Sección transversal (física)

Probabilidad de que un proceso dado ocurra en una colisión de partículas.

En física, la sección transversal es una medida de la probabilidad de que un proceso específico tenga lugar cuando algún tipo de excitación radiante (por ejemplo, un haz de partículas, una onda sonora, una luz o un rayo X) se cruza con un fenómeno localizado (por ejemplo, una partícula). o fluctuación de densidad). Por ejemplo, la sección transversal de Rutherford es una medida de probabilidad de que una partícula alfa sea desviada en un ángulo determinado durante una interacción con un núcleo atómico . La sección transversal normalmente se denota por σ ( sigma ) y se expresa en unidades de área, más específicamente en graneros . En cierto modo, se puede pensar como el tamaño del objeto que debe alcanzar la excitación para que se produzca el proceso, pero más exactamente, es un parámetro de un proceso estocástico .

En física clásica , esta probabilidad a menudo converge a una proporción determinista de energía de excitación involucrada en el proceso, de modo que, por ejemplo, con la luz que se dispersa de una partícula, la sección transversal especifica la cantidad de potencia óptica dispersada por la luz de una irradiancia determinada. (potencia por área). Es importante tener en cuenta que, aunque la sección transversal tiene las mismas unidades que el área, es posible que la sección transversal no corresponda necesariamente con el tamaño físico real del objetivo dado por otras formas de medición. No es raro que el área de la sección transversal real de un objeto que se dispersa sea mucho mayor o menor que la sección transversal en relación con algún proceso físico. Por ejemplo, las nanopartículas plasmónicas pueden tener secciones transversales de dispersión de luz para frecuencias particulares que son mucho mayores que sus áreas de sección transversal reales.

Cuando dos partículas discretas interactúan en la física clásica, su sección transversal mutua es el área transversal a su movimiento relativo dentro de la cual deben encontrarse para dispersarse una de otra. Si las partículas son esferas duras e inelásticas que interactúan sólo al contacto, su sección transversal de dispersión está relacionada con su tamaño geométrico. Si las partículas interactúan a través de alguna fuerza de acción a distancia, como el electromagnetismo o la gravedad , su sección transversal de dispersión es generalmente mayor que su tamaño geométrico.

Cuando una sección transversal se especifica como el límite diferencial de una función de alguna variable de estado final, como el ángulo de una partícula o la energía, se denomina sección transversal diferencial (consulte la discusión detallada a continuación). Cuando una sección transversal se integra en todos los ángulos de dispersión (y posiblemente otras variables), se denomina sección transversal total o sección transversal total integrada . Por ejemplo, en la dispersión de Rayleigh , la intensidad dispersada en los ángulos hacia adelante y hacia atrás es mayor que la intensidad dispersada hacia los lados, por lo que la sección transversal de dispersión diferencial hacia adelante es mayor que la sección transversal diferencial perpendicular, y sumando todas las secciones transversales infinitesimales sobre todo el rango de ángulos con cálculo integral, podemos encontrar la sección transversal total.

Las secciones transversales de dispersión se pueden definir en física nuclear , atómica y de partículas para colisiones de haces acelerados de un tipo de partícula con objetivos (ya sean estacionarios o en movimiento) de un segundo tipo de partícula. La probabilidad de que ocurra cualquier reacción dada es proporcional a su sección transversal. Por lo tanto, especificar la sección transversal para una reacción dada es una aproximación para establecer la probabilidad de que ocurra un proceso de dispersión determinado.

La velocidad de reacción medida de un proceso determinado depende en gran medida de variables experimentales como la densidad del material objetivo, la intensidad del haz, la eficiencia de detección del aparato o el ajuste del ángulo del aparato de detección. Sin embargo, estas cantidades se pueden factorizar, lo que permite medir la sección transversal de colisión de dos partículas subyacente.

Las secciones transversales de dispersión diferencial y total se encuentran entre las cantidades mensurables más importantes en física nuclear , atómica y de partículas .

Colisión entre partículas de gas.

Figura 1. En un gas de partículas de diámetro individual 2 r , la sección transversal σ , para colisiones está relacionada con la densidad numérica de partículas n y el camino libre medio entre colisiones λ .

En un gas de partículas de tamaño finito hay colisiones entre partículas que dependen del tamaño de su sección transversal. La distancia promedio que recorre una partícula entre colisiones depende de la densidad de las partículas de gas. Estas cantidades están relacionadas por

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{n\lambda }},}$

dónde

σ es la sección transversal de una colisión de dos partículas (unidades SI : m ² ),

λ es el camino libre medio entre colisiones (unidades SI: m),

n es la densidad numérica de las partículas objetivo (unidades SI: m ⁻³ ).

Si las partículas del gas pueden tratarse como esferas duras de radio r que interactúan por contacto directo, como se ilustra en la Figura 1, entonces la sección transversal efectiva para la colisión de un par es

${\displaystyle \sigma =\pi \left(2r\right)^{2}}$

Si las partículas del gas interactúan mediante una fuerza con un rango mayor que su tamaño físico, entonces la sección transversal es un área efectiva mayor que puede depender de una variedad de variables como la energía de las partículas.

Las secciones transversales se pueden calcular para colisiones atómicas, pero también se utilizan en el ámbito subatómico. Por ejemplo, en física nuclear , un "gas" de neutrones de baja energía choca con núcleos en un reactor u otro dispositivo nuclear, con una sección transversal que depende de la energía y, por tanto, también con un camino libre medio bien definido entre colisiones.

Atenuación de un haz de partículas.

Si un haz de partículas entra en una fina capa de material de espesor d z , el flujo Φ del haz disminuirá en d Φ según

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,}$

donde σ es la sección transversal total de todos los eventos, incluida la dispersión , la absorción o la transformación a otra especie. La densidad numérica volumétrica de los centros de dispersión se designa con n . Resolver esta ecuación muestra la atenuación exponencial de la intensidad del haz:

${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}e^{-n\sigma z},}$

donde Φ ₀ es el flujo inicial y z es el espesor total del material. Para la luz, esto se llama ley de Beer-Lambert .

Sección transversal diferencial

Considere una medición clásica en la que una sola partícula se dispersa desde una sola partícula objetivo estacionaria. Convencionalmente, se utiliza un sistema de coordenadas esférico , con el objetivo colocado en el origen y el eje z de este sistema de coordenadas alineado con el haz incidente. El ángulo θ es el ángulo de dispersión , medido entre el haz incidente y el haz disperso, y el φ es el ángulo azimutal .

El parámetro de impacto b es el desplazamiento perpendicular de la trayectoria de la partícula entrante, y la partícula saliente emerge en un ángulo θ . Para una interacción dada ( coulómbica , magnética , gravitacional , de contacto, etc.), el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión tienen una dependencia funcional definida uno a uno entre sí. Generalmente, el parámetro de impacto no se puede controlar ni medir de un evento a otro y se supone que toma todos los valores posibles al promediar muchos eventos de dispersión. El tamaño diferencial de la sección transversal es el elemento de área en el plano del parámetro de impacto, es decir, d σ = b d φ d b . El rango angular diferencial de la partícula dispersa en el ángulo θ es el elemento de ángulo sólido d Ω = sin θ d θ d φ . La sección transversal diferencial es el cociente de estas cantidades,re σ/re Ω.

Es función del ángulo de dispersión (y por tanto también del parámetro de impacto), además de otros observables como el impulso de la partícula entrante. La sección transversal diferencial siempre se considera positiva, aunque los parámetros de impacto más grandes generalmente producen menos deflexión. En situaciones cilíndricamente simétricas (alrededor del eje del haz), el proceso de dispersión no cambia el ángulo azimutal φ , y la sección transversal diferencial se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi }$.

En situaciones donde el proceso de dispersión no es azimutalmente simétrico, como cuando el haz o las partículas objetivo poseen momentos magnéticos orientados perpendicularmente al eje del haz, la sección transversal diferencial también debe expresarse como una función del ángulo azimutal.

Para la dispersión de partículas de flujo incidente F _inc de un objetivo estacionario que consta de muchas partículas, la sección transversal diferencialre σ/re Ωen un ángulo ( θ , φ ) está relacionado con el flujo de detección de partículas dispersas F _out ( θ , φ ) en partículas por unidad de tiempo por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.}$

Aquí Δ Ω es el tamaño angular finito del detector (unidad SI: sr ), n es la densidad numérica de las partículas objetivo (unidades SI: m ⁻³ ) y t es el espesor del objetivo estacionario (unidades SI: m ). Esta fórmula supone que el objetivo es lo suficientemente delgado como para que cada partícula del haz interactúe con como máximo una partícula objetivo.

La sección transversal total σ se puede recuperar integrando la sección transversal diferencialre σ/re Ωsobre el ángulo sólido completo ( 4π estereorradianes):

${\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

Es común omitir el calificativo “diferencial” cuando el tipo de sección transversal puede inferirse del contexto. En este caso, σ puede denominarse sección transversal integral o sección transversal total . Este último término puede resultar confuso en contextos en los que intervienen múltiples eventos, ya que “total” también puede referirse a la suma de secciones transversales de todos los eventos.

La sección transversal diferencial es una cantidad extremadamente útil en muchos campos de la física, ya que medirla puede revelar una gran cantidad de información sobre la estructura interna de las partículas objetivo. Por ejemplo, la sección transversal diferencial de la dispersión de Rutherford proporcionó pruebas contundentes de la existencia del núcleo atómico.

En lugar del ángulo sólido, se puede utilizar la transferencia de momento como variable independiente de las secciones transversales diferenciales.

Las secciones transversales diferenciales en la dispersión inelástica contienen picos de resonancia que indican la creación de estados metaestables y contienen información sobre su energía y vida útil.

dispersión cuántica

En el formalismo independiente del tiempo de la dispersión cuántica , la función de onda inicial (antes de la dispersión) se considera una onda plana con momento definido k :

${\displaystyle \phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},}$

donde z y r son las coordenadas relativas entre el proyectil y el objetivo. La flecha indica que esto sólo describe el comportamiento asintótico de la función de onda cuando el proyectil y el objetivo están demasiado separados para que la interacción tenga algún efecto.

Después de que tiene lugar la dispersión, se espera que la función de onda adopte la siguiente forma asintótica:

${\displaystyle \phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},}$

donde f es alguna función de las coordenadas angulares conocida como amplitud de dispersión . Esta forma general es válida para cualquier interacción de corto alcance que conserve energía. No es cierto para las interacciones de largo alcance, por lo que existen complicaciones adicionales cuando se trata de interacciones electromagnéticas.

La función de onda completa del sistema se comporta asintóticamente como la suma

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).}$

La sección transversal diferencial está relacionada con la amplitud de dispersión:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.}$

Esto tiene una interpretación simple como la densidad de probabilidad de encontrar el proyectil disperso en un ángulo dado.

Por lo tanto, una sección transversal es una medida del área de superficie efectiva vista por las partículas que chocan y, como tal, se expresa en unidades de área. La sección transversal de dos partículas (es decir, observada cuando las dos partículas chocan entre sí) es una medida del evento de interacción entre las dos partículas. La sección transversal es proporcional a la probabilidad de que ocurra una interacción; por ejemplo, en un experimento de dispersión simple, el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo (corriente de partículas dispersadas I _r ) depende sólo del número de partículas incidentes por unidad de tiempo (corriente de partículas incidentes I _i ), las características del objetivo ( por ejemplo el número de partículas por unidad de superficie N ), y el tipo de interacción. Para Nσ ≪ 1 tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{probability of interaction}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}}$

Relación con la matriz S

Si las masas reducidas y los momentos del sistema en colisión son m _i , p _i y m _f , p _f antes y después de la colisión respectivamente, la sección transversal diferencial viene dada por ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},}$

donde la matriz T on-shell está definida por

${\displaystyle S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}}$

en términos de la matriz S. Aquí δ es la función delta de Dirac . El cálculo de la matriz S es el objetivo principal de la teoría de la dispersión .

Unidades

Aunque la unidad SI de las secciones transversales totales es m 2 , en la práctica generalmente se utilizan unidades más pequeñas.

En física nuclear y de partículas, la unidad convencional es el granero b , donde 1 b = 10 ⁻²⁸  m ² = 100  fm ² . ^[1] También se utilizan ampliamente unidades con prefijo más pequeñas , como mb y μb . En consecuencia, la sección transversal diferencial se puede medir en unidades como mb/sr.

Cuando la radiación dispersada es luz visible, lo convencional es medir la longitud del camino en centímetros . Para evitar la necesidad de factores de conversión, la sección transversal de dispersión se expresa en cm ² y la concentración numérica en cm ⁻³ . La medición de la dispersión de la luz visible se conoce como nefelometría y es eficaz para partículas de 2 a 50  µm de diámetro: como tal, se utiliza ampliamente en meteorología y en la medición de la contaminación atmosférica .

La dispersión de los rayos X también se puede describir en términos de secciones transversales de dispersión, en cuyo caso el ångström cuadrado es una unidad conveniente: 1 Å ² = 10 ⁻²⁰  m ² =10 000  pm ² = 10 ⁸  b. La suma de las secciones transversales de dispersión, fotoeléctrica y de producción de pares (en graneros) se representa como el "coeficiente de atenuación atómica" (haz estrecho), en graneros. ^[2]

dispersión de la luz

Para la luz, como en otros entornos, la sección transversal de dispersión de las partículas es generalmente diferente de la sección transversal geométrica de la partícula y depende de la longitud de onda de la luz y de la permitividad , la forma y el tamaño de la partícula. La cantidad total de dispersión en un medio disperso es proporcional al producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes.

En la interacción de la luz con las partículas ocurren muchos procesos, cada uno con sus propias secciones transversales, incluida la absorción , la dispersión y la fotoluminiscencia . La suma de las secciones transversales de absorción y dispersión a veces se denomina sección transversal de atenuación o extinción.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.}$

La sección transversal de extinción total está relacionada con la atenuación de la intensidad de la luz mediante la ley de Beer-Lambert , que dice que la atenuación es proporcional a la concentración de partículas:

${\displaystyle A_{\lambda }=Cl\sigma ,}$

donde A _λ es la atenuación a una longitud de onda dada λ , C es la concentración de partículas como densidad numérica y l es la longitud del camino . La absorbancia de la radiación es el logaritmo ( decádico o, más habitualmente, natural ) del recíproco de la transmitancia T : ^[3]

${\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.}$

Combinar las secciones transversales de dispersión y absorción de esta manera a menudo es necesario debido a la incapacidad de distinguirlas experimentalmente, y se ha dedicado mucho esfuerzo de investigación a desarrollar modelos que permitan distinguirlas, siendo la teoría de Kubelka-Munk una de las más importantes en esta área.

Sección transversal y teoría de Mie.

Las secciones transversales comúnmente calculadas utilizando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia para las secciones transversales de extinción , dispersión y absorción . Estos están normalizados por las secciones transversales geométricas de la partícula como ${\textstyle Q_{\text{ext}}}$ ${\textstyle Q_{\text{sc}}}$ ${\textstyle Q_{\text{abs}}}$ ${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$

$${\displaystyle Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.}$$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}}$

donde es el flujo de energía a través de la superficie circundante y es la intensidad de la onda incidente. Para una onda plana , la intensidad será donde está la impedancia del medio anfitrión . ${\displaystyle \left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]}$ ${\displaystyle \left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]}$ ${\displaystyle I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )}$ ${\displaystyle \eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}}$

El enfoque principal se basa en lo siguiente. En primer lugar, construimos una esfera imaginaria de radio (superficie ) alrededor de la partícula (el dispersor). La tasa neta de energía electromagnética que cruza la superficie es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle W_{a}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA}$

¿ Dónde está el vector de Poynting promediado en el tiempo? Si la energía se absorbe dentro de la esfera, de lo contrario se crea energía dentro de la esfera. No consideraremos este caso aquí. Si el medio huésped no es absorbente, la partícula debe absorber la energía. Descomponemos el campo total en partes incidente y dispersa , y lo mismo para el campo magnético . Por lo tanto, podemos descomponerlo en los tres términos , donde ${\displaystyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$ ${\displaystyle W_{a}>0}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{i}+\mathbf {E} _{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle W_{a}}$ ${\displaystyle W_{a}=W_{i}-W_{s}+W_{\text{ext}}}$

${\displaystyle W_{i}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{i}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{s}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{s}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.}$

Dónde y . _ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{i}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{i}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{s}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}$

Todo el campo se puede descomponer en la serie de armónicos esféricos vectoriales (VSH) . Después de eso, se pueden tomar todas las integrales. En el caso de una esfera uniforme de radio , permitividad y permeabilidad el problema tiene una solución precisa. ^[4] Los coeficientes de dispersión y extinción son ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})}$$

$${\displaystyle Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$$

${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$

$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}}$$

Aproximación dipolo para la sección transversal de dispersión

Supongamos que una partícula soporta sólo modos dipolares eléctricos y magnéticos con polarizabilidad y (aquí usamos la notación de polarizabilidad magnética a la manera de Bekshaev et al. ^{[5] [6]} en lugar de la notación de Nieto-Vesperinas et al. ^[7] ) expresado a través de los coeficientes de Mie como ${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$ ${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$

$${\displaystyle \alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.}$$

$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})}$$

$${\displaystyle \sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}}$$

${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$

$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]}$$

$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]}$$

Para el caso de una partícula sin ganancia interna, es decir, la partícula no emite energía internamente ( ), tenemos un caso particular del teorema óptico. ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]}$$

${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$

Dispersión de la luz sobre cuerpos extendidos.

En el contexto de la dispersión de la luz en cuerpos extendidos, la sección transversal de dispersión, σ _sc , describe la probabilidad de que la luz sea dispersada por una partícula macroscópica. En general, la sección transversal de dispersión es diferente de la sección transversal geométrica de una partícula, ya que depende de la longitud de onda de la luz y la permitividad , además de la forma y el tamaño de la partícula. La cantidad total de dispersión en un medio disperso está determinada por el producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes. En términos de área, la sección transversal total ( σ ) es la suma de las secciones transversales debidas a la absorción , dispersión y luminiscencia :

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.}$

La sección transversal total está relacionada con la absorbancia de la intensidad de la luz a través de la ley de Beer-Lambert , que dice que la absorbancia es proporcional a la concentración: A _λ = Clσ , donde A _λ es la absorbancia a una longitud de onda dada λ , C es la concentración como densidad numérica , y l es la longitud del camino . La extinción o absorbancia de la radiación es el logaritmo ( decádico o, más habitualmente, natural ) del recíproco de la transmitancia T : ^[3]

${\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.}$

Relación con el tamaño físico

No existe una relación simple entre la sección transversal de dispersión y el tamaño físico de las partículas, ya que la sección transversal de dispersión depende de la longitud de onda de la radiación utilizada. Esto se puede ver al observar un halo que rodea la Luna en una noche con bastante niebla: los fotones de luz roja experimentan un área de sección transversal más grande de gotas de agua que los fotones de mayor energía. Por lo tanto, el halo alrededor de la Luna tiene un perímetro de luz roja debido a que los fotones de menor energía se dispersan más lejos del centro de la Luna. Los fotones del resto del espectro visible quedan dentro del centro del halo y se perciben como luz blanca.

Rango meteorológico

La sección transversal de dispersión está relacionada con el rango meteorológico L _V :

${\displaystyle L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.}$

La cantidad Cσ _scat a veces se denota como b _scat , el coeficiente de dispersión por unidad de longitud. ^[8]

Ejemplos

Colisión elástica de dos esferas duras.

Las siguientes ecuaciones se aplican a dos esferas duras que sufren una colisión perfectamente elástica. ^[9] Sean R y r los radios del centro de dispersión y la esfera dispersa, respectivamente. La sección transversal diferencial es

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},}$

y la sección transversal total es

${\displaystyle \sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.}$

En otras palabras, la sección transversal de dispersión total es igual al área del círculo (con radio r + R ) dentro del cual debe llegar el centro de masa de la esfera entrante para que se desvíe.

dispersión de Rutherford

En la dispersión de Rutherford , una partícula incidente con carga q y energía E se dispersa de una partícula fija con carga Q. La sección transversal diferencial es

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {k_{\text{e}}q\,Q}{4E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}}$

¿ Dónde está la constante de Coulomb ? ^[10] La sección transversal total es infinita a menos que se aplique un límite para ángulos de dispersión pequeños. ^[11] Esto se debe al largo alcance del potencial de Coulomb. ${\displaystyle k_{e}=1/(4\pi \varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1/r}$

Dispersión desde un espejo circular 2D

El siguiente ejemplo trata de un haz de luz que se dispersa en un círculo con radio r y un límite perfectamente reflectante. El haz consta de una densidad uniforme de rayos paralelos y la interacción haz-círculo se modela en el marco de la óptica geométrica . Como el problema es genuinamente bidimensional, la sección transversal tiene unidades de longitud (p. ej., metros). Sea α el ángulo entre el rayo de luz y el radio que une el punto de reflexión del rayo con el punto central del espejo. Entonces el aumento del elemento de longitud perpendicular a la viga es

${\displaystyle \mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .}$

El ángulo de reflexión de este rayo con respecto al rayo entrante es 2 α y el ángulo de dispersión es

${\displaystyle \theta =\pi -2\alpha .}$

La relación diferencial entre la intensidad incidente y reflejada I es

${\displaystyle I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

La sección transversal diferencial es por lo tanto ( d Ω = d θ )

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Su máximo en θ = π corresponde a la dispersión hacia atrás, y su mínimo en θ = 0 corresponde a la dispersión desde el borde del círculo directamente hacia adelante. Esta expresión confirma las expectativas intuitivas de que el círculo especular actúa como una lente divergente . La sección transversal total es igual al diámetro del círculo:

${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.}$

Dispersión desde un espejo esférico 3D

El resultado del ejemplo anterior se puede utilizar para resolver el problema análogo en tres dimensiones, es decir, dispersión desde una esfera perfectamente reflectante de radio a .

El plano perpendicular al haz de luz entrante se puede parametrizar mediante coordenadas cilíndricas r y φ . En cualquier plano del rayo entrante y reflejado podemos escribir (del ejemplo anterior):

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}}$

mientras que el elemento del área de impacto es

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

En coordenadas esféricas,

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

Junto con la identidad trigonométrica.

${\displaystyle \sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),}$

obtenemos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.}$

La sección transversal total es

${\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.}$

Ver también

• Sección transversal (geometría)
• Velocidad de flujo
• Luminosidad (teoría de la dispersión)
• Coeficiente de atenuación lineal
• Coeficiente de atenuación de masa
• Sección transversal de neutrones
• Sección transversal nuclear
• Sección transversal de rayos gamma
• Análisis de onda parcial
• detector de partículas
• Sección de cruce de radar
• dispersión de Rutherford
• amplitud de dispersión

Referencias

1. Oficina Internacional de Pesas y Medidas (2006), El Sistema Internacional de Unidades (SI) (PDF) (8ª ed.), págs. 127–28, ISBN 92-822-2213-6, archivado (PDF) desde el original el 4 de junio de 2021 , consultado el 16 de diciembre de 2021
2. Manual de pruebas no destructivas, volumen 4, pruebas radiográficas, ASNT, 2002, capítulo 22.
3. Bajpai, PK (2008). Instrumentación y metodología biológica (2ª ed. revisada). Ram Nagar, Nueva Delhi: S. Chand & Company Ltd. ISBN 9788121926331. OCLC  943495167.
4. Bohren, Craig F. y Donald R. Huffman. Absorción y dispersión de la luz por pequeñas partículas. John Wiley e hijos, 2008.
5. Bekshaev, A Ya (1 de abril de 2013). "Partículas de longitud de onda inferior en un campo de luz no homogéneo: fuerzas ópticas asociadas con el espín y los flujos de energía orbital". Revista de Óptica . 15 (4): 044004. arXiv : 1210.5730 . Código Bib : 2013JOpt...15d4004B. doi :10.1088/2040-8978/15/4/044004. ISSN  2040-8978. S2CID  119234614.
6. Bliokh, Konstantin Y.; Bekshaev, Aleksandr Y.; Nori, Franco (6 de marzo de 2014). "Extraordinario impulso y giro en ondas evanescentes". Comunicaciones de la naturaleza . Springer Science y Business Media LLC. 5 (1): 3300. arXiv : 1308.0547 . Código Bib : 2014NatCo...5.3300B. doi : 10.1038/ncomms4300 . ISSN  2041-1723. PMID  24598730. S2CID  15832637.
7. Nieto-Vesperinas, M.; Sáenz, JJ; Gómez-Medina, R.; Chantada, L. (14 de mayo de 2010). "Fuerzas ópticas sobre pequeñas partículas magnetodieléctricas". Óptica Express . La Sociedad Óptica. 18 (11): 11428–11443. Código Bib : 2010OExpr..1811428N. doi : 10.1364/oe.18.011428 . ISSN  1094-4087. PMID  20589003.
8. IUPAC , Compendio de terminología química , 2ª ed. (el "Libro de Oro") (1997). Versión corregida en línea: (2006–) "Sección transversal de dispersión, σscat". doi :10.1351/libro de oro.S05490
9. Taylor 2005, págs.564, 574.
10. Taylor 2005, pag. 576.
11. Griffiths 2005, pág. 409.

Bibliografía

• Griffiths, David J. (2005). Introducción a la mecánica cuántica . Pearson-Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7. OCLC  53926857.
• Taylor, John R. (2005). Mecanica clasica . Mill Valley, California. ISBN 1-891389-22-X. OCLC  55729992.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• JD Bjorken, SD Drell, Mecánica cuántica relativista , 1964
• P. Roman, Introducción a la teoría cuántica , 1969
• W. Greiner, J. Reinhardt, Electrodinámica cuántica , 1994
• RG Newton. Teoría de la dispersión de ondas y partículas . McGraw Hill, 1966.
• RC Fernow (1989). Introducción a la Física de Partículas Experimental. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-379-403.

enlaces externos

• Sección transversal nuclear
• Sección transversal de dispersión
• OIEA - Servicios de datos nucleares
• BNL - Centro Nacional de Datos Nucleares
• Grupo de datos de partículas: revisión de la física de partículas
• Libro de oro de la IUPAC - Definición: sección transversal de reacción
• Libro de oro de la IUPAC - Definición: sección transversal de colisión
• Trazador de secciones transversales ShimPlotWell para datos nucleares