En física , una red de espín es un tipo de diagrama que se puede utilizar para representar estados e interacciones entre partículas y campos en mecánica cuántica . Desde una perspectiva matemática , los diagramas son una forma concisa de representar funciones multilineales y funciones entre representaciones de grupos de matrices . La notación diagramática puede, por tanto, simplificar enormemente los cálculos.
Roger Penrose describió las redes de espín en 1971. [1] Desde entonces, las redes de espín se han aplicado a la teoría de la gravedad cuántica por Carlo Rovelli , Lee Smolin , Jorge Pullin , Rodolfo Gambini y otros.
Las redes de espín también se pueden utilizar para construir una función particular en el espacio de conexiones que sea invariante ante transformaciones de calibre locales .
Una red de espín, como se describe en Penrose (1971), [1] es un tipo de diagrama en el que cada segmento de línea representa la línea del mundo de una "unidad" (ya sea una partícula elemental o un sistema compuesto de partículas). Tres segmentos de línea se unen en cada vértice. Un vértice puede interpretarse como un evento en el que una sola unidad se divide en dos o dos unidades chocan y se unen en una sola unidad. Los diagramas cuyos segmentos de línea están todos unidos en los vértices se denominan redes de espín cerradas . El tiempo puede verse como si transcurriera en una dirección, como desde la parte inferior hasta la parte superior del diagrama, pero para las redes de espín cerradas la dirección del tiempo es irrelevante para los cálculos.
Cada segmento de línea está etiquetado con un número entero llamado número de espín . Una unidad con número de espín n se llama n- unidad y tiene un momento angular nħ/2 , donde ħ es la constante de Planck reducida . Para los bosones , como los fotones y los gluones , n es un número par. Para los fermiones , como los electrones y los quarks , n es impar.
Dada cualquier red de espín cerrada, se puede calcular un entero no negativo que se denomina norma de la red de espín. Las normas se pueden utilizar para calcular las probabilidades de varios valores de espín. Una red cuya norma es cero tiene una probabilidad de ocurrencia cero. Las reglas para calcular normas y probabilidades están fuera del alcance de este artículo. Sin embargo, implican que para que una red de espín tenga una norma distinta de cero, se deben cumplir dos requisitos en cada vértice. Supongamos que un vértice une tres unidades con números de espín a , b y c . Entonces, estos requisitos se establecen como:
Por ejemplo, a = 3, b = 4, c = 6 es imposible ya que 3 + 4 + 6 = 13 es impar, y a = 3, b = 4, c = 9 es imposible ya que 9 > 3 + 4. Sin embargo, a = 3, b = 4, c = 5 es posible ya que 3 + 4 + 5 = 12 es par, y se cumple la desigualdad triangular. Algunas convenciones utilizan etiquetas con semienteros, con la condición de que la suma a + b + c debe ser un número entero.
Formalmente, una red de espín puede definirse como un gráfico (dirigido) cuyos bordes están asociados con representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto y cuyos vértices están asociados con entrelazadores de las representaciones de los bordes adyacentes a él.
Una red de espín, inmersa en una variedad, puede utilizarse para definir un funcional en el espacio de conexiones de esta variedad. Se calculan holonomías de la conexión a lo largo de cada vínculo (camino cerrado) del grafo, se determinan matrices de representación correspondientes a cada vínculo, se multiplican todas las matrices y entrelazadores y se contraen los índices de una manera prescrita. Una característica notable del funcional resultante es que es invariante bajo transformaciones de calibre locales .
En la gravedad cuántica de bucles (LQG), una red de espín representa un "estado cuántico" del campo gravitatorio en una hipersuperficie tridimensional . El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más exactamente, " nudos s ", es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos ) es contable ; constituye una base del espacio de Hilbert de LQG .
Uno de los resultados clave de la gravedad cuántica de bucles es la cuantificación de áreas: el operador del área A de una superficie bidimensional Σ debería tener un espectro discreto . Cada red de espín es un estado propio de cada uno de esos operadores, y el valor propio del área es igual a
donde la suma recorre todas las intersecciones i de Σ con la red de espín. En esta fórmula,
Según esta fórmula, el valor propio distinto de cero más bajo posible del operador de área corresponde a un vínculo que lleva una representación de espín 1/2. Suponiendo un parámetro de Immirzi del orden de 1, esto da el área medible más pequeña posible de ~10 −66 cm 2 .
La fórmula para los valores propios del área se vuelve algo más complicada si se permite que la superficie pase a través de los vértices, como sucede con los modelos de difusión anómala. Además, los valores propios del operador de área A están limitados por la simetría en escalera.
Una cuantificación similar se aplica al operador de volumen. El volumen de una subvariedad 3D que contiene parte de una red de espín está dado por la suma de las contribuciones de cada nodo dentro de ella. Se puede pensar que cada nodo en una red de espín es un "cuanto de volumen" elemental y cada vínculo es un "cuanto de área" que rodea este volumen.
Se pueden hacer construcciones similares para teorías de calibración generales con un grupo de Lie compacto G y una forma de conexión . En realidad, se trata de una dualidad exacta sobre una red. Sin embargo, sobre una variedad , se necesitan supuestos como la invariancia del difeomorfismo para que la dualidad sea exacta (difuminar los bucles de Wilson es complicado). Más tarde, Robert Oeckl la generalizó a representaciones de grupos cuánticos en 2 y 3 dimensiones utilizando la dualidad de Tannaka-Krein .
Michael A. Levin y Xiao-Gang Wen también han definido redes de cuerdas utilizando categorías tensoriales que son objetos muy similares a las redes de espín. Sin embargo, la conexión exacta con las redes de espín aún no está clara. La condensación de redes de cuerdas produce estados ordenados topológicamente en materia condensada.
En matemáticas, las redes de espín se han utilizado para estudiar módulos de madejas y variedades de caracteres , que corresponden a espacios de conexiones .
