie tangente común es un frente de onda general. Por tanto, los rayos son normales (ortogonales) a los frentes de onda. ^[21]

Debido a que gran parte de la enseñanza de la óptica se concentra en medios isotrópicos, tratando los medios anisotrópicos como un tema opcional, la suposición de que los rayos son normales a los frentes de onda puede volverse tan generalizada que incluso el principio de Fermat se explica bajo esa suposición, aunque en realidad el principio de Fermat es mas general. ^[22]

Medios homogéneos: propagación rectilínea

En un medio homogéneo (también llamado medio uniforme ), todos los frentes de onda secundarios que se expanden desde un frente de onda primario dado $W$ en un tiempo dado $Δ t$ son congruentes y están orientados de manera similar, de modo que su envolvente $W'$ puede considerarse como la envolvente de un frente de onda secundario único que conserva su orientación mientras su centro (fuente) se mueve sobre $W.$ Si $P$ es su centro mientras que $P'$ es su punto de tangencia con $W'$ , entonces $P'$ se mueve paralelo a $P$ , de modo que el plano tangencial a $W'$ en $P'$ es paralelo al plano tangencial a $W$ en $P.$ Supongamos que otro frente de onda secundario (congruente y orientado de manera similar) esté centrado en $P'$ , moviéndose con $P$ , y deje que encuentre su envolvente $W″$ en el punto $P″$ . Entonces, por el mismo razonamiento, el plano tangencial a $W''$ en $P''$ es paralelo a los otros dos planos. Por lo tanto, debido a la congruencia y orientaciones similares, las direcciones de los rayos $PP'$ y $P'P″$ son las mismas (pero no necesariamente normales a los frentes de onda, ya que los frentes de onda secundarios no son necesariamente esféricos). Esta construcción se puede repetir cualquier número de veces, dando un rayo recto de cualquier longitud. Así, un medio homogéneo admite rayos rectilíneos. ^[23]

versión moderna

Formulación en términos de índice de refracción.

Sea un camino $Γ$ que se extienda desde el punto $A$ hasta el punto $B.$ Sea $s$ la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria desde $A$ , y sea $t$ el tiempo necesario para recorrer esa longitud de arco a la velocidad del rayo (es decir, a la velocidad radial del frente de onda secundario local, para cada ubicación y dirección en el camino). Entonces el tiempo de recorrido de todo el camino $Γ$ es $v_{\mathrm {r} }$

(donde $A$ y $B$ simplemente denotan los puntos finales y no deben interpretarse como valores de $t$ o $s$ ). La condición para que $Γ$ sea una trayectoria de rayo es que el cambio de primer orden en $T$ debido a un cambio en $Γ$ sea cero; eso es,

\delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\, .

Ahora definamos la longitud óptica de un camino dado ( longitud del camino óptico , OPL ) como la distancia recorrida por un rayo en un medio de referencia isotrópico homogéneo (por ejemplo, un vacío) en el mismo tiempo que lleva recorrer el camino dado en la velocidad del rayo local. ^[24] Entonces, si $c$ denota la velocidad de propagación en el medio de referencia (por ejemplo, la velocidad de la luz en el vacío), la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo $dt$ es $dS = c dt$ , y la longitud óptica de un camino recorrido en el tiempo $T$ es $S = cT$ . Entonces, multiplicando la ecuación (1) por $c$ , obtenemos

S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r } }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,

índice del rayoíndice de refraccióndel rayovelocidad de fase^[25]geométrica teórica

Γ

\,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,

dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,

Esto tiene la forma del principio de Maupertuis en la mecánica clásica (para una sola partícula), donde el índice del rayo en óptica asume el papel del impulso o la velocidad en mecánica. ^[26]

En un medio isotrópico, para el cual la velocidad del rayo es también la velocidad de fase, ^{[Nota 7]} podemos sustituir $n$ $r$ por el índice de refracción habitual $n$ . ^[27]^[28]

Relación con el principio de Hamilton

Si $x$ , $y$ , $z$ son coordenadas cartesianas y un punto superior denota diferenciación con respecto a $s$ , se puede escribir el principio de Fermat (2) ^[29]

{\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy ^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot { x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}

n r

n (x, y, z)

campo escalarLagrangiano óptico ^[30]

L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\, {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,

^[31]

\delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,.

z

s

z

s

^[32]

L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n( x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,

\delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z), {\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.

principio de Hamilton^[33]la óptica lagrangiana y hamiltoniana^[34]

Historia

Si un rayo sigue una línea recta, obviamente toma el camino de menor longitud . Héroe de Alejandría , en su Catoptrics (siglo I d.C.), demostró que la ley ordinaria de la reflexión sobre una superficie plana se deriva de la premisa de que la longitud total de la trayectoria del rayo es mínima. ^[35] Ibn al-Haytham , un erudito del siglo XI, extendió más tarde este principio a la refracción, dando así una versión temprana del principio de Fermat. ^[36]^[37]^[38]

Fermat contra los cartesianos

En 1657, Pierre de Fermat recibió de Marin Cureau de la Chambre una copia de un tratado recién publicado, en el que La Chambre señalaba el principio de Hero y se quejaba de que no funcionaba para la refracción. ^[40]

Fermat respondió que la refracción podría llevarse al mismo marco suponiendo que la luz toma el camino de menor resistencia y que diferentes medios ofrecen diferentes resistencias. Su solución final, descrita en una carta a La Chambre fechada el 1 de enero de 1662, interpretó la "resistencia" como inversamente proporcional a la velocidad, de modo que la luz tomó el camino más corto . Esa premisa dio como resultado la ley ordinaria de refracción, siempre que la luz viajara más lentamente en el medio ópticamente más denso. ^[41]^{[Nota 8]}

La solución de Fermat fue un hito porque unificó las entonces conocidas leyes de la óptica geométrica bajo un principio variacional o principio de acción , sentando el precedente para el principio de mínima acción en la mecánica clásica y los principios correspondientes en otros campos (ver Historia de los principios variacionales). en física ). ^[42] Fue más notable porque utilizó el método de la adecuación , que puede entenderse en retrospectiva como encontrar el punto donde la pendiente de una cuerda infinitamente corta es cero, ^[43] sin el paso intermedio de encontrar una expresión general para la pendiente (la derivada ).

También fue inmediatamente controvertido. La ley ordinaria de refracción se atribuyó en aquella época a René Descartes (muerto en 1650), quien había tratado de explicarla suponiendo que la luz era una fuerza que se propagaba instantáneamente , o que la luz era análoga a una pelota de tenis que viajaba más rápido en el aire. medio más denso, ^[44]^[45] cualquiera de las premisas es inconsistente con la de Fermat. El defensor más destacado de Descartes, Claude Clerselier , criticó a Fermat por aparentemente atribuir conocimiento e intención a la naturaleza, y por no explicar por qué la naturaleza debería preferir economizar tiempo en lugar de distancia. Clerselier escribió en parte:

1. El principio que usted toma como base de su demostración, a saber, que la naturaleza actúa siempre de la manera más breve y sencilla, es meramente un principio moral y no físico; no es ni puede ser la causa de ningún efecto en la naturaleza... Porque de lo contrario atribuiríamos conocimiento a la naturaleza; pero aquí, por "naturaleza", entendemos sólo este orden y esta ley establecida en el mundo tal como es, que actúa sin previsión, sin elección y por una determinación necesaria.
2. Este mismo principio volvería indecisa a la naturaleza... Porque os pregunto... cuando un rayo de luz debe pasar de un punto en un medio raro a un punto en uno denso, ¿no hay razón para que la naturaleza dude si Según su principio, ¿debe elegir tanto la línea recta como la curva, ya que si esta última resulta más corta en el tiempo, la primera es más corta y más simple en longitud? ¿Quién decidirá y quién se pronunciará? ^[46]

Fermat, que desconocía los fundamentos mecanicistas de su propio principio, no estaba bien situado para defenderlo, excepto como una proposición puramente geométrica y cinemática . ^[47]^[48] La teoría ondulatoria de la luz , propuesta por primera vez por Robert Hooke en el año de la muerte de Fermat, ^[49] y rápidamente mejorada por Ignace-Gaston Pardies ^[50] y (especialmente) Christiaan Huygens , ^[51] contenía la fundaciones necesarias; pero el reconocimiento de este hecho fue sorprendentemente lento.

La supervisión de Huygens

En 1678, Huygens propuso que todo punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. ^[52] Huygens se refirió repetidamente a la envoltura de sus frentes de onda secundarios como la terminación del movimiento, ^[53] lo que significa que el frente de onda posterior era el límite exterior que la perturbación podía alcanzar en un tiempo determinado, ^[54] que era, por tanto, el mínimo. tiempo en el que se podría alcanzar cada punto del frente de onda posterior. Pero no argumentó que la dirección del tiempo mínimo fuera desde la fuente secundaria hasta el punto de tangencia; en cambio, dedujo la dirección del rayo a partir de la extensión de la superficie tangente común correspondiente a una extensión dada del frente de onda inicial. ^[55] Su único respaldo al principio de Fermat fue de alcance limitado: habiendo deducido la ley de refracción ordinaria, para la cual los rayos son normales a los frentes de onda, ^[56] Huygens dio una prueba geométrica de que un rayo refractado de acuerdo con esta ley toma la camino de menor tiempo. ^[57] Difícilmente habría pensado que esto fuera necesario si hubiera sabido que el principio del tiempo mínimo se derivaba directamente de la misma construcción tangente común mediante la cual había deducido no sólo la ley de refracción ordinaria, sino también las leyes de propagación rectilínea y reflexión ordinaria (que también se sabía que se derivaba del principio de Fermat) y una ley de refracción extraordinaria previamente desconocida , la última mediante frentes de onda secundarios que eran esferoidales en lugar de esféricos, con el resultado de que los rayos eran generalmente oblicuos a los frentes de onda. Era como si Huygens no se hubiera dado cuenta de que su construcción implicaba el principio de Fermat, e incluso como si pensara que había encontrado una excepción a ese principio. La evidencia manuscrita citada por Alan E. Shapiro tiende a confirmar que Huygens creía que el principio del tiempo mínimo no era válido "en la doble refracción , donde los rayos no son normales a los frentes de onda". ^[58]^{[Nota 9]}

Shapiro informa además que las únicas tres autoridades que aceptaron el "principio de Huygens" en los siglos XVII y XVIII, a saber, Philippe de La Hire , Denis Papin y Gottfried Wilhelm Leibniz , lo hicieron porque explicaba la extraordinaria refracción del " cristal de Islandia " . (calcita) de la misma manera que las leyes previamente conocidas de la óptica geométrica. ^[59] Pero, por el momento, la correspondiente extensión del principio de Fermat pasó desapercibida.

Laplace, Young, Fresnel y Lorentz

El 30 de enero de 1809, ^[60] Pierre-Simon Laplace , informando sobre el trabajo de su protegido Étienne-Louis Malus , afirmó que la extraordinaria refracción de la calcita podía explicarse según la teoría corpuscular de la luz con la ayuda del principio de mínima acción de Maupertuis. : que la integral de la velocidad con respecto a la distancia era mínima. La velocidad corpuscular que satisfacía este principio era proporcional al recíproco de la velocidad del rayo dada por el radio del esferoide de Huygens. Laplace continuó:

Según Huygens, la velocidad del rayo extraordinario, en el cristal, se expresa simplemente por el radio del esferoide; en consecuencia, su hipótesis no concuerda con el principio de la mínima acción, pero es notable que concuerde con el principio de Fermat, es decir, que la luz pasa, desde un punto dado fuera del cristal, a un punto dado dentro de él, en el menor tiempo posible; porque es fácil ver que este principio coincide con el de la acción mínima, si invertimos la expresión de la velocidad. ^[61]

El informe de Laplace fue objeto de una amplia refutación por parte de Thomas Young , quien escribió en parte:

El principio de Fermat, aunque fue asumido por ese matemático sobre bases hipotéticas, o incluso imaginarias, es de hecho una ley fundamental con respecto al movimiento ondulatorio, y es explícitamente [ sic ] la base de toda determinación en la teoría huygeniana... El señor Laplace parece desconocer este principio esencial de una de las dos teorías que compara; porque dice que "es notable" que la ley huygeniana de refracción extraordinaria concuerde con el principio de Fermat; lo cual difícilmente habría observado si hubiera sido consciente de que la ley era una consecuencia inmediata del principio. ^[62]

De hecho, Laplace era consciente de que el principio de Fermat se deriva de la construcción de Huygens en el caso de la refracción de un medio isotrópico a uno anisotrópico; una prueba geométrica estaba contenida en la versión larga del informe de Laplace, impreso en 1810. ^[63]

La afirmación de Young era más general que la de Laplace y también defendía el principio de Fermat incluso en el caso de refracción extraordinaria, en la que los rayos generalmente no son perpendiculares a los frentes de onda. Lamentablemente, sin embargo, la frase central omitida del párrafo citado por Young empezaba: "El movimiento de toda ondulación debe necesariamente ser en una dirección perpendicular a su superficie..." (énfasis añadido), y por lo tanto estaba destinada a sembrar confusión en lugar de claridad. .

No subsiste tal confusión en la "Segunda Memoria" de Augustin-Jean Fresnel sobre la doble refracción (Fresnel, 1827), que aborda el principio de Fermat en varios lugares (sin nombrar a Fermat), partiendo del caso especial en el que los rayos son normales a los frentes de onda, al caso general en el que los rayos son trayectorias de tiempo mínimo o tiempo estacionario. (En el siguiente resumen, los números de página se refieren a la traducción de Alfred W. Hobson).

Para la refracción de una onda plana con incidencia paralela en una cara de una cuña cristalina anisotrópica (págs. 291-2), para encontrar el "primer rayo que llegó" a un punto de observación más allá de la otra cara de la cuña, basta con Trate los rayos fuera del cristal como normales a los frentes de onda, y dentro del cristal para considerar solo los frentes de onda paralelos (cualquiera que sea la dirección del rayo). Entonces, en este caso, Fresnel no intenta rastrear la trayectoria completa del rayo. ^{[Nota 10]}
A continuación, Fresnel considera un rayo refractado desde una fuente puntual M dentro de un cristal, a través de un punto A en la superficie, hasta un punto de observación B en el exterior (págs. 294-6). La superficie que pasa por B y está dada por el "lugar de las perturbaciones que llegan primero" es, según la construcción de Huygens, normal al "rayo AB de llegada más rápida". Pero esta construcción requiere conocimiento de la "superficie de la onda" (es decir, el frente de onda secundario) dentro del cristal.
Luego considera un frente de onda plano que se propaga en un medio con frentes de onda secundarios no esféricos, orientado de modo que la trayectoria del rayo dada por la construcción de Huygens (desde la fuente del frente de onda secundario hasta su punto de tangencia con el frente de onda primario posterior) no es normal. a los frentes de onda primarios (p. 296). Muestra que este camino es, sin embargo, "el camino de llegada más rápida de la perturbación" desde el frente de onda primario anterior hasta el punto de tangencia.
En un título posterior (p. 305) declara que "La construcción de Huygens, que determina el camino de llegada más rápida" es aplicable a frentes de onda secundarios de cualquier forma. Luego señala que cuando aplicamos la construcción de Huygens a la refracción en un cristal con un frente de onda secundario de dos láminas y trazamos las líneas desde los dos puntos de tangencia al centro del frente de onda secundario, "tendremos las direcciones de los dos caminos de llegada más veloz y, en consecuencia, del rayo ordinario y extraordinario."
Bajo el título "Definición de la palabra Rayo " (p. 309), concluye que este término debe aplicarse a la línea que une el centro de la onda secundaria con un punto de su superficie, cualquiera que sea la inclinación de esta línea hacia el superficie.
Como "nueva consideración" (págs. 310-311), señala que si un frente de onda plano pasa a través de un pequeño orificio centrado en el punto E , entonces la dirección ED de máxima intensidad del haz resultante será aquella en la que el secundario La onda que comienza en E "llegará allí primero", y los frentes de onda secundarios de lados opuestos del agujero (equidistantes de E ) "llegarán a D al mismo tiempo" entre sí. No se supone que esta dirección sea normal a ningún frente de onda.

Así, Fresnel demostró, incluso para medios anisotrópicos, que la trayectoria del rayo dada por la construcción de Huygens es la trayectoria de menor tiempo entre posiciones sucesivas de un plano o frente de onda divergente, que las velocidades de los rayos son los radios de la "superficie de onda" secundaria después de unidad. tiempo, y que un tiempo de recorrido estacionario representa la dirección de máxima intensidad de un haz. Sin embargo, establecer la equivalencia general entre la construcción de Huygens y el principio de Fermat habría requerido una mayor consideración del principio de Fermat en términos punto por punto.

Hendrik Lorentz , en un artículo escrito en 1886 y reeditado en 1907, ^[64] dedujo el principio del tiempo mínimo en forma punto a punto a partir de la construcción de Huygens. Pero la esencia de su argumento quedó algo oscurecida por una aparente dependencia del éter y del arrastre del éter .

El trabajo de Lorentz fue citado en 1959 por Adriaan J. de Witte, quien luego ofreció su propio argumento, que "aunque en esencia es el mismo, se cree que es más convincente y más general". El tratamiento de De Witte es más original de lo que esa descripción podría sugerir, aunque se limita a dos dimensiones; utiliza el cálculo de variaciones para mostrar que la construcción de Huygens y el principio de Fermat conducen a la misma ecuación diferencial para la trayectoria del rayo, y que en el caso del principio de Fermat ocurre lo contrario. De Witte también señaló que "el asunto parece haber escapado al tratamiento de los libros de texto". ^{[sesenta y cinco]}

En la cultura popular

El cuento Historia de tu vida del escritor de ficción especulativa Ted Chiang contiene representaciones visuales del Principio de Fermat junto con una discusión de su dimensión teleológica. The Math Instinct de Keith Devlin contiene un capítulo, "Elvis, el Corgi galés que puede hacer cálculo", que analiza el cálculo "incrustado" en algunos animales mientras resuelven el problema del "menos tiempo" en situaciones reales.

Ver también

Notas

^ El supuesto (2) casi se deriva de (1) porque: (a) en la medida en que la perturbación en el punto intermedio P puede representarse mediante un escalar , su influencia es omnidireccional; (b) en la medida en que pueda representarse mediante un vector en la supuesta dirección de propagación (como en una onda longitudinal ), tiene una componente distinta de cero en un rango de direcciones vecinas; y (c) en la medida en que puede representarse mediante un vector a través de la supuesta dirección de propagación (como en una onda transversal ), tiene una componente distinta de cero en un rango de direcciones vecinas. Por tanto , hay infinitos caminos de A a B porque hay infinitos caminos que irradian desde cada punto intermedio P.
^ Si un rayo se refleja en una superficie suficientemente cóncava, el punto de reflexión es tal que el tiempo total de recorrido es un máximo local, siempre que los caminos hacia y desde el punto de reflexión, considerados por separado, sean posibles caminos del rayo. . Pero el principio de Fermat no impone tal restricción; y sin esa restricción siempre es posible variar el camino global para aumentar su tiempo de recorrido. Por lo tanto, el tiempo de recorrido estacionario de la trayectoria del rayo nunca es un máximo local (cf. Born & Wolf, 2002, p. 137n). Pero, como muestra el caso del reflector cóncavo, tampoco es necesariamente un mínimo local. Por tanto , no es necesariamente un extremo. Por lo tanto, debemos contentarnos con llamarlo estacionariedad.
^ Más precisamente, la densidad de flujo de energía .
^ Si el tiempo se contara a partir del frente de onda anterior en su conjunto, ese tiempo sería en todas partes exactamente $Δt$ , y no tendría sentido hablar de un tiempo "estacionario" o "mínimo".
El tiempo "estacionario" será el mínimo siempre que los frentes de onda secundarios sean más convexos que los frentes de onda primarios (como en la Fig. 4). Sin embargo, esta condición no siempre se cumple. Por ejemplo, si el frente de onda primario, dentro del rango de un frente de onda secundario, converge en un foco y comienza a divergir nuevamente, el frente de onda secundario tocará el frente de onda primario posterior desde el exterior en lugar de hacerlo desde el interior. Para tener en cuenta tales complejidades, debemos contentarnos con decir tiempo "estacionario" en lugar de tiempo "mínimo". Cf. Born & Wolf, 2002, págs. 136–7 (significado de "vecindario normal").
^ Además, utilizar la construcción de Huygens para determinar la ley de reflexión o refracción es cuestión de buscar el camino del tiempo transversal estacionario entre dos frentes de onda particulares; cf. Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 305–6.
^ En la construcción de Huygens, la elección de la envolvente de los frentes de onda secundarios en el lado delantero de $W$ , es decir, el rechazo de las ondas secundarias "hacia atrás" o "retrógradas", también se explica por el principio de Fermat. Por ejemplo, en la Fig. 2, el tiempo de recorrido del camino $APP'P$ (donde el último tramo "dobla hacia atrás") no es estacionario con respecto a la variación de $P'$ , pero es máximamente sensible al movimiento de $P'$ a lo largo del tramo. $PP'$ .
^ La dirección del rayo es la dirección de interferencia constructiva, que es la dirección de la velocidad del grupo . Sin embargo, la "velocidad del rayo" no se define como la velocidad del grupo, sino como la velocidad de fase medida en esa dirección, de modo que "la velocidad de fase es la proyección de la velocidad del rayo en la dirección de la onda normal" (la cita es de Born & Wolf, 2002, p.794). En un medio isotrópico, por simetría, las direcciones del rayo y las velocidades de fase son las mismas, de modo que la "proyección" se reduce a una identidad. Para decirlo de otra manera: en un medio isotrópico, dado que las velocidades del rayo y de la fase tienen la misma dirección (por simetría), y dado que ambas velocidades siguen la fase (por definición), también deben tener la misma magnitud.
^ Ibn al-Haytham , escribiendo en El Cairo en la segunda década del siglo XI, también creía que la luz tomaba el camino de menor resistencia y que los medios más densos ofrecían más resistencia, pero conservó una noción más convencional de "resistencia". Si esta noción iba a explicar la refracción, requería que la resistencia variara con la dirección de una manera que era difícil de reconciliar con la reflexión. Mientras tanto , Ibn Sahl ya había llegado a la ley correcta de refracción mediante un método diferente; pero su ley no fue propagada (Mihas, 2006, pp. 761–5; Darrigol, 2012, pp. 20–21, ‍ 41 ).
El problema resuelto por Fermat es matemáticamente equivalente al siguiente: dados dos puntos en diferentes medios con diferentes densidades, minimice la longitud ponderada por densidad del camino entre los dos puntos. En Lovaina , en 1634 (momento en el que Willebrord Snellius había redescubierto la ley de Ibn Sahl, y Descartes la había derivado pero aún no la había publicado), el profesor jesuita Wilhelm Boelmans dio una solución correcta a este problema y estableció su demostración como ejercicio para sus alumnos jesuitas (Ziggelaar, 1980).
^ En el último capítulo de su Tratado , Huygens determinó las formas requeridas de las superficies formadoras de imágenes, partiendo de la premisa de que todas las partes del frente de onda deben viajar desde el punto del objeto al punto de la imagen en tiempos iguales , y tratando los rayos como normales. a los frentes de onda. Pero no mencionó a Fermat en este contexto.
^ En la traducción, faltan algunas líneas y símbolos en el diagrama; el diagrama corregido se puede encontrar en Oeuvres Complètes de Fresnel , vol. 2, pág. 547.

Referencias

^ Cfr. Joven, 1809, pág. 342; Fresnel, 1827, trad. Hobson, págs. 294–6, 310–11 ; De Witte, 1959, pág. 293n.
^ Cfr. Nacido y lobo, 2002, pág. 876.
^ De Witte (1959) invoca la condición de fuente puntual desde el principio (p. 294, col. 1).
^ De Witte (1959) ofrece una prueba basada en cálculo de variaciones . El presente artículo ofrece una explicación más sencilla.
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^ Véase (p. ej.) Huygens, 1690, tr. Thompson, págs. 47, 55 , 58 , 60 , 82–6 ; Newton, 1730, págs.8, 18 , 137 , 143 , 166 , 173 .
^ Ésta es la esencia del argumento presentado por Fresnel (1827, tr. Hobson, págs. 310-11 ).
^ Véase (p. ej.) Newton, 1730, pág. 55; Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 40–41, 56.
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^ Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 309.
^ ab De Witte, 1959, pág. 294, col. 2.
^ Cfr. Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 305.
^ Cfr. Fresnel, 1827, trad. Hobson, pág. 296.
^ De Witte (1959) ofrece una prueba más sofisticada del mismo resultado, utilizando cálculo de variaciones.
^ La cita es de Born & Wolf, 2002, p. 876.
^ De Witte, 1959, pág. 295, col. 1.
^ Incluso Born y Wolf prueban el principio de Fermat para el caso en el que los rayos son normales a los frentes de onda (2002, págs. 136-138), aunque en su discusión posterior sobre los cristales anisotrópicos, señalan que las direcciones normales del rayo y de la onda generalmente difieren (págs. 792-4), y que para una dirección normal de onda dada, la dirección del rayo es tal que la velocidad de la intersección entre la línea del rayo y el frente de onda plano es estacionaria con respecto a las variaciones de la dirección normal de onda. dirección (págs. 804-5).
^ De Witte, 1959 (p. 295, col. 1 y Figura 2), establece el resultado y condensa la explicación en un diagrama.
^ Nacido y lobo, 2002, pág. 122.
^ Nacido y lobo, 2002, pág. 795, ecuación. (13).
^ Cfr. Chaves, 2016, pág. 673.
^ Cfr. Nacido y lobo, 2002, pág. 876, ecuación. (10 a).
^ Cfr. VG Veselago (octubre de 2002), "Formulación del principio de Fermat para la luz que viaja en materiales de refracción negativa", Physics-Uspekhi , 45 (10): 1097–9 , doi :10.1070/PU2002v045n10ABEH001223, en p. 1099.
^ Cfr. Chaves, 2016, págs. 568–9.
↑ Chaves, 2016, pág. 581.
↑ Chaves, 2016, pág. 569.
^ Cfr. Chaves, 2016, pág. 577.
^ Cfr. Born & Wolf, 2002, págs. 853–4, ‍ 868 ; Chaves, 2016, pág. 669.
↑ Chaves, 2016, cap. 14.
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^ Cfr. Huygens, 1690, trad. Thompson, págs. 19–21, ‍ 63–5 .
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^ Sobre la prueba, ver Darrigol, 2012, p. 190. Sobre la fecha de la lectura (erróneamente impresa como 1808 en las primeras fuentes), véase Frankel, 1974, p. 234n. El texto completo (con la errata) es "Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux diaphanes", Mémoires de l'Académie des Sciences , 1.ª serie, vol. X (1810), reimpreso en Oeuvres complètes de Laplace , vol. 12 (París, Gauthier-Villars et fils, 1898), págs. 267–298. Una versión intermedia, que incluía la prueba pero no la "Nota" adjunta, apareció como "Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes", Mémoires de Physique et de Chimie de la Société d'Arcueil , vol. 2 (1809), págs. 111–142 y lámina 1 (después de la pág. 494).
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Bibliografía

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Otras lecturas

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