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Red tensorial

Las redes tensoriales o estados de redes tensoriales son una clase de funciones de onda variacionales utilizadas en el estudio de sistemas cuánticos de muchos cuerpos [1] y fluidos. [2] [3] Las redes tensoriales extienden los estados de productos matriciales unidimensionales a dimensiones superiores, al tiempo que conservan algunas de sus propiedades matemáticas útiles. [4]

Dos redes tensoriales
Dos representaciones de redes tensoriales diferentes de un único tensor de 7 índices (ambas redes se pueden contraer con 7 índices libres restantes). La inferior se puede derivar de la superior realizando una contracción en los tres tensores de 3 índices (en amarillo) y fusionándolos.

La función de onda se codifica como una contracción tensorial de una red de tensores individuales . [5] La estructura de los tensores individuales puede imponer simetrías globales en la función de onda (como la antisimetría bajo intercambio de fermiones ) o restringir la función de onda a números cuánticos específicos , como la carga total , el momento angular o el espín . También es posible derivar límites estrictos en cantidades como el entrelazamiento y la longitud de correlación utilizando la estructura matemática de la red tensorial. [6] Esto ha hecho que las redes tensoriales sean útiles en estudios teóricos de información cuántica en sistemas de muchos cuerpos . También han demostrado ser útiles en estudios variacionales de estados fundamentales , estados excitados y dinámica de sistemas de muchos cuerpos fuertemente correlacionados . [7]

Notación diagramática

En general, un diagrama de red tensorial (diagrama de Penrose) puede verse como un gráfico donde los nodos (o vértices) representan tensores individuales, mientras que las aristas representan la suma sobre un índice. Los índices libres se representan como aristas (o patas ) unidas a un solo vértice. [8] A veces, la forma de un nodo también tiene un significado adicional. Por ejemplo, se pueden usar trapecios para matrices unitarias o tensores con un comportamiento similar. De esta manera, los trapecios invertidos se interpretarían como conjugados complejos de ellos.

Historia

La investigación fundamental sobre redes tensoriales comenzó en 1971 con un artículo de Roger Penrose . [9] En “Aplicaciones de tensores de dimensión negativa”, Penrose desarrolló la notación de diagramas tensoriales , describiendo cómo el lenguaje diagramático de las redes tensoriales podría usarse en aplicaciones en física. [10]

En 1992, Steven R. White desarrolló el Grupo de Renormalización de la Matriz de Densidad (DMRG) para sistemas de redes cuánticas. [11] [4] El DMRG fue la primera red tensorial exitosa y el primer algoritmo asociado. [12]

En 2002, Guifre Vidal y Reinhard Werner intentaron cuantificar el entrelazamiento, sentando las bases para las teorías de recursos cuánticos. [13] [14] Esta fue también la primera descripción del uso de redes tensoriales como herramientas matemáticas para describir sistemas cuánticos. [10]

En 2004, Frank Verstraete e Ignacio Cirac desarrollaron la teoría de estados de producto matricial, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupo de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico. [15] [4]


En 2006, Vidal desarrolló el modelo de renormalización de entrelazamiento multiescala (MERA). [16] En 2007 desarrolló la renormalización de entrelazamiento para sistemas de red cuántica. [17]


En 2010, Ulrich Schollwock desarrolló el grupo de renormalización de matriz de densidad para la simulación de sistemas reticulares cuánticos unidimensionales fuertemente correlacionados. [18]

En 2014, Román Orús introdujo redes tensoriales para sistemas cuánticos complejos y aprendizaje automático, así como teorías de redes tensoriales de simetrías, fermiones, entrelazamiento y holografía. [1] [19]

Conexión con el aprendizaje automático

Las redes tensoriales se han adaptado para el aprendizaje supervisado [20] , aprovechando la estructura matemática similar en estudios variacionales en mecánica cuántica y aprendizaje automático a gran escala . Este cruce ha estimulado la colaboración entre investigadores en inteligencia artificial y ciencia de la información cuántica . En junio de 2019, Google , el Perimeter Institute for Theoretical Physics y X (company) lanzaron TensorNetwork, [21] una biblioteca de código abierto para cálculos tensoriales eficientes. [22]

El principal interés en las redes tensoriales y su estudio desde la perspectiva del aprendizaje automático es reducir el número de parámetros entrenables (en una capa) mediante la aproximación de un tensor de orden superior con una red de parámetros de orden inferior. Utilizando la llamada técnica de tren de tensores (TT), [23] se puede reducir un tensor de orden N (que contiene exponencialmente muchos parámetros entrenables) a una cadena de N tensores de orden 2 o 3, lo que nos da un número polinomial de parámetros.

Técnica del tren tensor

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Orús, Román (5 de agosto de 2019). "Redes tensoriales para sistemas cuánticos complejos". Nature Reviews Physics . 1 (9): 538–550. arXiv : 1812.04011 . Código Bibliográfico :2019NatRP...1..538O. doi :10.1038/s42254-019-0086-7. ISSN  2522-5820. S2CID  118989751.
  2. ^ Gourianov, Nikita; Lubasch, Michael; Dolgov, Sergey; van den Berg, Quincy Y.; Babaee, Hessam; Givi, Peyman; Kiffner, Martin; Jaksch, Dieter (1 de enero de 2022). "Un enfoque de inspiración cuántica para explotar estructuras de turbulencia". Nature Computational Science . 2 (1): 30–37. doi :10.1038/s43588-021-00181-1. ISSN  2662-8457. PMID  38177703.
  3. ^ Gourianov, Nikita; Givi, Peyman; Jaksch, Dieter; Pope, Stephen B. (2024). "Las redes tensoriales permiten el cálculo de distribuciones de probabilidad de turbulencia". arXiv : 2407.09169 [physics.flu-dyn].
  4. ^ abc Orús, Román (1 de octubre de 2014). "Una introducción práctica a las redes tensoriales: Estados de producto de matriz y estados de pares entrelazados proyectados". Anales de Física . 349 : 117–158. arXiv : 1306.2164 . Código Bibliográfico :2014AnPhy.349..117O. doi :10.1016/j.aop.2014.06.013. ISSN  0003-4916. S2CID  118349602.
  5. ^ Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (31 de julio de 2017). "Redes tensoriales en pocas palabras". arXiv : 1708.00006 [quant-ph].
  6. ^ Verstraete, F.; Wolf, MM; Pérez-García, D.; Cirac, JI (6 de junio de 2006). "Criticidad, la ley del área y el poder computacional de los estados proyectados de pares entrelazados". Physical Review Letters . 96 (22): 220601. arXiv : quant-ph/0601075 . Bibcode :2006PhRvL..96v0601V. doi :10.1103/PhysRevLett.96.220601. hdl : 1854/LU-8590963 . PMID  16803296. S2CID  119396305.
  7. ^ Montangero, Simone (28 de noviembre de 2018). Introducción a los métodos de redes tensoriales: simulaciones numéricas de sistemas cuánticos de muchos cuerpos de baja dimensión. Cham, Suiza. ISBN 978-3-030-01409-4.OCLC 1076573498  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
  8. ^ "La red tensora". Red tensora . Consultado el 30 de julio de 2022 .
  9. ^ Roger Penrose, "Aplicaciones de tensores de dimensión negativa", en Combinatorial Mathematics and its Applications , Academic Press (1971). Véase Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-variedades (1994), De Gruyter, p. 71 para un breve comentario.
  10. ^ ab Biamonte, Jacob (1 de abril de 2020). "Conferencias sobre redes tensoriales cuánticas". arXiv : 1912.10049 [quant-ph].
  11. ^ White, Steven (9 de noviembre de 1992). "Formulación de matriz de densidad para grupos de renormalización cuántica". Physical Review Letters . 69 (19). doi :10.1103/PhysRevLett.69.2863 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  12. ^ "Tensor Networks Group" . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  13. ^ Thomas, Jessica (2 de marzo de 2020). "50 años de Physical Review A: el legado de tres clásicos" . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  14. ^ Vidal, Guifre; Werner, Reinhard (9 de noviembre de 1992). "Medida computable de entrelazamiento". Physical Review Letters A . 65 (3). doi :10.1103/PhysRevA.65.032314 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  15. ^ Verstraete, Frank; Cirac, Ignacio (9 de mayo de 2007). "Estados de producto de matriz, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupos de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico". Avances en física . 57 (2): 143-224. arXiv : 0907.2796 . doi :10.1080/14789940801912366 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  16. ^ Vidal, Guifre; Werner, Reinhard (12 de septiembre de 2008). "Clase de estados cuánticos de muchos cuerpos que pueden simularse de manera eficiente". Physical Review Letters . 101 (11). arXiv : quant-ph/0610099 . doi :10.1103/PhysRevLett.101.110501 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  17. ^ Vidal, Guifre (9 de diciembre de 2009). "Renormalización del entrelazamiento: una introducción". arXiv : 0912.1651 [quant-ph].
  18. ^ Schollwock, Ulrich (20 de agosto de 2010). "El grupo de renormalización de la matriz de densidad en la era de los estados de producto de la matriz". Anales de Física . 326 (1): 96-192. arXiv : 1008.3477 . doi :10.1016/j.aop.2010.09.012 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  19. ^ Orús, Román (26 Nov 2014). "Avances en la teoría de redes tensoriales: simetrías, fermiones, entrelazamiento y holografía". The European Physical Journal B . 87 (280). arXiv : 1407.6552 . doi :10.48550/arXiv.1407.6552 . Consultado el 24 de octubre de 2024 .
  20. ^ Stoudenmire, E. Miles; Schwab, David J. (18 de mayo de 2017). "Aprendizaje supervisado con redes tensoriales de inspiración cuántica". Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal . 29 : 4799. arXiv : 1605.05775 .
  21. ^ google/TensorNetwork, 30 de enero de 2021 , consultado el 2 de febrero de 2021
  22. ^ "Presentación de TensorNetwork, una biblioteca de código abierto para cálculos tensoriales eficientes". Blog de Google AI . 4 de junio de 2019 . Consultado el 2 de febrero de 2021 .
  23. ^ Oseledets, IV (1 de enero de 2011). "Descomposición de tren tensorial". Revista SIAM de informática científica . 33 (5): 2295–2317. Bibcode :2011SJSC...33.2295O. doi :10.1137/090752286. ISSN  1064-8275. S2CID  207059098.