Contracción tensorial

Operación en matemáticas y física

En álgebra multilineal , una contracción de tensor es una operación sobre un tensor que surge del emparejamiento canónico de un espacio vectorial y su dual . En componentes, se expresa como una suma de productos de componentes escalares del tensor(es) causada por la aplicación de la convención de suma a un par de índices ficticios que están ligados entre sí en una expresión. La contracción de un único tensor mixto ocurre cuando un par de índices literales (uno un subíndice, el otro un superíndice) del tensor se igualan entre sí y se suman. En la notación de Einstein, esta suma está incorporada en la notación. El resultado es otro tensor con orden reducido en 2.

La contracción del tensor puede verse como una generalización de la traza .

Formulación abstracta

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k . El núcleo de la operación de contracción, y el caso más simple, es el emparejamiento canónico de V con su espacio vectorial dual V ^∗ . El emparejamiento es la función lineal del producto tensorial de estos dos espacios sobre el cuerpo k :

${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$

correspondiente a la forma bilineal

${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$

donde f está en V ^∗ y v está en V . La función C define la operación de contracción sobre un tensor de tipo (1, 1) , que es un elemento de . Nótese que el resultado es un escalar (un elemento de k ). En dimensiones finitas , utilizando el isomorfismo natural entre y el espacio de funciones lineales de V a V , ^[1] se obtiene una definición sin base de la traza . ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

En general, un tensor de tipo ( m , n ) (con m ≥ 1 y n ≥ 1 ) es un elemento del espacio vectorial

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

(donde hay m factores V y n factores V ^∗ ). ^{[2] [3]} Aplicando el emparejamiento canónico al k ésimo factor V y al l ésimo factor V ^∗ , y usando la identidad en todos los demás factores, se define la operación de contracción ( k , l ), ​​que es una función lineal que produce un tensor de tipo ( m − 1, n − 1) . ^[2] Por analogía con el caso (1, 1) , la operación de contracción general a veces se denomina traza.

Contracción en notación de índice

En la notación de índice tensorial , la contracción básica de un vector y un vector dual se denota por

${\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$

que es una abreviatura de la suma explícita de coordenadas ^[4]

${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$

(donde v ⁱ son los componentes de v en una base particular y f _i son los componentes de f en la base dual correspondiente).

Dado que un tensor diádico mixto general es una combinación lineal de tensores descomponibles de la forma , la fórmula explícita para el caso diádico es la siguiente: sea ${\displaystyle f\otimes v}$

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

sea ​​un tensor diádico mixto. Entonces su contracción es

${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$.

Una contracción general se denota etiquetando un índice covariante y un índice contravariante con la misma letra, y la suma sobre ese índice está implícita por la convención de suma . El tensor contraído resultante hereda los índices restantes del tensor original. Por ejemplo, contraer un tensor T de tipo (2,2) en el segundo y tercer índice para crear un nuevo tensor U de tipo (1,1) se escribe como

${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$

Por el contrario, dejemos que

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

sea ​​un tensor diádico no mixto. Este tensor no se contrae; si sus vectores base son punteados, ^{[ aclaración necesaria ] el resultado es el} tensor métrico contravariante ,

${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}}$,

cuyo rango es 2.

Contracción métrica

Como en el ejemplo anterior, la contracción en un par de índices que son ambos contravariantes o ambos covariantes no es posible en general. Sin embargo, en presencia de un producto interno (también conocido como métrica ) g , tales contracciones son posibles. Se utiliza la métrica para aumentar o disminuir uno de los índices, según sea necesario, y luego se utiliza la operación habitual de contracción. La operación combinada se conoce como contracción métrica . ^[5]

Aplicación a campos tensoriales

La contracción se aplica a menudo a campos tensoriales sobre espacios (por ejemplo, espacio euclidiano , variedades o esquemas ^{[ cita requerida ]} ). Dado que la contracción es una operación puramente algebraica, se puede aplicar puntualmente a un campo tensorial, por ejemplo, si T es un campo tensorial (1,1) en el espacio euclidiano, entonces en cualquier coordenada, su contracción (un campo escalar) U en un punto x está dada por

${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$

Dado que el papel de x no es complicado aquí, a menudo se suprime y la notación para los campos tensoriales se vuelve idéntica a la de los tensores puramente algebraicos.

Sobre una variedad de Riemann , se dispone de una métrica (campo de productos internos), y tanto las contracciones métricas como las no métricas son cruciales para la teoría. Por ejemplo, el tensor de Ricci es una contracción no métrica del tensor de curvatura de Riemann , y la curvatura escalar es la única contracción métrica del tensor de Ricci.

También se puede ver la contracción de un campo tensorial en el contexto de módulos sobre un anillo apropiado de funciones en la variedad ^[5] o en el contexto de haces de módulos sobre el haz de estructuras; ^[6] véase la discusión al final de este artículo.

Divergencia tensorial

Como aplicación de la contracción de un campo tensorial, sea V un campo vectorial en una variedad de Riemann (por ejemplo, el espacio euclidiano ). Sea la derivada covariante de V (en alguna elección de coordenadas). En el caso de coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano, se puede escribir ${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}$

Luego, al cambiar el índice β a α, el par de índices quedan ligados entre sí, de modo que la derivada se contrae consigo misma para obtener la siguiente suma:

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},}$

cual es la divergencia div V . Entonces

${\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$

es una ecuación de continuidad para V .

En general, se pueden definir varias operaciones de divergencia en campos tensoriales de rango superior , de la siguiente manera: Si T es un campo tensorial con al menos un índice contravariante, al tomar la diferencial covariante y contraer el índice contravariante elegido con el nuevo índice covariante correspondiente a la diferencial se obtiene un nuevo tensor de rango uno inferior al de T. ^[5 ]

Contracción de un par de tensores

Se puede generalizar la operación de contracción básica (vector con vector dual) de una manera ligeramente diferente, considerando un par de tensores T y U. El producto tensorial es un nuevo tensor, que, si tiene al menos un índice covariante y uno contravariante, se puede contraer. El caso en el que T es un vector y U es un vector dual es exactamente la operación básica que se presenta por primera vez en este artículo. ${\displaystyle T\otimes U}$

En la notación de índices tensoriales, para contraer dos tensores entre sí, se los coloca uno al lado del otro (yuxtapuestos) como factores del mismo término. Esto implementa el producto tensorial, lo que produce un tensor compuesto. Al contraer dos índices en este tensor compuesto se implementa la contracción deseada de los dos tensores.

Por ejemplo, las matrices pueden representarse como tensores de tipo (1,1) con el primer índice contravariante y el segundo índice covariante. Sean los componentes de una matriz y los componentes de una segunda matriz. Entonces su multiplicación viene dada por la siguiente contracción, un ejemplo de contracción de un par de tensores: ${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }}$.

Además, el producto interior de un vector con forma diferencial es un caso especial de la contracción de dos tensores entre sí.

Contextos algebraicos más generales

Sea R un anillo conmutativo y sea M un módulo libre finito sobre R. Entonces, la contracción opera sobre el álgebra tensorial completa (mixta) de M exactamente de la misma manera que lo hace en el caso de los espacios vectoriales sobre un cuerpo. (El hecho clave es que el emparejamiento canónico sigue siendo perfecto en este caso).

De manera más general, sea O _X un haz de anillos conmutativos sobre un espacio topológico X , por ejemplo, O _X podría ser el haz de estructura de una variedad compleja , un espacio analítico o un esquema . Sea M un haz localmente libre de módulos sobre O _X de rango finito. Entonces, el dual de M todavía se comporta bien ^[6] y las operaciones de contracción tienen sentido en este contexto.

Véase también

• Producto tensorial
• Rastro parcial
• Producto interior
• Subida y bajada de índices
• Isomorfismo musical
• Cálculo de Ricci

Notas

1. Sea L( V , V ) el espacio de aplicaciones lineales de V a V . Entonces la aplicación natural

   ${\displaystyle V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)}$

   se define por

   ${\displaystyle f\otimes v\mapsto g,}$

   donde g ( w ) = f ( w ) v . Supóngase que V es de dimensión finita. Si { v _i } es una base de V y { f ⁱ } es la base dual correspondiente, entonces se asigna a la transformación cuya matriz en esta base tiene solo una entrada distinta de cero, un 1 en la posición i , j . Esto demuestra que la función es un isomorfismo. ${\displaystyle f^{i}\otimes v_{j}}$
2. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . GTM . Vol. 129. Nueva York: Springer. págs. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
3. Warner, Frank (1993). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . GTM . Vol. 94. Nueva York: Springer. Págs. 54-56. ISBN. 0-387-90894-3.
4. En física (y a veces en matemáticas), los índices suelen empezar con cero en lugar de uno. En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, los índices van de 0 a 3.
5. O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad . Academic Press. pág. 86. ISBN 0-12-526740-1.
6. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90244-9.

Referencias

• Bishop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1980). Análisis tensorial en variedades . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
• Menzel, Donald H. (1961). Física matemática . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.