Masa reducida

Masa inercial efectiva

En física , la masa reducida es una medida de la masa inercial efectiva de un sistema con dos o más partículas cuando las partículas interactúan entre sí. La masa reducida permite resolver el problema de dos cuerpos como si fuera un problema de un solo cuerpo . Sin embargo, tenga en cuenta que la masa que determina la fuerza gravitacional no se reduce. En el cálculo, una masa se puede reemplazar con la masa reducida, si esto se compensa reemplazando la otra masa con la suma de ambas masas. La masa reducida se denota con frecuencia por ( mu ), aunque el parámetro gravitacional estándar también se denota por (al igual que varias otras cantidades físicas ). Tiene las dimensiones de masa y la unidad SI kg. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

La masa reducida es particularmente útil en la mecánica clásica .

Ecuación

Dados dos cuerpos, uno con masa m ₁ y el otro con masa m ₂ , el problema de un cuerpo equivalente, con la posición de un cuerpo con respecto al otro como incógnita, es el de un solo cuerpo de masa ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mu =m_{1}\parallel m_{2}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$

donde la fuerza sobre esta masa está dada por la fuerza entre los dos cuerpos.

Propiedades

La masa reducida es siempre menor o igual a la masa de cada cuerpo:

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}}$

y tiene la propiedad aditiva recíproca:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}$

que por reordenamiento equivale a la mitad de la media armónica .

En el caso especial de que : ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}}$

Si , entonces . ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ ${\displaystyle \mu \approx m_{2}}$

Derivación

La ecuación se puede derivar de la siguiente manera.

Mecánica newtoniana

Utilizando la segunda ley de Newton , la fuerza ejercida por un cuerpo (partícula 2) sobre otro cuerpo (partícula 1) es:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$

La fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2 es:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

Según la tercera ley de Newton , la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la partícula 1 es igual y opuesta a la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la partícula 2:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

La aceleración relativa a _rel entre los dos cuerpos viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$

Nótese que (dado que la derivada es un operador lineal) la aceleración relativa es igual a la aceleración de la separación entre las dos partículas. ${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

Esto simplifica la descripción del sistema a una fuerza (ya que ), una coordenada y una masa . Por lo tanto, hemos reducido nuestro problema a un solo grado de libertad y podemos concluir que la partícula 1 se mueve con respecto a la posición de la partícula 2 como una sola partícula de masa igual a la masa reducida, . ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\rm {rel}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Mecánica lagrangiana

Alternativamente, una descripción lagrangiana del problema de dos cuerpos da un lagrangiano de

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$

donde es el vector de posición de la masa (de la partícula ). La energía potencial V es una función, ya que solo depende de la distancia absoluta entre las partículas. Si definimos ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

y que el centro de masas coincida con nuestro origen en este marco de referencia, es decir

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$,

entonces

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Luego, sustituyendo lo anterior, obtenemos un nuevo lagrangiano.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

es la masa reducida. Por lo tanto, hemos reducido el problema de los dos cuerpos al de un solo cuerpo.

Aplicaciones

La masa reducida se puede utilizar en una multitud de problemas de dos cuerpos, donde es aplicable la mecánica clásica.

Momento de inercia de dos masas puntuales en una línea

Dos masas puntuales que giran alrededor del centro de masa.

En un sistema con dos masas puntuales y tales que sean colineales, las dos distancias y al eje de rotación se pueden encontrar con ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

donde es la suma de ambas distancias . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$

Esto es válido para una rotación alrededor del centro de masas. El momento de inercia alrededor de este eje se puede simplificar a $${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

Colisiones de partículas

En una colisión con un coeficiente de restitución e , el cambio en la energía cinética se puede escribir como

${\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)}$,

donde v _rel es la velocidad relativa de los cuerpos antes de la colisión .

En aplicaciones típicas de física nuclear, donde la masa de una partícula es mucho mayor que la de la otra, la masa reducida se puede aproximar como la masa más pequeña del sistema. El límite de la fórmula de masa reducida cuando una masa tiende al infinito es la masa más pequeña, por lo que esta aproximación se utiliza para facilitar los cálculos, especialmente cuando no se conoce la masa exacta de la partícula más grande.

Movimiento de dos cuerpos masivos bajo su atracción gravitatoria

En el caso de la energía potencial gravitacional

${\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

encontramos que la posición del primer cuerpo con respecto al segundo está gobernada por la misma ecuación diferencial que la posición de un cuerpo con la masa reducida que orbita un cuerpo con una masa igual a la suma de las dos masas, porque

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu }$

Mecánica cuántica no relativista

Consideremos el electrón (masa m _e ) y el protón (masa m _p ) en el átomo de hidrógeno . ^[3] Orbitan entre sí alrededor de un centro de masa común, un problema de dos cuerpos. Para analizar el movimiento del electrón, un problema de un cuerpo, la masa reducida reemplaza la masa del electrón.

${\displaystyle m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}}$

Esta idea se utiliza para establecer la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.

Véase también

• Paralelo (operador) : operación general, de la cual la masa reducida es sólo un caso.
• Marco del centro del momento
• Conservación del momento
• Oscilador armónico
• Masa de chirrido , un equivalente relativista utilizado en la expansión post-newtoniana

Referencias

1. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
2. Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
3. Mecánica cuántica molecular, partes I y II: Introducción a la química cuántica (volumen 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0 

Enlaces externos

• Masa reducida en HyperPhysics