Sistema de coordenadas elíptico

Sistema de coordenadas 2D cuyas líneas de coordenadas son elipses e hipérbolas confocales

Sistema de coordenadas elíptico

En geometría , el sistema de coordenadas elípticas es un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son elipses e hipérbolas confocales . Los dos focos y generalmente se consideran fijos en y , respectivamente, en el eje del sistema de coordenadas cartesiano . ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle +a}$ ${\displaystyle x}$

Definición básica

La definición más común de coordenadas elípticas es ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$

donde es un número real no negativo y ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

En el plano complejo , una relación equivalente es

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las curvas de forma constante son elipses , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las curvas de constante forman hipérbolas . ${\displaystyle \nu }$

Factores de escala

En un sistema de coordenadas ortogonales, las longitudes de los vectores base se conocen como factores de escala. Los factores de escala para las coordenadas elípticas son iguales a ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}$

Usando las identidades de doble argumento para funciones hiperbólicas y funciones trigonométricas , los factores de escala se pueden expresar de manera equivalente como

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}$

En consecuencia, un elemento infinitesimal de área es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}}$

y el laplaciano lee

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

Definición alternativa

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas , donde y . Por tanto, las curvas de constante son elipses, mientras que las curvas de constante son hipérbolas. La coordenada debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que la coordenada debe ser mayor o igual a uno. ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano, la suma de sus distancias a los focos es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recuerde que y están ubicados en y , respectivamente). ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$ ${\displaystyle x=+a}$

Un inconveniente de estas coordenadas es que los puntos con coordenadas cartesianas (x,y) y (x,-y) tienen las mismas coordenadas , por lo que la conversión a coordenadas cartesianas no es una función, sino una multifunción . ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=a\left.\sigma \right.\tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).}$

Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas son ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$

Por tanto, el elemento de área infinitesimal se convierte en

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Extrapolación a dimensiones superiores

Las coordenadas elípticas forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales :

1. Las coordenadas cilíndricas elípticas se obtienen proyectando en la dirección -. ${\displaystyle z}$
2. Las coordenadas esferoidales alargadas se producen girando las coordenadas elípticas alrededor del eje -, es decir, el eje que conecta los focos, mientras que las coordenadas esferoidales achatadas se producen girando las coordenadas elípticas alrededor del eje -, es decir, el eje que separa los focos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
3. Las coordenadas elipsoidales son una extensión formal de las coordenadas elípticas en 3 dimensiones, que se basa en elipsoides confocales, hiperboloides de una y dos hojas.

Tenga en cuenta que el sistema de coordenadas geográficas (elipsoidal) es un concepto diferente al anterior.

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas elípticas son una descripción natural de un sistema, permitiendo así una separación de variables en las ecuaciones diferenciales parciales . Algunos ejemplos tradicionales son la resolución de sistemas como electrones que orbitan alrededor de una molécula u órbitas planetarias que tienen forma elíptica.

Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden resultar útiles. Un ejemplo típico podría implicar una integración sobre todos los pares de vectores y que suman un vector fijo , donde el integrando era una función de las longitudes de los vectores y . (En tal caso, uno se ubicaría entre los dos focos y estaría alineado con el eje -, es decir, ). Para ser más concretos, y podría representar los momentos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría involucrar la cinética. energías de los productos (que son proporcionales a las longitudes al cuadrado de los momentos). ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Ver también

• Coordenadas curvilíneas
• Coordenadas elipsoidales
• Coordenadas generalizadas
• Coordenadas bipolares

Referencias

• "Coordenadas elípticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA y Korn TM . (1961) Manual de matemáticas para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas cilíndricas elípticas". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html