Suma

Operación aritmética

3 + 2 = 5 con manzanas , una opción popular en los libros de texto ^[1]

La suma (normalmente representada por el símbolo más + ) es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética , siendo las otras tres la resta , la multiplicación y la división . ^[2] La suma de dos números enteros da como resultado la cantidad total o suma de esos valores combinados. El ejemplo de la imagen adyacente muestra dos columnas de tres manzanas y dos manzanas cada una, con un total de cinco manzanas. Esta observación equivale a la expresión matemática "3 + 2 = 5" (es decir, "3 más 2 es igual a 5").

Además de contar elementos, la suma también se puede definir y ejecutar sin hacer referencia a objetos concretos , utilizando en su lugar abstracciones llamadas números , como números enteros , números reales y números complejos . La suma pertenece a la aritmética, una rama de las matemáticas . En álgebra , otra área de las matemáticas, la suma también se puede realizar en objetos abstractos como vectores , matrices , subespacios y subgrupos .

La adición tiene varias propiedades importantes. Es conmutativo , lo que significa que no importa el orden de los operandos , y es asociativo , lo que significa que cuando se suman más de dos números, no importa el orden en que se realiza la suma. La suma repetida de 1 es lo mismo que contar (consulte Función sucesora ). La suma de no cambia un número. La suma también obedece a reglas predecibles relativas a operaciones relacionadas, como la resta y la multiplicación.

Realizar la suma es una de las tareas numéricas más simples de realizar. La suma de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños; la tarea más básica, 1 + 1 , la pueden realizar bebés de hasta cinco meses, e incluso algunos miembros de otras especies animales. En educación primaria , se enseña a los alumnos a sumar números en el sistema decimal , empezando por cifras de un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles. Las ayudas mecánicas van desde el antiguo ábaco hasta la computadora moderna , donde la investigación sobre las implementaciones más eficientes de la suma continúa hasta el día de hoy.

Notación y terminología

El signo más

La suma se escribe utilizando el signo más "+" entre los términos; ^[3] es decir, en notación infija . El resultado se expresa con un signo igual . Por ejemplo,

${\displaystyle 1+2=3}$("uno más dos son tres")

${\displaystyle 5+4+2=11}$(ver "asociatividad" a continuación)

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$(ver "multiplicación" a continuación)

Suma en columnas: los números de la columna se deben sumar, con la suma escrita debajo del número subrayado .

También hay situaciones en las que la suma se "entiende", aunque no aparezca ningún símbolo:

• Un número entero seguido inmediatamente de una fracción indica la suma de los dos, llamado número mixto . ^[4] Por ejemplo,
  $${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$
  Esta notación puede causar confusión, ya que en la mayoría de los demás contextos, la yuxtaposición denota multiplicación . ^[5]

La suma de una serie de números relacionados se puede expresar mediante notación sigma mayúscula , que denota de forma compacta iteración . Por ejemplo,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

Términos

Los números o los objetos que se van a sumar en la suma general se denominan colectivamente términos , [ ^6] sumandos ^{[7] [8]} [ ^9] o sumandos ; ^[10] esta terminología se traslada a la suma de múltiples términos. Esto debe distinguirse de los factores , que se multiplican . Algunos autores llaman sumando al primer sumando . ^{[7] [8] [9]} De hecho, durante el Renacimiento , muchos autores no consideraban el primer sumando como un "súper" en absoluto. Hoy en día, debido a la propiedad conmutativa de la suma, "augend" rara vez se utiliza y ambos términos generalmente se denominan sumandos. ^[11]

Toda la terminología anterior deriva del latín . "Sumar" y "añadir" son palabras inglesas derivadas del verbo latino addere , que a su vez es un compuesto de ad "to" y dare "dar", de la raíz protoindoeuropea *deh₃- "dar" ; por lo tanto agregar es dar . ^[11] El uso del sufijo gerundio -nd da como resultado "agregar", "cosa a agregar". ^[a] Asimismo, de augere "aumentar", se obtiene "augend", "cosa a aumentar".

Ilustración rediseñada de The Art of Nombryng , uno de los primeros textos aritméticos ingleses, del siglo XV. ^[12]

"Sum" y "summand" derivan del sustantivo latino summa "el más alto, el superior" y el verbo asociado summare . Esto es apropiado no sólo porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquiera de ellos, sino porque era común que los antiguos griegos y romanos sumaran hacia arriba, en contra de la práctica moderna de sumar hacia abajo, de modo que una suma era literalmente mayor que el sumandos. ^[13] Addere y summare se remontan al menos a Boecio , si no a escritores romanos anteriores como Vitruvio y Frontino ; Boecio también utilizó varios otros términos para la operación de suma. Chaucer popularizó los términos posteriores del inglés medio "adden" y "adding" . ^[14]

El signo más "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) es una abreviatura de la palabra latina et , que significa "y". ^[15] Aparece en trabajos matemáticos que se remontan al menos a 1489. ^[16]

Interpretaciones

La suma se utiliza para modelar muchos procesos físicos. Incluso para el simple caso de sumar números naturales , existen muchas interpretaciones posibles e incluso más representaciones visuales.

Combinando conjuntos

Un conjunto tiene 3 formas mientras que el otro conjunto tiene 2. La cantidad total de formas es 5, lo cual es consecuencia de la suma de los objetos de los dos conjuntos (3 + 2 = 5).

Posiblemente la interpretación más básica de la suma radica en la combinación de conjuntos :

• Cuando dos o más colecciones separadas se combinan en una sola colección, la cantidad de objetos en la colección única es la suma de la cantidad de objetos en las colecciones originales.

Esta interpretación es fácil de visualizar, con poco peligro de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores (para conocer la definición rigurosa que inspira, consulte § Números naturales a continuación). Sin embargo, no es obvio cómo se debería ampliar esta versión de la suma para incluir números fraccionarios o números negativos. ^[17]

Una posible solución es considerar colecciones de objetos que puedan dividirse fácilmente, como pasteles o, mejor aún, varillas segmentadas. ^[18] En lugar de combinar únicamente conjuntos de segmentos, las varillas se pueden unir de extremo a extremo, lo que ilustra otra concepción de la suma: sumar no las varillas sino las longitudes de las varillas.

Extendiendo una longitud

Una visualización en recta numérica de la suma algebraica 2 + 4 = 6. Un "salto" que tiene una distancia de 2 seguido de otro que mide hasta 4, es lo mismo que una traslación por 6.

Una visualización en recta numérica de la suma unaria 2 + 4 = 6. Una traslación por 4 equivale a cuatro traslaciones por 1.

Una segunda interpretación de la suma proviene de extender una longitud inicial en una longitud determinada:

• Cuando una longitud original se extiende en una cantidad determinada, la longitud final es la suma de la longitud original y la longitud de la extensión. ^[19]

La suma a + b puede interpretarse como una operación binaria que combina a y b , en sentido algebraico, o puede interpretarse como la suma de b unidades más a a . Según la última interpretación, las partes de una suma a + b desempeñan roles asimétricos, y se considera que la operación a + b aplica la operación unaria + b a a . ^[20] En lugar de llamar sumandos a a y b , es más apropiado llamar a a sumando en este caso, ya que a juega un papel pasivo. La vista unaria también es útil cuando se habla de resta , porque cada operación de suma unaria tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa .

Propiedades

Conmutatividad

4 + 2 = 2 + 4 con bloques

La suma es conmutativa , lo que significa que uno puede cambiar el orden de los términos en una suma, pero aún así obtener el mismo resultado. Simbólicamente, si a y b son dos números cualesquiera, entonces

a + b = b + a .

El hecho de que la suma sea conmutativa se conoce como "ley conmutativa de la suma" o "propiedad conmutativa de la suma". Algunas otras operaciones binarias son conmutativas, como la multiplicación, pero muchas otras no lo son, como la resta y la división.

asociatividad

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 con varillas segmentadas

La suma es asociativa , lo que significa que cuando se suman tres o más números, el orden de las operaciones no cambia el resultado.

Como ejemplo, ¿debería definirse la expresión a + b + c como ( a + b ) + c o a + ( b + c )? Dado que la suma es asociativa, la elección de la definición es irrelevante. Para tres números cualesquiera a , b y c , es cierto que ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Cuando la suma se utiliza junto con otras operaciones, el orden de las operaciones se vuelve importante. En el orden estándar de operaciones, la suma tiene menor prioridad que la exponenciación , las raíces enésimas , la multiplicación y la división, pero se le da la misma prioridad a la resta. ^[21]

Elemento de identidad

5 + 0 = 5 con bolsas de puntos

Agregar cero a cualquier número no cambia el número; esto significa que el cero es el elemento de identidad para la suma y también se conoce como identidad aditiva . En símbolos, por cada a , se tiene

un + 0 = 0 + un = un .

Esta ley se identificó por primera vez en Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta en 628 d. C., aunque la escribió como tres leyes separadas, dependiendo de si a es negativo, positivo o cero, y usó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Posteriormente, los matemáticos indios refinaron el concepto; Alrededor del año 830, escribió Mahavira , "el cero se vuelve igual a lo que se le añade", correspondiente al enunciado unario 0 + a = a . En el siglo XII, Bhaskara escribió: "Al sumar o restar una cifra, la cantidad, positiva o negativa, sigue siendo la misma", correspondiente al enunciado unario a + 0 = a . ^[22]

Sucesor

Dentro del contexto de los números enteros, la suma de uno también juega un papel especial: para cualquier número entero a , el número entero ( a + 1) es el menor entero mayor que a , también conocido como el sucesor de a . ^[23] Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 7 es el sucesor de 6. Debido a esta sucesión, el valor de a + b también puede verse como el b ésimo sucesor de a , lo que hace que la suma sea una sucesión iterada. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, lo que convierte a 8 en el segundo sucesor de 6.

Unidades

Para sumar numéricamente cantidades físicas con unidades , se deben expresar con unidades comunes. ^[24] Por ejemplo, agregar 50 mililitros a 150 mililitros da 200 mililitros. Sin embargo, si una medida de 5 pies se amplía en 2 pulgadas, la suma es 62 pulgadas, ya que 60 pulgadas es sinónimo de 5 pies. Por otro lado, normalmente no tiene sentido intentar sumar 3 metros y 4 metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables; Este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional . ^[25]

Realizando suma

Habilidad innata

Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación : los bebés miran durante más tiempo situaciones inesperadas. ^[26] Un experimento fundamental realizado por Karen Wynn en 1992 con muñecos de Mickey Mouse manipulados detrás de una pantalla demostró que los bebés de cinco meses esperan que 1 + 1 sea 2, y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Desde entonces, este hallazgo ha sido confirmado por una variedad de laboratorios que utilizan diferentes metodologías. ^[27] Otro experimento realizado en 1992 con niños mayores , de entre 18 y 35 meses, explotó su desarrollo del control motor permitiéndoles recuperar pelotas de ping-pong de una caja; los más jóvenes respondieron bien a números pequeños, mientras que los sujetos mayores pudieron calcular sumas hasta 5. ^[28]

Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada para sumar, particularmente los primates . En un experimento de 1995 que imitó el resultado de Wynn en 1992 (pero usando berenjenas en lugar de muñecos), los monos macacos rhesus y tití cabeciblanco se comportaron de manera similar a los bebés humanos. Más dramáticamente, después de que se le enseñara el significado de los números arábigos del 0 al 4, un chimpancé pudo calcular la suma de dos números sin más entrenamiento. ^[29] Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado capacidad para realizar aritmética básica. ^[30]

Aprendizaje infantil

Por lo general, los niños primero dominan el conteo . Cuando se les presenta un problema que requiere combinar dos elementos y tres elementos, los niños pequeños modelan la situación con objetos físicos, a menudo dedos o un dibujo, y luego cuentan el total. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar": cuando se les pide que encuentren dos más tres, los niños cuentan tres más dos, dicen "tres, cuatro, cinco " (generalmente contando los dedos) y llegan a cinco. . Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden aprenderlo fácilmente de sus compañeros o maestros. ^[31] La mayoría lo descubre de forma independiente. Con experiencia adicional, los niños aprenden a sumar más rápidamente explotando la conmutatividad de la suma contando desde el número mayor, en este caso, comenzando con tres y contando "cuatro, cinco ". Con el tiempo, los niños comienzan a recordar ciertas sumas (" vínculos numéricos "), ya sea a través de la experiencia o de la memorización. Una vez que algunos hechos se memorizan, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos a partir de otros conocidos. Por ejemplo, un niño al que se le pide que sume seis y siete puede saber que 6 + 6 = 12 y luego razonar que 6 + 7 es uno más, o 13. ^[32] Estos hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de escuela primaria eventualmente Confíe en una combinación de hechos memorizados y derivados para sumar con fluidez. ^[33]

Diferentes países introducen los números enteros y la aritmética a diferentes edades, y muchos países enseñan la suma en preescolar. ^[34] Sin embargo, en todo el mundo, la suma se enseña al final del primer año de la escuela primaria. ^[35]

Mesa

A los niños a menudo se les presenta la tabla de suma de pares de números del 0 al 9 para que la memoricen. Sabiendo esto, los niños pueden realizar cualquier suma.

Sistema decimal

El requisito previo para la suma en el sistema decimal es recordar o deducir con fluidez los 100 "hechos de suma" de un solo dígito. Se podrían memorizar todos los datos de memoria , pero las estrategias basadas en patrones son más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes: ^[36]

• Propiedad conmutativa : mencionada anteriormente, usar el patrón a + b = b + a reduce el número de "hechos de suma" de 100 a 55.
• Uno o dos más : Sumar 1 o 2 es una tarea básica, y se puede lograr contando o, en última instancia, con la intuición . ^[36]
• Cero : dado que cero es la identidad aditiva, sumar cero es trivial. Sin embargo, en la enseñanza de la aritmética, a algunos estudiantes se les presenta la suma como un proceso que siempre aumenta los sumandos; Los problemas planteados pueden ayudar a racionalizar la "excepción" del cero. ^[36]
• Dobles : Sumar un número a sí mismo está relacionado con contar de dos en dos y con la multiplicación . Las operaciones dobles forman la columna vertebral de muchas operaciones relacionadas y los estudiantes las encuentran relativamente fáciles de comprender. ^[36]
• Casi dobles : sumas como 6 + 7 = 13 se pueden derivar rápidamente del hecho de dobles 6 + 6 = 12 sumando uno más, o de 7 + 7 = 14 pero restando uno. ^[36]
• Cinco y diez : las sumas de la forma 5 + x y 10 + x generalmente se memorizan temprano y pueden usarse para derivar otros datos. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 se puede derivar de 5 + 7 = 12 sumando uno más. ^[36]
• Hacer diez : una estrategia avanzada utiliza 10 como intermedio para sumas que involucran 8 o 9; por ejemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 . ^[36]

A medida que los estudiantes crecen, memorizan más datos y aprenden a derivar otros datos de forma rápida y fluida. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los datos, pero aun así pueden encontrar rápidamente cualquier hecho básico. ^[33]

Llevar

El algoritmo estándar para sumar números de varios dígitos es alinear los sumandos verticalmente y sumar las columnas, comenzando por la columna de las unidades de la derecha. Si una columna excede nueve, el dígito extra se " lleva " a la siguiente columna. Por ejemplo, en la suma 27 + 59

 ¹ 27+ 59———— 86

7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. ^[b] Una estrategia alternativa comienza a sumar desde el dígito más significativo de la izquierda; Esta ruta hace que el transporte sea un poco más complicado, pero es más rápido para obtener una estimación aproximada de la suma. Hay muchos métodos alternativos.

Desde finales del siglo XX, algunos programas estadounidenses, incluido TERC, decidieron eliminar el método tradicional de transferencia de su plan de estudios. ^[37] Esta decisión fue criticada, ^[38] razón por la cual algunos estados y condados no apoyaron este experimento.

Fracciones decimales

Las fracciones decimales se pueden sumar mediante una simple modificación del proceso anterior. ^[39] Se alinean dos fracciones decimales una encima de la otra, con el punto decimal en el mismo lugar. Si es necesario, se pueden agregar ceros finales a un decimal más corto para que tenga la misma longitud que el decimal más largo. Finalmente, se realiza el mismo proceso de suma que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en la respuesta, exactamente donde se colocó en los sumandos.

Como ejemplo, 45,1 + 4,34 se puede resolver de la siguiente manera:

 4 5 . 1 0+ 0 4 . 3 4———————————— 4 9 . 4 4

Notación cientifica

En notación científica , los números se escriben en la forma , donde es el significado y es la parte exponencial. La suma requiere que dos números en notación científica se representen usando la misma parte exponencial, de modo que los dos significados puedan simplemente sumarse. ${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 10^{b}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$

No decimal

La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, se puede considerar la suma en binario. ^[40] Sumar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, utilizando una forma de llevar:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, lleva 1 (ya que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Agregar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que se debe agregar 1 a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado iguala o excede el valor de la base (10), se incrementa el dígito de la izquierda:

5 + 5 → 0, lleva 1 (ya que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, lleva 1 (ya que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Esto se conoce como llevar . ^[41] Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento es "llevar" la cantidad sobrante dividida por la base (es decir, 10/10) hacia la izquierda, sumándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor en un factor igual a la base. El transporte funciona de la misma manera en binario:

 1 1 1 1 1 (dígitos llevados) 0 1 1 0 1+ 1 0 1 1 1————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

En este ejemplo, se suman dos números: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) y 10111 ₂ (23 ₁₀ ). La fila superior muestra los bits de acarreo utilizados. Comenzando en la columna de la derecha, 1 + 1 = 10 ₂ . El 1 se lleva hacia la izquierda y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna de la derecha. Se agrega la segunda columna de la derecha: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ nuevamente; se lleva el 1 y el 0 se escribe en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . Esta vez, se lleva un 1 y se escribe un 1 en la fila inferior. Procediendo así se obtiene la respuesta final 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Ordenadores

Adición con un amplificador operacional. Consulte Amplificador sumador para obtener más detalles.

Las computadoras analógicas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que sus mecanismos de suma dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como posiciones de bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden sumar con una palanca promediadora . Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes , se pueden sumar con un diferencial . Un sumador hidráulico puede sumar presiones en dos cámaras aprovechando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas sobre un conjunto de pistones . La situación más común para una computadora analógica de uso general es agregar dos voltajes (referenciados a tierra ); Esto se puede lograr aproximadamente con una red de resistencias , pero un mejor diseño aprovecha un amplificador operacional . ^[42]

La suma también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales , donde la eficiencia de la suma, en particular el mecanismo de acarreo , es una limitación importante para el rendimiento general.

Parte del motor diferencial de Charles Babbage , incluidos los mecanismos de adición y transporte.

El ábaco , también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que estuvo en uso siglos antes de la adopción del sistema numérico moderno escrito y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y empleados en Asia , África y otros lugares; se remonta al menos al 2700-2300 a. C., cuando se utilizaba en Sumeria . ^[43]

Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642; ^[44] fue la primera máquina sumadora operativa . Hizo uso de un mecanismo de transporte asistido por gravedad. Fue la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII ^[45] y la primera computadora digital automática. La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transporte, que obligaba a sus ruedas a girar solo en una dirección para poder sumar. Para restar, el operador debía utilizar el complemento de la calculadora de Pascal , que requería tantos pasos como una suma. Giovanni Poleni siguió a Pascal y construyó la segunda calculadora mecánica funcional en 1709, un reloj calculador hecho de madera que, una vez instalado, podía multiplicar dos números automáticamente.

Circuito lógico " sumador completo " que suma dos dígitos binarios, A y B , junto con una entrada de acarreo C _in , produciendo el bit de suma, S , y una salida de acarreo, C _out .

Los sumadores ejecutan la suma de números enteros en computadoras digitales electrónicas, generalmente usando aritmética binaria . La arquitectura más simple es el sumador de acarreo rizado, que sigue el algoritmo estándar de varios dígitos. Una ligera mejora es el diseño del compartimento de transporte , siguiendo nuevamente la intuición humana; uno no realiza todos los acarreos para calcular 999 + 1 , pero pasa por alto el grupo de 9 y salta a la respuesta. ^[46]

En la práctica, la suma computacional se puede lograr mediante operaciones lógicas bit a bit XOR y AND junto con operaciones de desplazamiento de bits, como se muestra en el pseudocódigo siguiente. Tanto las puertas XOR como AND son sencillas de realizar en lógica digital, lo que permite la realización de circuitos sumadores completos que a su vez pueden combinarse en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma de enteros suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que es la base de todas las operaciones de punto flotante , así como de tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a la memoria y la búsqueda de instrucciones durante la bifurcación . Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan dígitos en paralelo ; Estos esquemas reciben nombres como carry select, carry lookahead y Ling pseudocarry. Muchas implementaciones son, de hecho, híbridos de estos últimos tres diseños. ^{[47] [48]} A diferencia de la suma en papel, la suma en una computadora a menudo cambia los sumandos. En el antiguo ábaco y en el tablero de suma, ambos sumandos se destruyen, dejando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue tan fuerte que los primeros textos latinos a menudo afirmaban que en el proceso de sumar "un número a otro", ambos números desaparecían. ^[49] En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza el sumando con la suma pero conserva el sumando. ^[50] En un lenguaje de programación de alto nivel , evaluar a + b no cambia ni a ni b ; si el objetivo es reemplazar a con la suma, esto debe solicitarse explícitamente, generalmente con la declaración a = a + b . Algunos lenguajes como C o C++ permiten abreviar esto como a += b .

// Algoritmo iterativo int add ( int x , int y ) { int carry = 0 ; mientras ( y ! = 0 ) { llevar = Y ( x , y ); // AND lógico x = XOR ( x , y ); // XOR lógico y = llevar << 1 ; // desplazamiento de bit a la izquierda acarreado por uno } return x ; }                                   // Algoritmo recursivo int add ( int x , int y ) { return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ), AND ( x , y ) << 1 ); }                  

En una computadora, si el resultado de una suma es demasiado grande para almacenarlo, se produce un desbordamiento aritmético que da como resultado una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético inesperado es una causa bastante común de errores en el programa . Estos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse sólo para conjuntos de datos de entrada muy grandes, que es menos probable que se utilicen en pruebas de validación. ^[51] El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de 2 dígitos durante años. ^[52]

Suma de números

Para demostrar las propiedades habituales de la suma, primero se debe definir la suma para el contexto en cuestión. La suma se define primero en los números naturales . En la teoría de conjuntos , la suma se extiende luego a conjuntos progresivamente más grandes que incluyen los números naturales: los números enteros , los números racionales y los números reales . ^[53] (En educación matemática , ^[54] las fracciones positivas se suman antes de que se consideren los números negativos; esta es también la ruta histórica. ^[55] )

Números naturales

Hay dos formas populares de definir la suma de dos números naturales a y b . Si se definen los números naturales como las cardinalidades de conjuntos finitos (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera:

• Sea N( S ) la cardinalidad de un conjunto S . Tome dos conjuntos disjuntos A y B , con N( A ) = a y N( B ) = b . Entonces a + b se define como . ^[56] ${\displaystyle N(A\cup B)}$

Aquí, A ∪ B es la unión de A y B. Una versión alternativa de esta definición permite que A y B posiblemente se superpongan y luego toma su unión disjunta , un mecanismo que permite separar los elementos comunes y, por lo tanto, contarlos dos veces.

La otra definición popular es recursiva:

• Sea n ⁺ el sucesor de n , que es el número que sigue a n en los números naturales, entonces 0 ⁺ =1, 1 ⁺ =2. Definir a + 0 = a . Defina la suma general de forma recursiva por a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Por tanto 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 . ^[57]

Nuevamente, existen variaciones menores sobre esta definición en la literatura. Tomada literalmente, la definición anterior es una aplicación del teorema de recursión al conjunto parcialmente ordenado N ² . ^[58] Por otro lado, algunas fuentes prefieren utilizar un teorema de recursión restringida que se aplica sólo al conjunto de números naturales. Luego se considera que a está temporalmente "fijo", se aplica la recursividad en b para definir una función " a  +" y se pegan estas operaciones unarias para todo a para formar la operación binaria completa. ^[59]

Esta formulación recursiva de la suma fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las décadas siguientes. ^[60] Demostró las propiedades asociativas y conmutativas, entre otras, mediante inducción matemática .

Enteros

La concepción más simple de un número entero es que consta de un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo ). El número entero cero es un tercer caso especial, ya que no es ni positivo ni negativo. La correspondiente definición de suma debe proceder por casos:

• Para un número entero n , sea | norte | sea ​​su valor absoluto. Sean a y b números enteros. Si aob es cero , trátelo como una identidad. Si a y b son ambos positivos, defina a + b = | un | + | segundo | . Si a y b son negativos, defina a + b = −(| a | + | b |) . Si a y b tienen signos diferentes, defina a + b como la diferencia entre | un | y | b |, con el signo del término cuyo valor absoluto es mayor. ^[61] Como ejemplo, −6 + 4 = −2 ; debido a que −6 y 4 tienen signos diferentes, sus valores absolutos se restan y, como el valor absoluto del término negativo es mayor, la respuesta es negativa.

Aunque esta definición puede resultar útil para problemas concretos, el número de casos a considerar complica las pruebas innecesariamente. Por tanto, el siguiente método se utiliza habitualmente para definir números enteros. Se basa en la observación de que todo número entero es la diferencia de dos números enteros naturales y que dos de esas diferencias, a – b y c – d, son iguales si y sólo si a + d = b + c . Entonces, se pueden definir formalmente los números enteros como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la relación de equivalencia.

( a , b ) ~ ( c , d ) si y sólo si a + d = b + c .

La clase de equivalencia de ( a , b ) contiene ( a – b , 0) si a ≥ b , o (0, b – a ) en caso contrario. Si n es un número natural, se puede denotar + n la clase de equivalencia de ( n , 0) , y por –n la clase de equivalencia de (0, n ) . Esto permite identificar el número natural n con la clase de equivalencia + n .

La suma de pares ordenados se realiza por componentes:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Un cálculo sencillo muestra que la clase de equivalencia del resultado depende sólo de las clases de equivalencia de los sumandos y, por lo tanto, esto define una suma de clases de equivalencia, es decir, números enteros. ^[62] Otro cálculo sencillo muestra que esta adición es la misma que la definición de caso anterior.

Esta forma de definir los números enteros como clases de equivalencia de pares de números naturales, se puede utilizar para incrustar en un grupo cualquier semigrupo conmutativo con propiedad de cancelación . Aquí, el semigrupo está formado por los números naturales y el grupo es el grupo aditivo de números enteros. Los números racionales se construyen de manera similar, tomando como semigrupo los números enteros distintos de cero con multiplicación.

Esta construcción también se ha generalizado bajo el nombre de grupo de Grothendieck al caso de cualquier semigrupo conmutativo. Sin la propiedad de cancelación, el homomorfismo de semigrupo del semigrupo al grupo puede ser no inyectivo. Originalmente, el grupo de Grothendieck fue, más específicamente, el resultado de esta construcción aplicada a las clases de equivalencias bajo isomorfismos de los objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como operación de semigrupo.

Números racionales (fracciones)

La suma de números racionales se puede calcular utilizando el mínimo común denominador , pero una definición conceptualmente más simple implica solo la suma y multiplicación de números enteros:

• Definir ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Como ejemplo, la suma . ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$

La suma de fracciones es mucho más sencilla cuando los denominadores son iguales; en este caso, uno puede simplemente sumar los numeradores dejando el denominador igual: , entonces . ^[63] ${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$

La conmutatividad y asociatividad de la suma racional es una consecuencia fácil de las leyes de la aritmética de enteros. ^[64] Para una discusión más rigurosa y general, véase campo de fracciones .

Numeros reales

Sumando π ² /6 y e usando cortes de racionales de Dedekind.

Una construcción común del conjunto de números reales es la compleción de Dedekind del conjunto de números racionales. Un número real se define como un corte de racionales de Dedekind: un conjunto de racionales no vacío que está cerrado hacia abajo y no tiene mayor elemento . La suma de los números reales a y b se define elemento por elemento:

• Definir ^[65] ${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$

Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. ^[66] La conmutatividad y asociatividad de la suma real son inmediatas; Al definir el número real 0 como el conjunto de racionales negativos, se ve fácilmente que es la identidad aditiva. Probablemente la parte más complicada de esta construcción relacionada con la suma es la definición de inversos aditivos. ^[67]

Sumando π ² /6 y e usando secuencias racionales de Cauchy.

Desafortunadamente, lidiar con la multiplicación de cortes de Dedekind es un proceso caso por caso que requiere mucho tiempo, similar a la suma de números enteros con signo. ^[68] Otro enfoque es la compleción métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una secuencia de Cauchy de racionales, lim  a _n . La suma se define término por término:

• Definir ^[69] ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$

Esta definición fue publicada por primera vez por Georg Cantor , también en 1872, aunque su formalismo fue ligeramente diferente. ^[70] Hay que demostrar que esta operación está bien definida y se trata de secuencias co-Cauchy. Una vez realizada esa tarea, todas las propiedades de la suma real se derivan inmediatamente de las propiedades de los números racionales. Además, las demás operaciones aritméticas, incluida la multiplicación, tienen definiciones sencillas y análogas. ^[71]

Números complejos

La suma de dos números complejos se puede realizar geométricamente construyendo un paralelogramo.

Los números complejos se suman sumando las partes real e imaginaria de los sumandos. ^{[72] [73]} Es decir:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

Utilizando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos A y B , interpretados como puntos del plano complejo, es el punto X que se obtiene al construir un paralelogramo con tres de cuyos vértices son O , A y B. _ De manera equivalente, X es el punto tal que los triángulos con vértices O , A , B y X , B , A , son congruentes .

Generalizaciones

Hay muchas operaciones binarias que pueden verse como generalizaciones de la operación de suma con números reales. El campo del álgebra abstracta se ocupa principalmente de este tipo de operaciones generalizadas, y también aparecen en la teoría de conjuntos y la teoría de categorías .

Álgebra abstracta

Vectores

En álgebra lineal , un espacio vectorial es una estructura algebraica que permite sumar dos vectores cualesquiera y escalar vectores. Un espacio vectorial familiar es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; el par ordenado ( a , b ) se interpreta como un vector desde el origen en el plano euclidiano hasta el punto ( a , b ) en el plano. La suma de dos vectores se obtiene sumando sus coordenadas individuales:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

Esta operación de suma es fundamental para la mecánica clásica , en la que las velocidades , aceleraciones y fuerzas están representadas por vectores. ^[74]

matrices

La suma de matrices se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos matrices A y B de m × n (pronunciada "m por n") , denotadas por A + B , es nuevamente una matriz de m × n calculada sumando los elementos correspondientes: ^{[75] [76]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Aritmética modular

En aritmética modular , el conjunto de números disponibles está restringido a un subconjunto finito de los números enteros, y la suma "se ajusta" cuando alcanza un cierto valor, llamado módulo. Por ejemplo, el conjunto de números enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda una operación de suma de los números enteros que es central en la teoría de conjuntos musicales . El conjunto de números enteros módulo 2 tiene sólo dos elementos; la operación de suma que hereda se conoce en lógica booleana como función " exclusiva o ". Una operación similar de "envoltura" surge en geometría , donde la suma de dos medidas de ángulos a menudo se considera su suma como números reales módulo 2π. Esto equivale a una operación de suma en el círculo , que a su vez se generaliza a operaciones de suma en toros multidimensionales .

teoría general

La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "suma" sea cualquier operación asociativa y conmutativa en un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con dicha operación de suma incluyen monoides conmutativos y grupos abelianos .

Teoría de conjuntos y teoría de categorías.

Una generalización de gran alcance de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y números cardinales en la teoría de conjuntos. Estos dan dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al transfinito . A diferencia de la mayoría de las operaciones de suma, la suma de números ordinales no es conmutativa. ^[77] La ​​suma de números cardinales, sin embargo, es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disjunta .

En la teoría de categorías , la unión disjunta se ve como un caso particular de la operación coproducto , ^[78] y los coproductos generales son quizás la más abstracta de todas las generalizaciones de la suma. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma en cuña , reciben nombres para evocar su conexión con la suma.

Operaciones relacionadas

La suma, junto con la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se utiliza en la aritmética elemental .

Aritmética

La resta puede considerarse como un tipo de suma, es decir, la suma de un inverso aditivo . La resta es en sí misma una especie de inversa a la suma, en el sentido de que sumar x y restar x son funciones inversas .

Dado un conjunto con una operación de suma, no siempre se puede definir una operación de resta correspondiente en ese conjunto; el conjunto de los números naturales es un ejemplo sencillo. Por otro lado, una operación de resta determina de forma única una operación de suma, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo puede describirse como un conjunto cerrado bajo resta. ^[79]

La multiplicación se puede considerar como una suma repetida . Si un solo término x aparece en una suma n veces, entonces la suma es el producto de n y x . Si n no es un número natural , el producto aún puede tener sentido; por ejemplo, la multiplicación por −1 produce el inverso aditivo de un número.

Una regla de cálculo circular

En los números reales y complejos, la suma y la multiplicación se pueden intercambiar mediante la función exponencial : ^[80]

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

Esta identidad permite realizar la multiplicación consultando una tabla de logaritmos y calculando la suma a mano; también permite la multiplicación con una regla de cálculo . La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el contexto amplio de los grupos de Lie , donde relaciona la multiplicación de elementos de grupos infinitesimales con la suma de vectores en el álgebra de Lie asociada . ^[81]

Hay incluso más generalizaciones de la multiplicación que de la suma. ^[82] En general, las operaciones de multiplicación siempre se distribuyen sobre la suma; este requisito se formaliza en la definición de anillo . En algunos contextos, como los números enteros, la distributividad sobre la suma y la existencia de una identidad multiplicativa es suficiente para determinar de forma única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la suma; Al expandir el producto (1 + 1)( a + b ) en ambos sentidos, se concluye que la suma debe ser conmutativa. Por esta razón, la suma de anillos es conmutativa en general. ^[83]

La división es una operación aritmética remotamente relacionada con la suma. Dado que a / b = a ( b ⁻¹ ) , la división es distributiva por la derecha sobre la suma: ( a + b ) / c = a / c + b / c . ^[84] Sin embargo, la división no se deja distributiva sobre la suma; 1/(2+2) no es lo mismo que 1/2+1/2 .

Realizar pedidos

Gráfica log-log de x + 1 y máx ( x , 1) de x = 0,001 a 1000 ^[85]

La operación máxima "max ( a , b )" es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y b son de diferentes órdenes de magnitud , entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo para truncar series de Taylor . Sin embargo, presenta una perpetua dificultad en el análisis numérico , esencialmente porque "max" no es invertible. Si b es mucho mayor que a , entonces un cálculo sencillo de ( a + b ) − b puede acumular un error de redondeo inaceptable , tal vez incluso devolver cero. Véase también Pérdida de significación .

La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito; Si a o b son un número cardinal infinito , su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos. ^[86] En consecuencia, no existe operación de resta para infinitos cardinales. ^[87]

La maximización es conmutativa y asociativa, como la suma. Además, dado que la suma preserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre "max" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma:

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$

Por estas razones, en geometría tropical se reemplaza la multiplicación por la suma y la suma por la maximización. En este contexto, la suma se llama "multiplicación tropical", la maximización se llama "suma tropical" y la "identidad aditiva" tropical es infinito negativo . ^[88] Algunos autores prefieren sustituir la suma por la minimización; entonces la identidad aditiva es infinito positivo. ^[89]

Al unir estas observaciones, la suma tropical está aproximadamente relacionada con la suma regular a través del logaritmo :

${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$

que se vuelve más preciso a medida que aumenta la base del logaritmo. ^[90] La aproximación se puede hacer exacta extrayendo una constante h , denominada por analogía con la constante de Planck de la mecánica cuántica , ^[91] y tomando el " límite clásico " cuando h tiende a cero:

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

En este sentido, la operación máxima es una versión descuantificada de la suma. ^[92]

Otras formas de agregar

El incremento, también conocido como operación sucesora , es la suma de 1 a un número.

La suma describe la suma de muchos números arbitrarios, generalmente más de dos. Incluye la idea de la suma de un solo número, que es él mismo, y la suma vacía , que es cero . ^[93] Una suma infinita es un procedimiento delicado conocido como serie . ^[94]

Contar un conjunto finito equivale a sumar 1 sobre el conjunto.

La integración es una especie de "suma" sobre un continuo , o más precisamente y en general, sobre una variedad diferenciable . La integración sobre una variedad de dimensión cero se reduce a la suma.

Las combinaciones lineales combinan multiplicación y suma; son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, normalmente un número real o complejo . Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos donde la suma directa violaría alguna regla de normalización, como la combinación de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica . ^[95]

La convolución se utiliza para sumar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución . Su definición habitual combina integración, resta y multiplicación. ^[96] En general, la convolución es útil como una especie de suma del lado del dominio; por el contrario, la suma de vectores es un tipo de suma del lado del rango.

Ver también

• aritmética lunar
• Aritmetica mental
• Suma paralela (matemáticas)
• Aritmética verbal (también conocida como criptoaritmos), acertijos que involucran suma

Notas

1. "Suma" no es una palabra latina; en latín debe conjugarse aún más, como en numerus addendus "el número que se sumará".
2. Algunos autores piensan que "llevar" puede ser inadecuado para la educación; Van de Walle (p. 211) lo califica de "obsoleto y conceptualmente engañoso", prefiriendo la palabra "comercio". Sin embargo, "carry" sigue siendo el término estándar.

Notas a pie de página

1. De Enderton (p. 138): "... seleccione dos conjuntos K y L con la tarjeta K = 2 y la tarjeta L = 3. Los juegos de dedos son útiles; los libros de texto prefieren los juegos de manzanas".
2. Lewis, Rhys (1974). "Aritmética". Técnico de Primer Año en Matemáticas. Palgrave, Londres: The MacMillan Press Ltd. p. 1.doi : 10.1007 /978-1-349-02405-6_1. ISBN 978-1-349-02405-6.
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11. Schwartzman pág. 19
12. Karpinski págs. 56-57, reproducido en la pág. 104
13. Schwartzman (p. 212) atribuye a los griegos y romanos sumar hacia arriba , diciendo que era tan común como sumar hacia abajo. Por otra parte, Karpinski (p. 103) escribe que Leonardo de Pisa "introduce la novedad de escribir la suma encima de los sumandos"; No está claro si Karpinski afirma que se trata de una invención original o simplemente de la introducción de la práctica en Europa.
14. Karpinski págs. 150-153
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17. Véase Viro 2001 para ver un ejemplo de la sofisticación que implica sumar con conjuntos de "cardinalidad fraccionaria".
18. Sumarlo (p. 73) compara agregar varas de medir con sumar conjuntos de gatos: "Por ejemplo, las pulgadas se pueden subdividir en partes, que son difíciles de distinguir de los enteros, excepto que son más cortas; mientras que es doloroso "Los gatos los dividen en partes, y eso cambia seriamente su naturaleza".
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49. Karpinski págs. 102-103
50. La identidad del sumando y sumando varía según la arquitectura. Para ADD en x86, consulte Horowitz y Hill p. 679; para ADD en 68k consulte la pág. 767.
51. Joshua Bloch, "Extra, Extra - Lea todo al respecto: casi todas las búsquedas y combinaciones binarias no funcionan" Archivado el 1 de abril de 2016 en Wayback Machine . Blog oficial de investigación de Google, 2 de junio de 2006.
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53. Los capítulos 4 y 5 de Enderton , por ejemplo, siguen este desarrollo.
54. Según una encuesta de los países con los puntajes más altos en las pruebas de matemáticas TIMSS; véase Schmidt, W., Houang, R. y Cogan, L. (2002). Un plan de estudios coherente . Educador estadounidense, 26(2), pág. 4.
55. Báez (p. 37) explica el desarrollo histórico, en "marcado contraste" con la presentación de la teoría de conjuntos: "¡Aparentemente, media manzana es más fácil de entender que una manzana negativa!"
56. Begle pág. 49, Johnson pág. 120, Devine et al. pag. 75
57. Enderton pag. 79
58. Para obtener una versión que se aplica a cualquier poset con la condición de cadena descendente , consulte Bergman p. 100.
59. Enderton (p. 79) observa: "Pero queremos una operación binaria +, no todas estas pequeñas funciones de un solo lugar".
60. Ferreirós p. 223
61. K. Smith pág. 234, Sparks y Rees pág. 66
62. Enderton pag. 92
63. Schyrlet Cameron y Carolyn Craig (2013) Suma y resta de fracciones, grados 5 a 8 Mark Twain, Inc.
64. Las verificaciones se realizan en Enderton p. 104 y esbozado para un campo general de fracciones sobre un anillo conmutativo en Dummit y Foote p. 263.
65. Enderton pag. 114
66. Ferreirós p. 135; véase la sección 6 de Stetigkeit und irrationale Zahlen Archivado el 31 de octubre de 2005 en Wayback Machine .
67. El enfoque intuitivo, que invierte cada elemento de un corte y toma su complemento, funciona sólo para números irracionales; ver Enderton pág. 117 para más detalles.
68. Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley y James Alves-Foss. "Demostración de teoremas de lógica de orden superior y sus aplicaciones: actas del octavo taller internacional, volumen 971 de". Apuntes de conferencias sobre informática (1995).
69. Las construcciones de los libros de texto no suelen ser tan arrogantes con el símbolo "lim"; véase Burrill (p. 138) para un desarrollo más cuidadoso y prolongado de la suma con secuencias de Cauchy.
70. Ferreirós p. 128
71. Burrill pág. 140
72. Conway, John B. (1986), Funciones de una variable compleja I , Springer, ISBN 978-0-387-90328-6
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77. Cheng, págs. 124-132
78. Riehl, pág. 100
79. El conjunto aún no debe estar vacío. Dummit y Foote (p. 48) analizan este criterio escrito de forma multiplicativa.
80. Rudin pág. 178
81. Lee pág. 526, Proposición 20.9
82. Linderholm (p. 49) observa: "Por multiplicación , hablando propiamente, un matemático puede querer decir prácticamente cualquier cosa. Por adición puede querer decir una gran variedad de cosas, pero no tan grande como la que quiere decir con 'multiplicación'".
83. Dummit y Foote pag. 224. Para que este argumento funcione, aún se debe suponer que la suma es una operación de grupo y que la multiplicación tiene una identidad.
84. Para ver un ejemplo de distributividad izquierda y derecha, consulte Loday, especialmente p. 15.
85. Compare Viro Figura 1 (p. 2)
86. Enderton llama a esta afirmación la "Ley de absorción de la aritmética cardinal"; depende de la comparabilidad de los cardinales y por tanto del axioma de elección .
87. Enderton pag. 164
88. Mijalkin pág. 1
89. Akian y col. pag. 4
90. Mijalkin pág. 2
91. Litvinov y col. pag. 3
92. Viro pág. 4
93. Martín pág. 49
94. Stewart pág. 8
95. Rieffel y Polak, pag. dieciséis
96. Gbur, pág. 300

Referencias

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Otras lecturas

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