Secciones cónicas confocales

Secciones cónicas con los mismos focos.

Lápices de elipses e hipérbolas confocales.

En geometría , dos secciones cónicas se denominan confocales si tienen los mismos focos .

Debido a que las elipses y las hipérbolas tienen dos focos, existen elipses confocales , hipérbolas confocales y mezclas confocales de elipses e hipérbolas. En la mezcla de elipses confocales e hipérbolas, cualquier elipse intersecta cualquier hipérbola ortogonalmente (en ángulos rectos).

Las parábolas tienen un solo foco, por lo que, por convención, las parábolas confocales tienen el mismo foco y el mismo eje de simetría. En consecuencia, cualquier punto que no esté en el eje de simetría se encuentra en dos parábolas confocales que se cruzan ortogonalmente (ver más abajo).

Un círculo es una elipse cuyos dos focos coinciden en el centro. Los círculos que comparten el mismo foco se llaman círculos concéntricos , y cortan ortogonalmente a cualquier recta que pase por ese centro.

La extensión formal del concepto de cónicas confocales a superficies conduce a cuádricas confocales .

Elipses e hipérbolas confocales

Cualquier hipérbola o elipse (no circular) tiene dos focos, y cualquier par de puntos distintos en el plano euclidiano y cualquier tercer punto que no esté en la línea que los conecta determina de forma única una elipse y una hipérbola, con focos compartidos y que se cruzan ortogonalmente en el punto (Ver Elipse § Definición como lugar geométrico de puntos e Hipérbola § Como lugar geométrico de puntos .) ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P.}$

Los focos determinan así dos lápices de elipses e hipérbolas confocales. ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$

Por el teorema del eje principal , el plano admite un sistema de coordenadas cartesiano con su origen en el punto medio entre focos y sus ejes alineados con los ejes de las elipses e hipérbolas confocales. Si es la excentricidad lineal (la mitad de la distancia entre y ), entonces en este sistema de coordenadas ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).}$

Un lápiz de elipses e hipérbolas confocales se especifica mediante la elección de la excentricidad lineal c (la coordenada x de un foco) y puede parametrizarse mediante el semieje mayor a (la coordenada x de la intersección de una cónica específica en el lápiz y el eje x ). Cuando 0 < a < c la cónica es una hipérbola; cuando c < a la cónica es una elipse.

Cada elipse o hipérbola del lápiz es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

con semieje mayor como parámetro. Si el semieje mayor es menor que la excentricidad lineal ( ), la ecuación define una hipérbola, mientras que si el semieje mayor es mayor que la excentricidad lineal ( ), define una elipse. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<c}$ ${\displaystyle a>c}$

Otra representación común especifica un lápiz de elipses e hipérbolas confocales con una elipse dada de semieje mayor y semieje menor (de modo que ), cada cónica generada por elección del parámetro ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle \lambda \colon }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,}$

Si la cónica es una elipse . Si la cónica es una hipérbola . Porque no hay soluciones. Los focos comunes de cada cónica en el lápiz son los puntos. Esta representación se generaliza naturalmente a dimensiones superiores (ver § Cuadricas confocales). ${\displaystyle -\infty <\lambda <b^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2},}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$ ${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$

Curvas límite

A medida que el parámetro se acerca al valor desde abajo, el límite del lápiz de elipses confocales degenera al segmento de línea entre focos en el eje x (una elipse infinitamente plana). A medida que se aproxima desde arriba, el límite del lápiz de las hipérbolas confocales degenera al complemento relativo de ese segmento de línea con respecto al eje x ; es decir, a los dos rayos cuyos extremos en los focos apuntan hacia afuera a lo largo del eje x (una hipérbola infinitamente plana). Estas dos curvas límite tienen los dos focos en común. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

Esta propiedad aparece de manera análoga en el caso tridimensional, lo que lleva a la definición de las curvas focales de las cuádricas confocales. Ver § Cuádricas confocales a continuación.

Sistema ortogonal doble

Prueba visual de que las elipses e hipérbolas confocales se cruzan ortogonalmente, porque cada una tiene una "propiedad de reflexión"

Considerando los lápices de elipses e hipérbolas confocales (ver diagrama principal), se obtiene de las propiedades geométricas de la normal y la tangente en un punto (la normal de una elipse y la tangente de una hipérbola bisecan el ángulo entre las líneas a los focos). Cualquier elipse del lápiz intersecta ortogonalmente cualquier hipérbola (ver diagrama).

Esta disposición, en la que cada curva en un lápiz de curvas que no se cruzan intersecta ortogonalmente cada curva en otro lápiz de curvas que no se cruzan, a veces se denomina red ortogonal . La red ortogonal de elipses e hipérbolas es la base de un sistema de coordenadas elíptico .

Parábolas confocales

Una parábola es la curva límite de un lápiz de elipses con un vértice común y un foco común, cuando el otro foco se mueve hacia el infinito hacia la derecha, y también la curva límite de un lápiz de hipérbolas con un vértice común y un foco común. , mientras el otro foco se mueve al infinito hacia la izquierda.

Una parábola tiene un solo foco y puede considerarse como una curva límite de un conjunto de elipses (o un conjunto de hipérbolas), donde un foco y un vértice se mantienen fijos, mientras que el segundo foco se mueve al infinito. Si esta transformación se realiza en cada cónica en una red ortogonal de elipses e hipérbolas confocales, el límite es una red ortogonal de parábolas confocales orientadas en direcciones opuestas.

Cada parábola con foco en el origen y el eje x como eje de simetría es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación

${\displaystyle y^{2}=2xp+p^{2},}$

para algún valor del parámetro donde está el recto semilatus. Si entonces la parábola abre hacia la derecha , y si la parábola abre hacia la izquierda . El punto es el vértice de la parábola. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |p|}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle {\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}}$

Lápiz de parábolas confocales

Según la definición de parábola , para cualquier punto que no esté en el eje x , hay una parábola única con foco en el origen que se abre hacia la derecha y una parábola única con foco en el origen que se abre hacia la izquierda, que se cruza ortogonalmente en el punto. . (Las parábolas son ortogonales por una razón análoga a las elipses e hipérbolas confocales: las parábolas tienen una propiedad reflectante ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

De manera análoga a las elipses confocales y las hipérbolas, el plano puede estar cubierto por una red ortogonal de parábolas, que puede usarse para un sistema de coordenadas parabólicas .

La red de parábolas confocales puede considerarse como la imagen de una red de líneas paralelas a los ejes de coordenadas y contenidas en la mitad derecha del plano complejo por el mapa conforme (ver enlaces externos). ${\displaystyle w=z^{2}}$

Círculos concéntricos y líneas que se cruzan.

Un círculo es una elipse con dos focos coincidentes. El límite de las hipérbolas a medida que se juntan los focos es degenerado : un par de líneas que se cruzan.

Si se transforma una red ortogonal de elipses e hipérbolas juntando los dos focos, el resultado es una red ortogonal de círculos concéntricos y líneas que pasan por el centro del círculo. Éstas son la base del sistema de coordenadas polares . ^[1]

El límite de un lápiz de elipses que comparten el mismo centro y ejes y que pasan por un punto dado degenera en un par de líneas paralelas al eje mayor cuando los dos focos se mueven hasta el infinito en direcciones opuestas. Asimismo el límite de un lápiz análogo de hipérbolas degenera en un par de rectas perpendiculares al eje mayor. Así, una cuadrícula rectangular formada por lápices ortogonales de líneas paralelas es una especie de red de cónicas confocales degeneradas. Esta red ortogonal es la base del sistema de coordenadas cartesiano.

teorema de tumbas

Construcción de elipses confocales.

En 1850 el obispo irlandés Charles Graves demostró y publicó el siguiente método para la construcción de elipses confocales con ayuda de una cuerda: ^[2]

Si se rodea una elipse dada E con una cuerda cerrada, que es más larga que la circunferencia de la elipse dada, y se dibuja una curva similar a la construcción de una elipse hecha por el jardinero (ver diagrama), entonces se obtiene una elipse, que es confocal a E.

La prueba de este teorema utiliza integrales elípticas y está contenida en el libro de Klein. Otto Staude amplió este método a la construcción de elipsoides confocales (ver el libro de Klein).

Si la elipse E se colapsa hasta convertirse en un segmento de línea , se obtiene una ligera variación del método del jardinero que dibuja una elipse con focos . ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

Cuádricas confocales

Cuádricas confocales: (rojo), (azul), (púrpura)
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ }$
${\displaystyle \lambda _{1}=0.1}$ ${\displaystyle \ \lambda _{2}=0.5}$ ${\displaystyle \lambda _{3}=0.8}$

Tipos que dependen de ${\displaystyle \lambda }$

Dos superficies cuádricas son confocales si comparten los mismos ejes y si sus intersecciones con cada plano de simetría son cónicas confocales. De manera análoga a las cónicas, los lápices no degenerados de cuádricas confocales son de dos tipos: elipsoides triaxiales , hiperboloides de una hoja e hiperboloides de dos hojas; y paraboloides elípticos , paraboloides hiperbólicos y paraboloides elípticos que se abren en dirección opuesta.

Un elipsoide triaxial con semiejes donde determina un lápiz de cuádricas confocales. Cada cuádrica, generada por un parámetro, es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación: ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a>b>c>0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.}$

Si , la cuádrica es un elipsoide ; si (en el diagrama: azul), es un hiperboloide de una hoja ; si es un hiperboloide de dos hojas . Porque no hay soluciones. ${\displaystyle \lambda <c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$

Curvas focales

Cónicas focales (elipse, hipérbola, negra)

${\displaystyle c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad }$arriba: (elipsoide, rojo), (1s hiperb., azul), (1s hiperb., azul), (2s hiperb., violeta) abajo: Superficies límite entre los tipos ${\displaystyle \lambda =}$
${\displaystyle 0.3575}$ ${\displaystyle \ 0.3625}$
${\displaystyle 0.638}$ ${\displaystyle \ 0.642}$

Superficies límite para : ${\displaystyle \lambda \to c^{2}}$

A medida que el parámetro se acerca al valor desde abajo , el elipsoide límite es infinitamente plano, o más precisamente es el área del plano x - y que consiste en la elipse. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

y su interior doblemente cubierto (en el esquema: abajo, a la izquierda, rojo).

Visto desde arriba , el hiperboloide límite de una hoja es infinitamente plano, o más precisamente es el área del plano x - y formada por la misma elipse y su exterior doblemente cubierto (en el diagrama: abajo, a la izquierda, azul ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Las dos superficies límite tienen en común los puntos de elipse . ${\displaystyle E}$

Superficies límite para : ${\displaystyle \lambda \to b^{2}}$

De manera similar, cuando se aproxima desde arriba y desde abajo, los respectivos hiperboloides límite (en el diagrama: abajo, derecha, azul y violeta) tienen la hipérbola ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1}$

en común.

Curvas focales:

Los focos de la elipse son los vértices de la hipérbola y viceversa. Entonces y son un par de cónicas focales . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Inverso: debido a que cualquier cuádricas del lápiz de cuádricas confocales determinada por se puede construir mediante un método de alfileres y cuerdas (ver elipsoide ), las cónicas focales desempeñan el papel de infinitos focos y se denominan curvas focales del lápiz de cuádricas confocales. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle E,H}$

Sistema ortogonal triple

Análogo al caso de elipses/hipérbolas confocales,

Cualquier punto con se encuentra exactamente en una superficie de cualquiera de los tres tipos de cuádricas confocales. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$

Las tres cuádricas que pasan por un punto se cruzan allí ortogonalmente (ver enlace externo). ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Ejemplo de función ${\displaystyle f(\lambda )}$

Prueba de la existencia y unicidad de tres cuádricas a través de un punto:
Para un punto con let be . Esta función tiene tres asíntotas verticales y es en cualquiera de los intervalos abiertos una función creciente continua y monótona . Del comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales y de uno se encuentra (ver diagrama): La función tiene exactamente 3 ceros con ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$ ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$
${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

Prueba de la ortogonalidad de las superficies:
Utilizando los lápices de funciones con parámetro se pueden describir las cuádricas confocales mediante . Para dos cuádricas cualesquiera que se intersequen, una llega a un punto común ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

De esta ecuación se obtiene el producto escalar de los gradientes en un punto común

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

lo que demuestra la ortogonalidad.

Elipsoide con líneas de curvatura como curvas de intersección con hiperboloides confocales
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6}$

Aplicaciones:
Debido al teorema de Dupin sobre sistemas de superficies ortogonales triples, la curva de intersección de dos cuádricas confocales cualesquiera es una línea de curvatura . De manera análoga a las coordenadas elípticas planas existen coordenadas elipsoidales .

En física, los elipsoides confocales aparecen como superficies equipotenciales de un elipsoide cargado. ^[6]

teorema de marfil

teorema de marfil

El teorema de Ivory (o lema de Ivory ), ^[7] que lleva el nombre del matemático y astrónomo escocés James Ivory (1765-1842), es una declaración sobre las diagonales de un rectángulo neto , un cuadrilátero formado por curvas ortogonales:

Para cualquier rectángulo neto, que está formado por dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos, las diagonales tienen la misma longitud (ver diagrama).

Puntos de intersección de una elipse y una hipérbola confocal:
Sea la elipse con los focos y la ecuación. ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

y la hipérbola confocal con ecuación ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

Calculando los puntos de intersección de y se obtienen los cuatro puntos: ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

Diagonales de un rectángulo-red:
Para simplificar el cálculo, sin pérdida de generalidad (cualquier otra red confocal se puede obtener mediante escalado uniforme) y entre las cuatro intersecciones entre una elipse y una hipérbola elija aquellas en el cuadrante positivo (otras combinaciones de signos arrojar el mismo resultado después de un cálculo análogo). ${\displaystyle c=1}$

Sean dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos. Las diagonales de los cuatro puntos del rectángulo neto formado por los puntos. ${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$ ${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

son:

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

La última expresión es invariante bajo el intercambio . Precisamente este intercambio conduce a . Por eso ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$ ${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$ ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

La prueba de la afirmación de las parábolas confocales es un cálculo simple.

Ivory incluso demostró la versión tridimensional de su teorema (s. Blaschke, p. 111):

Para un cuboide rectangular tridimensional formado por cuádricas confocales, las diagonales que conectan puntos opuestos tienen la misma longitud.

Ver también

• círculos apolíneos
• focaloide

Referencias

1. Hilbert y Cohn-Vossen 1952, pág. 6.
2. Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlín, 1926, pág.32.
3. Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matemáticas. Ana. 20, 147–184 (1882)
4. Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grados. Matemáticas. Ana. 27, 253–271 (1886).
5. Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ana. 50, 398 – 428 (1898)
6. D. Fuchs , S. Tabachnikov : Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlín/Heidelberg 2011, ISBN  978-3-642-12959-9 , pág. 480.
7. Ivory lo usó como lema para demostrar el teorema de que las superficies equipotenciales del campo gravitacional externo a un elipsoide triaxial homogéneo son los elipsoides confocales.

• Blaschke, Wilhelm (1954). "VI. Konfokale Quadriken" [Cuádricas confocales]. Analytische Geometrie [ Geometría analítica ] (en alemán). Basilea: Springer. págs. 108-132.
• Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016). "2. Plano euclidiano". El universo de las cónicas . Saltador. págs. 11–60. doi :10.1007/978-3-662-45450-3_2. ISBN 978-3-662-45449-7.Véase también "10. Otras geometrías", doi :10.1007/978-3-662-45450-3_10.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "§1.4 La construcción del hilo del elipsoide y las cuadricas confocales" , Geometría e imaginación , Chelsea, págs.
• Odehnal, Boris; Stachel, Hellmuth; Glaeser, Georg (2020). "7. Cuadricas confocales". El Universo de las Cuádricas . Saltador. págs. 279–325. doi :10.1007/978-3-662-61053-4_7. ISBN 978-3-662-61052-7. S2CID  242527367.
• Ernesto Pascal : Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlín 1910, pág. 257.
• A. Robson: Introducción a la geometría analítica Vo. Yo, Cambridge, University Press, 1940, pág. 157.
• Sommerville, Duncan MacLaren joven (1934). «XII. Focos y Propiedades Focales» . Geometría Analítica de Tres Dimensiones . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 224-250.

enlaces externos

• T. Hofmann: Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48
• B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 y siguientes).
• H. Walser: Konforme Abbildungen. pag. 8.