Secciones cónicas confocales

Secciones cónicas con los mismos focos

Lápices de elipses confocales e hipérbolas

En geometría , dos secciones cónicas se denominan confocales si tienen los mismos focos .

Como las elipses y las hipérbolas tienen dos focos, existen elipses confocales , hipérbolas confocales y mezclas confocales de elipses e hipérbolas. En la mezcla de elipses e hipérbolas confocales, cualquier elipse interseca a cualquier hipérbola de forma ortogonal (en ángulos rectos).

Las parábolas tienen un único foco, por lo que, por convención, las parábolas confocales tienen el mismo foco y el mismo eje de simetría. En consecuencia, cualquier punto que no esté en el eje de simetría se encuentra en dos parábolas confocales que se cortan ortogonalmente (ver más abajo).

Un círculo es una elipse cuyos dos focos coinciden en el centro. Los círculos que comparten el mismo foco se denominan círculos concéntricos y cortan ortogonalmente cualquier línea que pase por ese centro.

La extensión formal del concepto de cónicas confocales a las superficies conduce a las cuádricas confocales .

Elipses y hipérbolas confocales

Toda hipérbola o elipse (no circular) tiene dos focos, y cualquier par de puntos distintos en el plano euclidiano y cualquier tercer punto no en la línea que los conecta determinan de forma única una elipse y una hipérbola, con focos compartidos y que se intersecan ortogonalmente en el punto (véase Elipse § Definición como lugar geométrico de puntos e Hipérbola § Como lugar geométrico de puntos ). ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P.}$

Los focos determinan así dos lápices de elipses e hipérbolas confocales. ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$

Por el teorema de los ejes principales , el plano admite un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el punto medio entre los focos y sus ejes alineados con los ejes de las elipses e hipérbolas confocales. Si es la excentricidad lineal (la mitad de la distancia entre y ), entonces en este sistema de coordenadas ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).}$

Un lápiz de elipses e hipérbolas confocales se especifica mediante la elección de la excentricidad lineal c (la coordenada x de un foco) y se puede parametrizar mediante el semieje mayor a (la coordenada x de la intersección de una cónica específica en el lápiz y el eje x ). Cuando 0 < a < c la cónica es una hipérbola; cuando c < a la cónica es una elipse.

Cada elipse o hipérbola en el lápiz es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

con semieje mayor como parámetro. Si el semieje mayor es menor que la excentricidad lineal ( ), la ecuación define una hipérbola, mientras que si el semieje mayor es mayor que la excentricidad lineal ( ), define una elipse. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<c}$ ${\displaystyle a>c}$

Otra representación común especifica un lápiz de elipses e hipérbolas confocales con una elipse dada de semieje mayor y semieje menor (de modo que ), cada cónica generada por elección del parámetro ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle \lambda \colon }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,}$

Si la cónica es una elipse . Si la cónica es una hipérbola . Porque no hay soluciones. Los focos comunes de toda cónica en el lápiz son los puntos Esta representación se generaliza naturalmente a dimensiones superiores (véase § Cuádricas confocales). ${\displaystyle -\infty <\lambda <b^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2},}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$ ${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$

Curvas límite

A medida que el parámetro se acerca al valor desde abajo, el límite del lápiz de las elipses confocales degenera al segmento de línea entre los focos en el eje x (una elipse infinitamente plana). A medida que se acerca desde arriba, el límite del lápiz de las hipérbolas confocales degenera al complemento relativo de ese segmento de línea con respecto al eje x ; es decir, a los dos rayos con puntos finales en los focos apuntando hacia afuera a lo largo del eje x (una hipérbola infinitamente plana). Estas dos curvas límite tienen los dos focos en común. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

Esta propiedad aparece de forma análoga en el caso tridimensional, lo que conduce a la definición de las curvas focales de las cuádricas confocales. Véase el apartado Cuádricas confocales más abajo.

Sistema ortogonal doble

Prueba visual de que las elipses confocales y las hipérbolas se intersecan ortogonalmente, porque cada una tiene una "propiedad de reflexión"

Considerando los lápices de las elipses y las hipérbolas confocales (ver diagrama de punteado), se obtiene de las propiedades geométricas de la normal y la tangente en un punto (la normal de una elipse y la tangente de una hipérbola bisecan el ángulo entre las líneas a los focos). Cualquier elipse del lápiz interseca a cualquier hipérbola ortogonalmente (ver diagrama).

Esta disposición, en la que cada curva de un haz de curvas que no se intersecan interseca ortogonalmente cada curva de otro haz de curvas que no se intersecan, se denomina a veces red ortogonal . La red ortogonal de elipses e hipérbolas es la base de un sistema de coordenadas elípticas .

Parábolas confocales

Una parábola es la curva límite de un lápiz de elipses con un vértice común y un foco común, cuando el otro foco se mueve al infinito hacia la derecha, y también la curva límite de un lápiz de hipérbolas con un vértice común y un foco común, cuando el otro foco se mueve al infinito hacia la izquierda.

Una parábola tiene un único foco y puede considerarse como una curva límite de un conjunto de elipses (o de un conjunto de hipérbolas), donde un foco y un vértice se mantienen fijos, mientras que el segundo foco se desplaza hasta el infinito. Si se realiza esta transformación sobre cada cónica de una red ortogonal de elipses e hipérbolas confocales, el límite es una red ortogonal de parábolas confocales orientadas en direcciones opuestas.

Toda parábola con foco en el origen y eje x como eje de simetría es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación

${\displaystyle y^{2}=2xp+p^{2},}$

para algún valor del parámetro donde es el semi-latus rectum. Si entonces la parábola abre hacia la derecha , y si la parábola abre hacia la izquierda . El punto es el vértice de la parábola. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |p|}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle {\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}}$

Lápiz de parábolas confocales

De la definición de parábola , para cualquier punto que no esté en el eje x , existe una única parábola con foco en el origen que abre hacia la derecha y una única parábola con foco en el origen que abre hacia la izquierda, que se intersecan ortogonalmente en el punto . (Las parábolas son ortogonales por una razón análoga a las elipses confocales y las hipérbolas: las parábolas tienen una propiedad reflexiva .) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

De manera análoga a las elipses confocales y las hipérbolas, el plano puede cubrirse con una red ortogonal de parábolas, que puede utilizarse para un sistema de coordenadas parabólicas .

La red de parábolas confocales puede considerarse como la imagen de una red de líneas paralelas a los ejes de coordenadas y contenidas en la mitad derecha del plano complejo por la función conforme (ver enlaces externos). ${\displaystyle w=z^{2}}$

Círculos concéntricos y líneas que se cruzan

Un círculo es una elipse con dos focos coincidentes. El límite de las hipérbolas cuando los focos se juntan es degenerado : un par de líneas que se cortan.

Si se transforma una red ortogonal de elipses e hipérbolas juntando los dos focos, se obtiene una red ortogonal de círculos concéntricos y líneas que pasan por el centro del círculo. Estas son la base del sistema de coordenadas polares . ^[1]

El límite de un lápiz de elipses que comparten el mismo centro y ejes y pasan por un punto dado degenera en un par de líneas paralelas al eje mayor a medida que los dos focos se mueven hacia el infinito en direcciones opuestas. Del mismo modo, el límite de un lápiz análogo de hipérbolas degenera en un par de líneas perpendiculares al eje mayor. Por lo tanto, una cuadrícula rectangular que consiste en lápices ortogonales de líneas paralelas es una especie de red de cónicas confocales degeneradas. Una red ortogonal de este tipo es la base del sistema de coordenadas cartesianas.

Teorema de Graves

Construcción de elipses confocales

En 1850 el obispo irlandés Charles Graves demostró y publicó el siguiente método para la construcción de elipses confocales con ayuda de una cuerda: ^[2]

Si se rodea una elipse dada E con una cuerda cerrada, que es más larga que la circunferencia de la elipse dada, y se dibuja una curva similar a la construcción de una elipse por parte del jardinero (ver diagrama), entonces se obtiene una elipse que es confocal a E.

La demostración de este teorema utiliza integrales elípticas y se encuentra en el libro de Klein. Otto Staude amplió este método a la construcción de elipsoides confocales (véase el libro de Klein).

Si la elipse E colapsa en un segmento de línea , se obtiene una ligera variación del método del jardinero que dibuja una elipse con focos . ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

Cuadrículas confocales

Cuadrículas confocales: (roja), (azul), (violeta)
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ }$
${\displaystyle \lambda _{1}=0.1}$ ${\displaystyle \ \lambda _{2}=0.5}$ ${\displaystyle \lambda _{3}=0.8}$

Tipos dependientes de ${\displaystyle \lambda }$

Dos superficies cuadráticas son confocales si comparten los mismos ejes y si sus intersecciones con cada plano de simetría son cónicas confocales. De manera análoga a las cónicas, los lápices no degenerados de las cuadráticas confocales son de dos tipos: elipsoides triaxiales , hiperboloides de una lámina e hiperboloides de dos láminas; y paraboloides elípticos , paraboloides hiperbólicos y paraboloides elípticos que se abren en dirección opuesta.

Un elipsoide triaxial con semiejes donde se determina un haz de cuadrículas confocales. Cada cuadrícula, generada por un parámetro, es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación: ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a>b>c>0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.}$

Si , la cuádrica es un elipsoide ; si (en el diagrama: azul), es un hiperboloide de una hoja ; si es un hiperboloide de dos hojas . Porque no hay soluciones. ${\displaystyle \lambda <c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$

Curvas focales

Cónicas focales (elipse, hipérbola, negra)

${\displaystyle c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad }$arriba: (elipsoide, rojo), (hiperb. 1s, azul), (hiperb. 1s, azul), (hiperb. 2s, violeta) abajo: Superficies límite entre los tipos ${\displaystyle \lambda =}$
${\displaystyle 0.3575}$ ${\displaystyle \ 0.3625}$
${\displaystyle 0.638}$ ${\displaystyle \ 0.642}$

Superficies límite para : ${\displaystyle \lambda \to c^{2}}$

A medida que el parámetro se acerca al valor desde abajo , el elipsoide límite es infinitamente plano, o más precisamente, es el área del plano x - y que consiste en la elipse. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

y su interior doblemente cubierto (en el diagrama: abajo, a la izquierda, en rojo).

A medida que se aproxima desde arriba , el hiperboloide límite de una lámina es infinitamente plano, o más precisamente es el área del plano x - y constituido por la misma elipse y su exterior doblemente cubierto (en el diagrama: abajo, a la izquierda, azul). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Las dos superficies límite tienen los puntos de la elipse en común. ${\displaystyle E}$

Superficies límite para : ${\displaystyle \lambda \to b^{2}}$

De manera similar, a medida que se aproxima desde arriba y desde abajo, los respectivos hiperboloides límite (en el diagrama: abajo, derecha, azul y violeta) tienen la hipérbola ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1}$

en común.

Curvas focales:

Los focos de la elipse son los vértices de la hipérbola y viceversa. Por lo tanto y son un par de cónicas focales . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Inversa: Debido a que cualquier cuadrática del lápiz de cuadráticas confocales determinada por se puede construir mediante un método de alfileres y cuerdas (ver elipsoide ), las cónicas focales desempeñan el papel de infinitos focos y se denominan curvas focales del lápiz de cuadráticas confocales. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle E,H}$

Sistema ortogonal triple

De manera análoga al caso de las elipses/hipérbolas confocales,

Cualquier punto con se encuentra en exactamente una superficie de cualquiera de los tres tipos de cuádricas confocales. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$

Las tres cuádricas que pasan por un punto se cortan allí ortogonalmente (ver enlace externo). ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Ejemplo de función ${\displaystyle f(\lambda )}$

Demostración de la existencia y unicidad de tres cuádricas que pasan por un punto:
Para un punto con sea . Esta función tiene tres asíntotas verticales y es en cualquiera de los intervalos abiertos una función continua y monótona creciente . Del comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales y de uno se encuentra (ver diagrama): La función tiene exactamente 3 ceros con ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$ ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$
${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

Prueba de la ortogonalidad de las superficies:
Utilizando los lápices de funciones con parámetro las cuádricas confocales pueden describirse por . Para dos cuádricas cualesquiera que se intersecan con una llegan a un punto común ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

De esta ecuación se obtiene el producto escalar de los gradientes en un punto común

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

lo que demuestra la ortogonalidad.

Elipsoide con líneas de curvatura como curvas de intersección con hiperboloides confocales
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6}$

Aplicaciones:
Debido al teorema de Dupin sobre sistemas ortogonales triples de superficies, la curva de intersección de dos cuádricas confocales cualesquiera es una línea de curvatura . De manera análoga a las coordenadas elípticas planas existen coordenadas elipsoidales .

En física, los elipsoides confocales aparecen como superficies equipotenciales de un elipsoide cargado. ^[6]

Teorema de Ivory

Teorema de Ivory

El teorema de Ivory (o lema de Ivory ), ^[7] llamado así en honor al matemático y astrónomo escocés James Ivory (1765-1842), es un enunciado sobre las diagonales de un rectángulo neto , un cuadrángulo formado por curvas ortogonales:

Para cualquier rectángulo neto, que está formado por dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos, las diagonales tienen la misma longitud (ver diagrama).

Puntos de intersección de una elipse y una hipérbola confocal:
Sea la elipse con los focos y la ecuación ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

y la hipérbola confocal con ecuación ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

Calculando los puntos de intersección de y se obtienen los cuatro puntos: ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

Diagonales de una red-rectángulo:
Para simplificar el cálculo, supongamos sin pérdida de generalidad (cualquier otra red confocal puede obtenerse mediante escalado uniforme) y entre las cuatro intersecciones entre una elipse y una hipérbola escojamos aquellas en el cuadrante positivo (otras combinaciones de signos dan el mismo resultado después de un cálculo análogo). ${\displaystyle c=1}$

Sean dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos. Las diagonales de los cuatro puntos del rectángulo formado por los puntos ${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$ ${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

son:

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

La última expresión es invariante bajo el cambio . Precisamente este cambio conduce a . Por lo tanto ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$ ${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$ ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

La prueba de la afirmación para las parábolas confocales es un cálculo sencillo.

Ivory incluso demostró la versión tridimensional de su teorema (s. Blaschke, p. 111):

Para un cuboide rectangular tridimensional formado por cuadráticos confocales, las diagonales que conectan puntos opuestos tienen la misma longitud.

Véase también

• Círculos apolíneos
• Focaloide

Referencias

1. Hilbert y Cohn-Vossen 1952, pág. 6.
2. Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlín, 1926, pág.32.
3. Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Matemáticas. Ana. 20, 147–184 (1882)
4. Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grados. Matemáticas. Ana. 27, 253–271 (1886).
5. Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ana. 50, 398 – 428 (1898)
6. D. Fuchs , S. Tabachnikov : Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlín/Heidelberg 2011, ISBN  978-3-642-12959-9 , pág. 480.
7. Ivory lo utilizó como lema para demostrar el teorema de que las superficies equipotenciales del campo gravitacional externo a un elipsoide triaxial homogéneo son los elipsoides confocales.

• Blaschke, Wilhelm (1954). "VI. Konfokale Quadriken" [Cuádricas confocales]. Analytische Geometrie [ Geometría analítica ] (en alemán). Basilea: Springer. págs. 108-132.
• Glaeser, Georg; Stachel, Hellmuth; Odehnal, Boris (2016). "2. Plano euclidiano". El universo de las cónicas . Saltador. págs. 11–60. doi :10.1007/978-3-662-45450-3_2. ISBN 978-3-662-45449-7.Véase también "10. Otras geometrías", doi :10.1007/978-3-662-45450-3_10.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "§1.4 La construcción de hilos del elipsoide y las cuadráticas confocales" , Geometry and the Imagination , Chelsea, págs. 19–25
• Odehnal, Boris; Stachel, Hellmuth; Glaeser, Georg (2020). "7. Cuadricas confocales". El Universo de las Cuádricas . Saltador. págs. 279–325. doi :10.1007/978-3-662-61053-4_7. ISBN 978-3-662-61052-7.S2CID242527367  .​
• Ernesto Pascal : Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlín 1910, pág. 257.
• A. Robson: Introducción a la geometría analítica , vol. I, Cambridge, University Press, 1940, pág. 157.
• Sommerville, Duncan MacLaren Young (1934). "XII. Focos y propiedades focales" . Geometría analítica de tres dimensiones . Cambridge University Press. págs. 224–250.

Enlaces externos

• T. Hofmann: Miniscripcion de Geometria diferencial I, p. 48
• B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 y siguientes).
• H. Walser: Konforme Abbildungen. pag. 8.