En matemáticas y física , la notación gráfica de Penrose o notación de diagrama tensorial es una representación visual (generalmente escrita a mano) de funciones multilineales o tensores propuesta por Roger Penrose en 1971. [1] Un diagrama en la notación consta de varias formas unidas entre sí por líneas.
La notación aparece ampliamente en la teoría cuántica moderna , particularmente en estados de producto matricial y circuitos cuánticos . En particular, la mecánica cuántica categórica (que incluye el cálculo ZX ) es una reformulación completamente integral de la teoría cuántica en términos de diagramas de Penrose.
La notación ha sido estudiada extensamente por Predrag Cvitanović , quien la utilizó, junto con los diagramas de Feynman y otras notaciones relacionadas en el desarrollo de "birdtracks", un diagrama de teoría de grupos para clasificar los grupos de Lie clásicos . [2] La notación de Penrose también se ha generalizado utilizando la teoría de la representación para espín redes en física, y con la presencia de grupos de matrices para trazar diagramas en álgebra lineal .
En el lenguaje del álgebra multilineal , cada forma representa una función multilineal . Las líneas unidas a las formas representan las entradas o salidas de una función, y unir formas de alguna manera es esencialmente la composición de funciones .
En el lenguaje del álgebra tensorial , un tensor particular está asociado con una forma particular con muchas líneas que se proyectan hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a los índices superior e inferior abstractos de los tensores respectivamente. La conexión de líneas entre dos formas corresponde a la contracción de los índices . Una ventaja de esta notación es que uno no tiene que inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación también es explícitamente independiente de la base . [3]
Cada forma representa una matriz, y la multiplicación de tensores se realiza horizontalmente, y la multiplicación de matrices se realiza verticalmente.
El tensor métrico se representa mediante un bucle en forma de U o un bucle en forma de U invertida, dependiendo del tipo de tensor que se utilice.
El tensor antisimétrico de Levi-Civita está representado por una barra horizontal gruesa con palos apuntando hacia abajo o hacia arriba, dependiendo del tipo de tensor que se utilice.
Las constantes de estructura ( ) de un álgebra de Lie están representadas por un pequeño triángulo con una línea apuntando hacia arriba y dos líneas apuntando hacia abajo.
La contracción de los índices se representa uniendo las líneas del índice.
La simetrización de los índices se representa mediante una barra gruesa en zigzag u ondulada que cruza las líneas del índice horizontalmente.
La antisimetrización de los índices se representa mediante una línea recta gruesa que cruza las líneas de índice horizontalmente.
El determinante se forma aplicando antisimetrización a los índices.
La derivada covariante ( ) se representa mediante un círculo alrededor del tensor o tensores a diferenciar y una línea que se une desde el círculo apuntando hacia abajo para representar el índice inferior de la derivada.
La notación diagramática es útil para manipular el álgebra tensorial. Generalmente implica unas cuantas " identidades " simples de manipulaciones tensoriales.
Por ejemplo, , donde n es el número de dimensiones, es una "identidad" común.
Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de la notación.
La notación se ha ampliado con soporte para espinores y twistores . [4] [5]
