teorema de dupin

Superficies ortogonales que pasan por un punto.

Dos planos (púrpura, azul) como miembros de un sistema ortogonal triple se cruzan con un cilindro en las líneas de curvatura (círculo azul, línea púrpura)

En geometría diferencial el teorema de Dupin , llamado así en honor al matemático francés Charles Dupin , es el enunciado: ^[1]

• La curva de intersección de cualquier par de superficies de diferentes lápices de un sistema ortogonal triple es una línea de curvatura .

Un sistema triple ortogonal de superficies consta de tres lápices de superficies tales que cualquier par de superficies de diferentes lápices se cruzan ortogonalmente.

El ejemplo más simple de un sistema ortogonal triple consta de los planos coordenados y sus paralelos. Pero este ejemplo no tiene ningún interés porque un plano no tiene líneas de curvatura.

Un ejemplo simple con al menos un lápiz de superficies curvas: 1) todos los cilindros circulares rectos con el eje z como eje, 2) todos los planos que contienen el eje z, 3) todos los planos horizontales (ver diagrama).

Una línea de curvatura es una curva en una superficie, que tiene en cualquier punto la dirección de una curvatura principal (curvatura máxima o mínima). El conjunto de líneas de curvatura de un cilindro circular recto está formado por el conjunto de círculos (curvatura máxima) y las líneas (curvatura mínima). Un plano no tiene líneas de curvatura, porque cualquier curvatura normal es cero. Por lo tanto, sólo son de interés las líneas de curvatura del cilindro: un plano horizontal corta a un cilindro en un círculo y un plano vertical tiene líneas en común con el cilindro.

La idea de sistemas ortogonales triples puede verse como una generalización de trayectorias ortogonales . Ejemplos especiales son los sistemas de secciones cónicas confocales .

Solicitud

El teorema de Dupin es una herramienta para determinar las líneas de curvatura de una superficie mediante la intersección con superficies adecuadas (ver ejemplos), sin cálculos de derivadas y curvaturas principales que requieren mucho tiempo. El siguiente ejemplo muestra que la incrustación de una superficie en un sistema ortogonal triple no es única.

Ejemplos

Cono circular recto

Dado: Un cono circular recto, verde en el diagrama.
Se busca: Las líneas de curvatura.

sistema ortogonal (púrpura, verde, azul) de superficies para el cono (verde), líneas de curvatura: verde, rojo

1. lápiz : desplazar el cono C dado con el vértice S a lo largo de su eje genera un lápiz de conos (verde).
2. lápiz : Conos con vértices en el eje del cono dado de modo que las líneas sean ortogonales a las líneas del cono dado (azul).
3. lápiz : Planos a través del eje del cono (púrpura).

Estos tres lápices de superficies son un sistema ortogonal de superficies. Los conos azules cruzan el cono C dado en un círculo (rojo). Los planos violetas se cruzan en las líneas del cono C (verde).

Alternativa con esferas

Los puntos del espacio pueden describirse mediante las coordenadas esféricas . Se establece S=M=origen. ${\displaystyle (r,\varphi ,\theta )}$

1. lápiz: Conos con el punto S como vértice y sus ejes son el eje del cono dado C (verde): . 2. lápiz: Esferas centradas en M=S (azul): 3. lápiz: Planos que pasan por el eje del cono C (púrpura): . ${\displaystyle (r,\varphi ,\theta _{0})}$
${\displaystyle (r_{0},\varphi ,\theta )}$
${\displaystyle (r,\varphi _{0},\theta )}$

Toro

Sistema ortogonal (morado, verde, azul) de superficies para un toro (verde)
Líneas de curvatura: verde, rojo

1. lápiz : Tori con la misma directriz (verde).
2. lápiz : Conos que contienen el círculo directriz del toroide con vértices en el eje del toroide (azul).
3. lápiz : Planos que contienen el eje del toro dado (violeta).

Los conos azules cruzan el toroide en círculos horizontales (rojo). Los planos violetas se cruzan en círculos verticales (verde).

Las líneas de curvatura de un toroide generan una red de círculos ortogonales.

Un toro contiene más círculos: los círculos de Villarceau , que no son líneas de curvatura.

Superficie de revolución

Sistema ortogonal para una superficie de revolución (verde)

Por lo general, una superficie de revolución está determinada por una curva plana generadora (meridiano) . Al girar alrededor del eje se genera la superficie de revolución. El método utilizado para un cono y un toro se puede extender a una superficie de revolución: ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m_{0}}$

1. lápiz : Superficies paralelas a la superficie de revolución dada.
2. lápiz : Conos con ápices en el eje de revolución con generadores ortogonales a la superficie dada (azul).
3. lápiz : Planos que contienen el eje de revolución (morado).

Los conos cortan la superficie de revolución en círculos (rojo). Los planos violetas se cruzan en los meridianos (verde). Por eso:

• Las líneas de curvatura de una superficie de revolución son los círculos horizontales y los meridianos.

Cuádricas confocales

Elipsoide con líneas de curvatura.

Hiperboloide con líneas de curvatura.

El artículo Secciones cónicas confocales también trata sobre cuádricas confocales. Son un ejemplo destacado de un sistema ortogonal de superficies no trivial. El teorema de Dupin muestra que

Las líneas de curvatura de cualquiera de los cuádricos se pueden ver como las curvas de intersección con las cuádricas de los otros lápices (ver diagramas).

Las cuádricas confocales nunca son cuádricas rotacionales, por lo que el resultado en superficies de revolución (arriba) no se puede aplicar. Las líneas de curvatura son curvas ig de grado 4. (¡Las líneas de curvatura de las cuádricas rotacionales son siempre secciones cónicas!)

Elipsoide (ver diagrama)

Semiejes: . Las líneas de curvatura son secciones con hiperboloides de una lámina (azul) y dos (púrpura) . Los puntos rojos son puntos umbilicales . ${\displaystyle \;a=1,\;b=0.8,\;c=0.6\;}$

Hiperboloide de una hoja (ver diagrama)

Semiejes: . Las líneas de curvatura son intersecciones con elipsoides (azul) e hiperboloides de dos láminas (púrpura). ${\displaystyle \;a=0.67,\;b=0.3,\;c=0.44\;}$

Ciclides de Dupin

Cíclico anular con sus cónicas focales (rojo oscuro: elipse, azul oscuro: hipérbola). Púrpura: normal a la superficie y línea común de los dos conos en el punto P

Un ciclido de Dupin y sus paralelos están determinados por un par de secciones cónicas focales. El diagrama muestra un cíclido anular junto con sus secciones cónicas focales (elipse: rojo oscuro, hipérbola: azul oscuro). El cíclido puede verse como miembro de un sistema ortogonal de superficies:

1. lápiz : superficies paralelas del cíclido.
2. lápiz: conos circulares rectos que pasan por la elipse (sus vértices están en la hipérbola)
3. lápiz: conos circulares rectos que pasan por la hipérbola (sus vértices están en la elipse)

La característica especial de un cíclido es la propiedad:

Las líneas de curvatura de un cíclido de Dupin son círculos .

Prueba del teorema de Dupin

Cualquier punto a considerar está contenido exactamente en una superficie de cualquier lápiz del sistema ortogonal. Los tres parámetros que describen estas tres superficies pueden considerarse como nuevas coordenadas. Por tanto, cualquier punto puede representarse por: ${\displaystyle u,v,w}$

${\displaystyle x=x(u,v,w)}$

${\displaystyle y=y(u,v,w)}$

${\displaystyle z=z(u,v,w)\quad }$o en breve: ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w)\;.}$

Para el ejemplo (cilindro) del ejemplo, las nuevas coordenadas son el radio del cilindro real, el ángulo entre el plano vertical y el eje x y la altura del plano horizontal. Por tanto, pueden considerarse como las coordenadas del cilindro del punto de consideración. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle r,\varphi ,\zeta }$

La condición "las superficies se cruzan ortogonalmente" en un punto significa que las normales de las superficies son ortogonales por pares. Esto es cierto, si ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v,w)}$ ${\displaystyle \;{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{v}\times {\vec {x}}_{w},\;{\vec {x}}_{w}\times {\vec {x}}_{u}}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{u},\;{\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{w}\quad }$son ortogonales por pares. Esta propiedad se puede verificar con la ayuda de la identidad de Lagrange .

Por eso

(1) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}=0,\quad {\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{u}=0\;.}$

Al derivar estas ecuaciones para la variable, que no está contenida en la ecuación, se obtiene

${\displaystyle {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}+{\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{uw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}+{\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;.}$

Resolver este sistema lineal para los tres productos escalares que aparecen produce:

(2) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}=0,\quad {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}=0\;.}$

De (1) y (2) : Los tres vectores son ortogonales al vector y, por lo tanto, son linealmente dependientes (están contenidos en un plano común), lo que se puede expresar mediante: ${\displaystyle {\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v},{\vec {x}}_{uv}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{w}}$

(3) ${\displaystyle \quad \det({\vec {x}}_{uv},{\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v})=0\;.}$

De la ecuación (1) se obtiene (coeficiente de la primera forma fundamental ) y de la ecuación (3) : (coeficiente de la segunda forma fundamental ) de la superficie . ${\displaystyle F=0}$
${\displaystyle M=0}$ ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w_{0})}$

Consecuencia: Las curvas de parámetros son líneas de curvatura.

El resultado análogo para las otras dos superficies que pasan por el punto también es cierto. ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v_{0},w_{0})}$

Referencias

1. W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie 1 , Springer-Verlag, 1921, pág.63

• HSM Coxeter : Introducción a la geometría , Wiley, 1961, págs.11, 258.
• Cap. Dupin: Développements de géométrie , París 1813.
• F. Klein : Vorlesungen über Höhere Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3642886744 , pág. 9.
• Ludwig Schläfli : Über die allgemeinste Flächenschar zweiten Grades, die mit irgend zwei anderen Flächenscharen ein orthogonales System bildet , en L. Schläfli: Gesammelte mathematische Abhandlungen p. 163, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034841167 . 
• J. Weingarten : Über die Bedingung, unter welcher eine Flächenfamilie einem orthogonalen Flächensystem angehört. , Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1877, Heft 83, págs. 1–12, ISSN (en línea) 1435–5345, ISSN (impreso) 0075–4102.
• TJ Willmore: Introducción a la geometría diferencial , Courier Corporation, 2013, ISBN 0486282104 , p. 295.