En matemáticas , los diagramas de trazas son un medio gráfico para realizar cálculos en álgebra lineal y multilineal . Se pueden representar como gráficos (ligeramente modificados) en los que algunas aristas están etiquetadas por matrices . Los diagramas de trazas más simples representan la traza y el determinante de una matriz. Varios resultados en álgebra lineal, como la regla de Cramer y el teorema de Cayley-Hamilton , tienen demostraciones diagramáticas simples. Están estrechamente relacionados con la notación gráfica de Penrose .
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo F (con n ≥2), y sea Hom( V , V ) las transformaciones lineales sobre V . Un diagrama de n -trazas es un grafo , donde los conjuntos V i ( i = 1, 2, n ) están compuestos por vértices de grado i , junto con las siguientes estructuras adicionales:
Tenga en cuenta que V 2 y V n deben considerarse conjuntos distintos en el caso de n = 2. Un diagrama de traza enmarcado es un diagrama de traza junto con una partición de los vértices de grado 1 V 1 en dos colecciones ordenadas disjuntas llamadas entradas y salidas .
El "gráfico" subyacente a un diagrama de traza puede tener las siguientes características especiales, que no siempre están incluidas en la definición estándar de un gráfico:
Cada diagrama de trazas enmarcado corresponde a una función multilineal entre potencias tensoriales del espacio vectorial V . Los vértices de grado 1 corresponden a las entradas y salidas de la función, mientras que los vértices de grado n corresponden al símbolo generalizado de Levi-Civita (que es un tensor antisimétrico relacionado con el determinante ). Si un diagrama no tiene hebras de salida, su función asigna productos tensoriales a un escalar. Si no hay vértices de grado 1, se dice que el diagrama está cerrado y su función correspondiente puede identificarse con un escalar.
Por definición, la función de un diagrama de trazas se calcula utilizando la coloración de gráficos con signo . Para cada coloración de los bordes del gráfico mediante n etiquetas, de modo que no haya dos bordes adyacentes al mismo vértice que tengan la misma etiqueta, se asigna un peso basado en las etiquetas de los vértices y las etiquetas adyacentes a las etiquetas de la matriz. Estos pesos se convierten en los coeficientes de la función del diagrama.
En la práctica, la función de un diagrama de trazas se calcula normalmente descomponiendo el diagrama en partes más pequeñas cuyas funciones se conocen. La función general se puede calcular luego recomponiendo las funciones individuales.
Varias identidades vectoriales tienen demostraciones sencillas mediante diagramas de trazas. Esta sección cubre los diagramas de 3 trazas. En la traducción de diagramas a funciones, se puede demostrar que las posiciones de las ciliaciones en los vértices de grado 3 no tienen influencia en la función resultante, por lo que se pueden omitir.
Se puede demostrar que el producto vectorial y el producto escalar de vectores tridimensionales se representan mediante
En esta imagen, las entradas de la función se muestran como vectores en cuadros amarillos en la parte inferior del diagrama. El diagrama de producto vectorial tiene un vector de salida, representado por la hebra libre en la parte superior del diagrama. El diagrama de producto escalar no tiene un vector de salida; por lo tanto, su salida es un escalar.
Como primer ejemplo, considere la identidad del triple producto escalar
Para demostrarlo diagramáticamente, observe que todas las siguientes figuras son representaciones diferentes del mismo diagrama de 3 trazas (como se especifica en la definición anterior):
Combinando los diagramas anteriores para el producto vectorial y el producto escalar, se pueden leer los tres diagramas más a la izquierda como precisamente los tres productos triples escalares más a la izquierda en la identidad anterior. También se puede demostrar que el diagrama más a la derecha representa det[ u v w ]. La identidad del producto triple escalar se deduce porque cada uno es una representación diferente de la función del mismo diagrama.
Como segundo ejemplo, se puede demostrar que
(donde la igualdad indica que la identidad se cumple para las funciones multilineales subyacentes). Se puede demostrar que este tipo de identidad no cambia "doblando" el diagrama o adjuntando más diagramas, siempre que los cambios sean consistentes en todos los diagramas de la identidad. Por lo tanto, se puede doblar la parte superior del diagrama hacia abajo y adjuntar vectores a cada uno de los bordes libres para obtener
que dice
una identidad bien conocida que relaciona cuatro vectores tridimensionales.
Los diagramas cerrados más simples con una sola etiqueta de matriz corresponden a los coeficientes del polinomio característico , hasta un factor escalar que depende únicamente de la dimensión de la matriz. A continuación se muestra una representación de estos diagramas, donde se utiliza para indicar la igualdad hasta un factor escalar que depende únicamente de la dimensión n del espacio vectorial subyacente.
.Sea G el grupo de matrices n×n. Si un diagrama de trazas cerrado está etiquetado por k matrices diferentes, puede interpretarse como una función de a un álgebra de funciones multilineales. Esta función es invariante bajo conjugación simultánea , es decir, la función correspondiente a es la misma que la función correspondiente a para cualquier invertible .
Los diagramas de trazas pueden especializarse para grupos de Lie particulares modificando ligeramente la definición. En este contexto, a veces se los denomina "trazas de pájaros", "diagramas tensoriales" o "notación gráfica de Penrose" .
Los diagramas de trazas han sido utilizados principalmente por los físicos como una herramienta para estudiar los grupos de Lie . Las aplicaciones más comunes utilizan la teoría de la representación para construir redes de espín a partir de diagramas de trazas. En matemáticas, se han utilizado para estudiar variedades de caracteres .
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