Paralelo (operador)

Modelado matemático de operaciones de resistencias en paralelo

Interpretación gráfica del operador paralelo con . ${\displaystyle a\parallel b=c}$

El operador paralelo (pronunciado "paralelo", ^[1] siguiendo la notación de líneas paralelas de la geometría ; ^{[2] [3]} también conocido como suma reducida , suma paralela o adición paralela ) es una operación binaria que se utiliza como abreviatura en ingeniería eléctrica , ^{[4] [5] [6] [nb 1]} pero también se utiliza en cinética , mecánica de fluidos y matemáticas financieras . ^{[7] [8]} El nombre paralelo proviene del uso del operador que calcula la resistencia combinada de resistencias en paralelo . ${\displaystyle \|}$

Descripción general

El operador paralelo representa el valor recíproco de una suma de valores recíprocos (a veces también denominado "fórmula recíproca" o " suma armónica ") y se define por: ^{[9] [6] [10] [11]}

${\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}},}$

donde a , b y son elementos de los números complejos extendidos ^{[12] [13]} ${\displaystyle a\parallel b}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

El operador da la mitad de la media armónica de dos números a y b . ^{[7] [8]}

Como caso especial, para cualquier número : ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={\tfrac {1}{2}}a.}$

Además, para todos los números distintos : ${\displaystyle a\neq b}$

${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}>{\tfrac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}$

representando el valor absoluto de , y significando el mínimo (menor elemento) entre x e y . ${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}}$ ${\displaystyle a\parallel b}$ ${\displaystyle \min(x,y)}$

Si y son números reales positivos distintos entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}$

El concepto se ha extendido desde una operación escalar a matrices ^{[14] [15] [16] [17] [18]} y se ha generalizado aún más . ^[19]

Notación

El operador fue introducido originalmente como suma reducida por Sundaram Seshu en 1956, ^{[20] [21] [14]} estudiado como operador  ∗por Kent E. Erickson en 1959, ^{[22] [23] [14]} y popularizado por Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. como operador de suma paralela u operador  de suma paralela: en matemáticas y teoría de redes desde 1966. ^{[15] [16] [1]} Si bien algunos autores continúan usando este símbolo hasta el presente, ^{[7] [8]} por ejemplo, Sujit Kumar Mitra lo usó ∙como símbolo en 1970. ^[14] En electrónica aplicada , un  ∥signo se volvió más común como símbolo del operador alrededor de 1974. ^{[24] [25] [26] [27] [28] [nb 1] [nb 2]} Esto a menudo se escribía como una línea vertical doble (||) disponible en la mayoría de los conjuntos de caracteres (a veces en cursiva como //^{[29] [30]} ), pero ahora se puede representar utilizando el carácter Unicode U+2225 ( ∥ ) para "paralelo a". En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, las macros \|y \parallelse utilizan a menudo (y rara vez \smallparallelse utilizan) para indicar el símbolo del operador.

Propiedades

Sea el plano complejo extendido excluyendo el cero, y la función biyectiva de a tal que Uno tiene identidades ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \varphi (z)=1/z.}$

${\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}$

y

${\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}$

Esto implica inmediatamente que es un campo donde el operador paralelo toma el lugar de la adición, y que este campo es isomorfo a ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Las siguientes propiedades se pueden obtener traduciendo las propiedades correspondientes de los números complejos. ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades del campo

Como ocurre con cualquier campo, satisface una variedad de identidades básicas. ${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}$

Es conmutativa bajo paralelo y multiplicación:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}$

Es asociativa bajo paralelismo y multiplicación: ^{[12] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}$

Ambas operaciones tienen un elemento identidad ; para la paralela la identidad es mientras que para la multiplicación la identidad es 1 : ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}$

Cada elemento de tiene un inverso en paralelo, igual al inverso aditivo en la adición. (Pero 0 no tiene inverso en paralelo). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle -a,}$

${\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}$

El elemento identidad es su propio inverso, ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}$

Cada elemento de tiene un inverso multiplicativo : ${\displaystyle a\neq \infty }$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle a^{-1}=1/a}$

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}$

La multiplicación es distributiva sobre paralela: ^{[1] [7] [8]}

${\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}$

Paralelo repetido

El paralelo repetido es equivalente a la división,

${\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}$

O bien, multiplicando ambos lados por n ,

${\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}$

A diferencia de la suma repetida , esto no conmuta:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}$

Expansión binomial

Utilizando la propiedad distributiva dos veces, el producto de dos binomios paralelos se puede desarrollar como

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}$

El cuadrado de un binomio es

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}$

El cubo de un binomio es

${\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}$

En general, la potencia n de un binomio se puede desarrollar utilizando coeficientes binomiales que son el recíproco de los de la suma, lo que da como resultado un análogo de la fórmula binomial :

${\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}$

Logaritmo y exponencial

Se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}$

Factorización de polinomios paralelos

Al igual que con un polinomio bajo adición, un polinomio paralelo con coeficientes en (con ) se puede factorizar en un producto de monomios: ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle a_{0}\neq \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}$

para algunas raíces (posiblemente repetidas) en ${\displaystyle r_{k}}$ ${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}$

Análoga a los polinomios bajo adición, la ecuación polinómica

${\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }$

implica que para algún k . ${\textstyle x=r_{k}}$

Fórmula cuadrática

Una ecuación lineal se puede resolver fácilmente mediante la inversa paralela:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

Para resolver una ecuación cuadrática paralela, complete el cuadrado para obtener un análogo de la fórmula cuadrática.

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}$

Incluyendo cero

Los números complejos extendidos , incluido el cero, ya no son un cuerpo en operaciones paralelas y de multiplicación, porque el 0 no tiene inverso en operaciones paralelas. (Esto es análogo a la forma en que no es un cuerpo porque no tiene inverso aditivo). ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}$ ${\displaystyle \infty }$

Para cada a distinto de cero ,

${\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}$

La cantidad puede dejarse indefinida (ver forma indeterminada ) o definirse como igual a 0 . ${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}$

Precedencia

En ausencia de paréntesis, el operador paralelo se define como que tiene prioridad sobre la suma o la resta, de forma similar a la multiplicación. ^{[1] [31] [9] [10]}

Aplicaciones

Existen aplicaciones del operador paralelo en electrónica, óptica y estudio de la periodicidad:

Análisis de circuitos

En ingeniería eléctrica , el operador paralelo se puede utilizar para calcular la impedancia total de varios circuitos eléctricos en serie y en paralelo . ^{[nb 2]} Existe una dualidad entre la suma habitual (en serie) y la suma en paralelo. ^{[7] [8]}

Por ejemplo, la resistencia total de las resistencias conectadas en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}$

Lo mismo ocurre con la capacitancia total de los capacitores en serie . ^{[nb 2]}

Ecuación de la lente

En óptica geométrica, la aproximación de la lente delgada a la ecuación del fabricante de lentes.

${\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}$

Periodo sinódico

El tiempo transcurrido entre las conjunciones de dos cuerpos en órbita se denomina período sinódico . Si el período del cuerpo más lento es T ₂ y el del más rápido es T ₁ , entonces el período sinódico es

${\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}$

Ejemplos

Pregunta:

Tres resistencias y están conectadas en paralelo . ¿Cuál es su resistencia resultante? ${\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }$ ${\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }$ ${\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }$

Respuesta:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}$

La resistencia efectivamente resultante es de aproximadamente 57 kΩ .

Pregunta: ^{[7] [8]}

Un trabajador de la construcción levanta un muro en 5 horas. Otro trabajador necesitaría 7 horas para realizar el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo se tarda en levantar el muro si ambos trabajadores trabajan en paralelo?

Respuesta:

${\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }$

Terminarán en cerca de 3 horas.

Implementación

WP 34S con operador paralelo ( ∥) en la tecla g+ .÷

Sugerido ya por Kent E. Erickson como una subrutina en computadoras digitales en 1959, ^[22] el operador paralelo se implementa como un operador de teclado en las calculadoras científicas de Notación Polaca Inversa (RPN) WP 34S desde 2008 ^{[32] [33] [34]} así como en la WP 34C ^[35] y WP 43S desde 2015, ^{[36] [37]} permitiendo resolver incluso problemas en cascada con pocas pulsaciones de teclas como .270↵ Enter180∥120∥

Visión proyectiva

Dado un cuerpo F hay dos incrustaciones de F en la línea proyectiva P( F ): z → [ z  : 1] y z → [1 : z ]. Estas incrustaciones se superponen excepto para [0:1] y [1:0]. El operador paralelo relaciona la operación de adición entre las incrustaciones. De hecho, las homografías en la línea proyectiva están representadas por matrices de 2 x 2 M(2, F ), y las operaciones de cuerpo (+ y ×) se extienden a las homografías. Cada incrustación tiene su adición a + b representada por las siguientes multiplicaciones de matrices en M(2, A ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los dos productos matriciales muestran que hay dos subgrupos de M(2, F ) isomorfos a ( F ,+), el grupo aditivo de F . Dependiendo de qué incrustación se utilice, una operación es +, la otra es ${\displaystyle \parallel .}$

Notas

1. Si bien el uso del símbolo ∥ para "paralelo" en geometría se remonta a 1673 en la obra de John Kersey el mayor , ^[A] este comenzó a usarse más a partir de aproximadamente 1875. ^[B] El uso de un operador matemático para circuitos paralelos se origina en la teoría de redes en ingeniería eléctrica . Sundaram Seshu introdujo un operador de suma reducida en 1956, ^[C] Kent E. Erickson propuso un asterisco (∗) para simbolizar el operador en 1959, ^[D] mientras que Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. usaron dos puntos (:) para la adición paralela desde 1966. ^[E] Sujit Kumar Mitra usó un punto medio (∙) para ello en 1970. ^[F] Se desconoce el primer uso del símbolo paralelo (∥) para este operador en electrónica aplicada , pero podría haberse originado en el libro de Stephen D. Senturia  [d] y Bruce D. Wedlock de 1974 "Electronic Circuits and Applications", ^[G] que evolucionó a partir de su curso introductorio de electrónica en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) con conceptos de enseñanza de teoría de redes y electrónica derivados de un curso anterior impartido por Campbell "Cam" Leach Searle. Se popularizó aún más a través del libro de John W. McWane de 1981 "Introducción a la electrónica y la instrumentación", ^[H] que surgió de un curso del MIT con el mismo nombre desarrollado como parte del influyente Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico entre 1974 y 1979. Este símbolo probablemente también se introdujo porque los otros símbolos utilizados podían confundirse fácilmente con los signos comúnmente utilizados para la multiplicación y la división en algunos contextos.
2. En circuitos eléctricos el operador paralelo puede aplicarse, respectivamente, a resistencias paralelas ( R en [Ω]) o inductancias ( L en [H]) así como a impedancias ( Z en [Ω]) o reactancias ( X en [Ω]). Ignorando el glifo del símbolo del operador, que en ese momento puede resultar engañoso , también puede aplicarse a circuitos en serie de, respectivamente, conductancias ( G en [S]) o capacitancias ( C en [F]) así como a admitancias ( Y en [S]) o susceptancias ( B en [S]).

Referencias

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2. Kersey (el mayor), John (1673). "Capítulo I: Sobre el alcance de este cuarto libro y el significado de los caracteres, abreviaturas y citas que se utilizan en él". Los elementos de ese arte matemático, comúnmente llamado álgebra. Vol. Libro IV - Los elementos de las artes algebraicas. Londres: Thomas Passinger, Three-Bibles, London-Bridge. págs. 177–178. Archivado desde el original el 2020-08-05 . Consultado el 2019-08-09 .
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15. Duffin, Richard James ; Hazony, Dov; Morrison, Norman Alexander (marzo de 1966) [1965-04-12, 1964-08-25]. "Síntesis de redes a través de matrices híbridas". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 14 (2). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM): 390–413. doi :10.1137/0114032. JSTOR  2946272.(24 páginas)
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17. Mitra, Sujit Kumar; Puri, Madan Lal (octubre de 1973). "Sobre la suma y diferencia paralelas de matrices" (PDF) . Revista de análisis matemático y aplicaciones . 44 (1). Academic Press, Inc. : 92–97. doi :10.1016/0022-247X(73)90027-9. Archivado desde el original (PDF) el 13 de abril de 2019.
18. Mitra, Sujit Kumar; Bhimasankaram, Pochiraju; Malik, Saroj B. (2010). Órdenes parciales de matrices, operadores acortados y aplicaciones. Series in Algebra. Vol. 10 (1.ª ed. ilustrada). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN  978-981-283-844-5. ISBN 981-283-844-9 . Consultado el 19 de agosto de 2019 . (446 páginas)
19. Eriksson-Bique, Sirkka-Liisa Anneli [en finlandés] ; Leutwiler, Heinz (febrero de 1989) [10 de enero de 1989]. "Una generalización de la suma paralela" (PDF) . Aecuaciones Mathematicae . 38 (1). Birkhäuser Verlag : 99-110. doi :10.1007/BF01839498. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
20. Seshu, Sundaram (septiembre de 1956). "Sobre circuitos eléctricos y circuitos de conmutación". IRE Transactions on Circuit Theory . CT-3 (3). Instituto de Ingenieros de Radio (IRE): 172–178. doi :10.1109/TCT.1956.1086310.(7 páginas) (NB. Ver erratas.)
21. Seshu, Sundaram; Gould, Roderick (septiembre de 1957). "Corrección de 'Sobre circuitos eléctricos y circuitos de conmutación'". IRE Transactions on Circuit Theory . Corrección. CT-4 (3). Instituto de Ingenieros de Radio (IRE): 284. doi : 10.1109/TCT.1957.1086390 .(1 página) (NB. Se refiere a la referencia anterior.)
22. Erickson, Kent E. (marzo de 1959). "Una nueva operación para analizar redes en serie-paralelo". IRE Transactions on Circuit Theory . CT-6 (1). Institute of Radio Engineers (IRE): 124–126. doi :10.1109/TCT.1959.1086519. pág. 124: […] La operación ∗ se define como A ∗ B = AB/A + B. El símbolo ∗ tiene propiedades algebraicas que simplifican la solución formal de muchos problemas de redes en serie-paralelo. Si la operación ∗ se incluyera como una subrutina en una computadora digital , podría simplificar la programación de ciertos cálculos de red. […](3 páginas) (NB. Ver comentario.)
23. Kaufman, Howard (junio de 1963). "Observación sobre una nueva operación para analizar redes en serie y en paralelo". IEEE Transactions on Circuit Theory . CT-10 (2). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 283. doi :10.1109/TCT.1963.1082126. p. 283: […] Comentarios sobre la operación ∗ […] a∗b = ab/(a+b) […](1 página) (NB. Se refiere a la referencia anterior.)
24. Senturia, Stephen D. [en Wikidata] ; Wedlock, Bruce D. (1975) [agosto de 1974]. "Parte A. Aprendizaje del lenguaje, Capítulo 3. Redes resistivas lineales, 3.2 Configuraciones básicas de red, 3.2.3. Resistencias en paralelo". Escrito en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, Cambridge, Massachusetts, EE. UU. Circuitos electrónicos y aplicaciones (1.ª ed.). Nueva York, Londres, Sídney, Toronto: John Wiley & Sons, Inc. pp. viii–ix, 44–46 [45]. ISBN 0-471-77630-0. LCCN  74-7404. S2CID  61070327. pp. viii, ix, 45: Este libro de texto evolucionó a partir de un curso introductorio de electrónica de un semestre impartido por los autores en el Instituto Tecnológico de Massachusetts . […] El curso es utilizado por muchos estudiantes de primer año como precursor del Programa Básico de Ingeniería Eléctrica del MIT. […] La preparación de un libro de este tamaño se ha basado en la contribución de muchas personas. El concepto de enseñar la teoría de redes y la electrónica como un solo tema unificado deriva del profesor Campbell Searle, quien enseñó el curso introductorio de electrónica cuando uno de nosotros (SDS) era un estudiante de posgrado de física de primer año que intentaba aprender electrónica. Además, el profesor Searle ha proporcionado una crítica constructiva invaluable a lo largo de la redacción de este texto. Varios miembros de la facultad del MIT y casi 40 asistentes técnicos graduados han participado en la enseñanza de este material durante los últimos cinco años, muchos de los cuales han hecho contribuciones importantes a través de sus sugerencias y ejemplos. Entre ellos, queremos agradecer especialmente a OR Mitchell, Irvin Englander, George Lewis, Ernest Vincent, David James, Kenway Wong, Gim Hom, Tom Davis, James Kirtley y Robert Donaghey. El presidente del Departamento de Ingeniería Eléctrica del MIT, el profesor Louis D. Smullin , ha proporcionado apoyo y estímulo durante este proyecto, al igual que muchos colegas de todo el departamento. […] El primer resultado […] establece que el voltaje total a través de la combinación en paralelo de R ₁ y R ₂ es el mismo que el que se produce a través de una única resistencia de valor R ₁  R ₂  (R ₁  + R ₂ ). Debido a que esta expresión para la resistencia en paralelo ocurre tan a menudo, se le da una notación especial (R ₁ ∥R ₂ ). Es decir, cuando R ₁ y R ₂ están en paralelo, la resistencia equivalente es […] ${\displaystyle (R_{1}\parallel R_{2})={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$(xii+623+5 páginas) (NB: También estaba disponible un manual para el profesor. Las primeras tiradas contienen una cantidad considerable de errores tipográficos. Véase también: el libro de Wedlock de 1978.) [7]
25. Wolf, Lawrence J. (1977) [1976, 1974]. "Sección 4. Materiales didácticos – 4.3. Proyecto de desarrollo del currículo técnico del MIT – Introducción a la electrónica y la instrumentación". En Aldridge, Bill G.; Mowery, Donald R.; Wolf, Lawrence J.; Dixon, Peggy (eds.). Tecnología científica e ingeniería – Guía curricular: una guía para un currículo de grado asociado de dos años (PDF) . Saint Louis Community College–Florissant Valley , St. Louis, Missouri, EE. UU.: National Science Teachers Association , Washington DC, EE. UU. pp. 21, 77. Archivado (PDF) desde el original el 2017-02-15 . Consultado el 2019-08-08 . p. 21: […] Introducción a la electrónica y la instrumentación es un enfoque nuevo y contemporáneo para el curso introductorio de electrónica. Diseñado para estudiantes sin experiencia previa en electrónica, desarrolla las habilidades y conocimientos necesarios para utilizar y comprender los sistemas electrónicos modernos. […] John W. McWane […](NB. El Proyecto SET fue un programa de estudios postsecundarios de dos años desarrollado entre 1974 y 1977 para preparar a los técnicos para utilizar instrumentos electrónicos).
26. Wiesner, Jerome Bert ; Johnson, Howard Wesley ; Killian, Jr., James Rhyne , eds. (1978-04-11). "Escuela de Ingeniería – Centro de Estudios Avanzados de Ingeniería (CAES) – Investigación y Desarrollo – Proyecto de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico". Informe del Presidente y el Canciller 1977–78 – Instituto Tecnológico de Massachusetts (PDF) . Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT). págs. 249, 252–253. Archivado (PDF) desde el original el 2015-09-10 . Consultado el 2019-08-08 . págs. 249, 252–253: […] El Programa de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico, patrocinado por la Organización Imperial de Servicios Sociales  [fa] de Irán , está entrando en el cuarto año de un contrato de cinco años. Continúa el desarrollo del currículo en electrónica e ingeniería mecánica. […] Administrado conjuntamente por CAES y el Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales , el Proyecto está bajo la supervisión del Profesor Merton C. Flemings. Está dirigido por el Dr. John W. McWane. […] Desarrollo de materiales curriculares. Esta es la actividad principal del proyecto y se ocupa del desarrollo de materiales de cursos innovadores y de última generación en áreas necesarias de tecnología de ingeniería […] nuevo curso introductorio en electrónica […] se titula Introducción a la electrónica y la instrumentación y consta de ocho […] módulos […] Corriente continua, voltaje y resistencia; Redes de circuitos básicos; Señales variables en el tiempo; Amplificadores operacionales; Fuentes de alimentación; Corriente alterna, voltaje e impedancia; Circuitos digitales; y Medición y control electrónicos. Este curso representa un cambio importante y una actualización de la forma en que se introduce la electrónica, y debería ser de gran valor para STI, así como para muchos programas de EE. UU. […]
27. Wedlock, Bruce D. (1978). Redes de circuitos básicos . Introducción a la electrónica y la instrumentación. Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), Proyecto de investigación y desarrollo de currículo técnico.(81 páginas) (NB: Esto formó la base de la Parte I del libro de McWane de 1981. Véase también: el libro de Senturia y Wedlock de 1975).
28. McWane, John W. (1 de mayo de 1981). Introducción a la electrónica y la instrumentación (edición ilustrada). North Scituate, Massachusetts, EE. UU.: Breton Publishers , Wadsworth, Inc., págs. 78, 96–98, 100, 104. ISBN 0-53400938-7. ISBN 978-0-53400938-0 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . p. xiii, 96–98, 100: […] Bruce D. Wedlock […] fue el principal autor colaborador de la Parte I, REDES DE CIRCUITOS BÁSICOS, incluido el diseño de los ejemplos complementarios. […] La mayor parte del desarrollo del programa IEI se llevó a cabo como parte del Proyecto de investigación y desarrollo del currículo técnico del Centro de estudios de ingeniería avanzada del MIT . […] notación abreviada […] símbolo abreviado ∥ […] (xiii+545 páginas) (NB: En 1981, también existía un manual de laboratorio de 216 páginas que acompañaba a este libro. El trabajo surgió de un programa de curso del MIT "The MIT Technical Curriculum Development Project - Introduction to Electronics and Instrumentation" desarrollado entre 1974 y 1979. En 1986, se publicó una segunda edición de este libro bajo el título "Introducción a la tecnología electrónica".)
29. "7.5.3 Selección de la resistencia externa". Temporizador de sistema nano-potente TPL5110 para control de potencia (PDF) (Hoja de datos). Revisión A. Texas Instruments Incorporated . Septiembre de 2018 [enero de 2015]. págs. 13-14. SNAS650A. Archivado (PDF) desde el original el 25 de septiembre de 2022. Consultado el 25 de septiembre de 2022 .(27 páginas)
30. "A7987: Regulador reductor de conmutación asíncrono de 61 V, 3 A con limitación de corriente ajustable para automoción" (PDF) (Hoja de datos). Revisión 3. STMicroelectronics NV . 2020-09-22 [2019-03-19]. págs. 17, 18, 20. DS12928. Archivado (PDF) desde el original el 2022-07-18 . Consultado el 2022-07-18 .(36 páginas)
31. Pablo, Steffen; Paul, Reinhold (24 de octubre de 2014). "Capítulo 2.3.2: Zusammenschaltungen resistivo lineal Zweipole - Parallelschaltung". Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (en alemán). vol. 1 (5 ed.). Springer-Verlag . pag. 78.ISBN​ 978-3-64253948-0. ISBN 3-64253948-3 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . pag. 78: […] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen. (446 páginas)
32. Dale, Paul; Bonin, Walter (2012-11-30) [2008-12-09]. Manual del propietario del WP 34S (PDF) (3.1 ed.). págs. 1, 14, 32, 66, 116. Archivado (PDF) desde el original el 2019-07-09 . Consultado el 2019-07-13 .[8] (211 páginas)
33. Bonin, Walter (2015) [9 de diciembre de 2008]. Manual del usuario de WP 34S (3.3.ª edición). CreateSpace Independent Publishing Platform . ISBN 978-1-5078-9107-0.[9]
34. Bonin, Walter (11 de julio de 2016) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario de WP 34S (4.ª edición). CreateSpace Independent Publishing Platform . ISBN 978-1-53366238-5. ISBN 1-53366238-X . (410 páginas)
35. Dowrick, Nigel (3 de mayo de 2015) [16 de marzo de 2015]. "Modo de bloqueo complejo para WP-34". Museo HP . Archivado desde el original el 3 de abril de 2019. Consultado el 7 de agosto de 2019 .
36. Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual del propietario del WP 43S (PDF) . 0.16 (edición preliminar). pág. 119. ISBN 978-1-72950098-9. ISBN 1-72950098-6 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de julio de 2022 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [10] [11] (328 páginas)
37. Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual de referencia WP 43S (PDF) . 0.16 (edición preliminar). pág. 127. ISBN 978-1-72950106-1. ISBN 1-72950106-0 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de julio de 2022 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [12] [13] (315 páginas)

Lectura adicional

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• Duffin, Richard James ; Morley, Tom D. (julio de 1978). "Operadores casi definidos y sistemas electromecánicos". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 35 (1). Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM): 21–30. doi :10.1137/0135003. JSTOR  2101028.(10 páginas)
• Morley, Tom D. (julio de 1979). "Suma paralela, principio de Maxwell y el ínfimo de las proyecciones" (PDF) . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 70 (1). Departamento de Matemáticas, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , Urbana, Illinois, EE. UU.: 33–41. doi :10.1016/0022-247X(79)90073-8. Archivado desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
• Seeger, Alberto (mayo de 1990) [1988-03-22]. "Suma directa e inversa en análisis convexo y aplicaciones" (PDF) . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 148 (2). Departamento de Matemáticas, Universidad de Washington , Seattle, Washington, EE. UU.: Academic Press, Inc. : 317–349. doi :10.1016/0022-247X(90)90004-Y. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .(33 páginas)
• Bryant, Randal E .; Tygar, J. Doug; Huang, Lawrence P. (1994). "Caracterización geométrica de redes de resistencias variables en serie-paralelo" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications . 41 (11): 686–698. doi :10.1109/81.331520. Archivado desde el original (PDF) el 14 de agosto de 2017.
• Antezana, Jorge; Corach, Gustavo; Stojanoff, Demetrio (abril de 2006) [2005-09-14]. "Operadores bilaterales en corto y sumas paralelas" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 414 (2–3). La Plata, Argentina y Buenos Aires, Argentina: 570–588. arXiv : math/0509327 . doi :10.1016/j.laa.2005.10.039. Archivado (PDF) desde el original el 2017-08-09 . Consultado el 2020-08-20 .[14] (19 páginas)
• Chansangiam, Pattrawut (febrero de 2016) [agosto de 2015, julio de 2015]. "Aspectos matemáticos para conexiones de redes eléctricas". Revista de ingeniería de la KKU . 43 (1): 47–54. doi :10.14456/kkuenj.2016.8. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020. Consultado el 20 de agosto de 2020 .
• Besenyei, Ádám (1 de septiembre de 2016). "La irresistible desigualdad de Milne" (PDF) . Budapest: Departamento de Análisis Aplicado y Matemática Computacional, Universidad Eötvös Loránd . CIA2016. Archivado (PDF) desde el original el 8 de agosto de 2019 . Consultado el 11 de agosto de 2019 .
• "7.5 Características eléctricas: VCC = 5 V / 7.6 Características eléctricas: VCC = 2,7 V / 9.1.2.1 Comparador inversor con histéresis". TLV3201, TLV3202: Comparadores de salida Push-Pull, microPOWER, TLV320x de 40 ns (PDF) . Revisión B. Dallas, Texas, EE. UU.: Texas Instruments Incorporated . 2022-06-03 [2016, 2012]. págs. 5, 6, 13–14 [13]. SBOS561B. Archivado (PDF) desde el original el 2022-08-17 . Consultado el 2022-08-18 . p. 5: PARÁMETRO […] TIPO […] UNIDAD […] IMPEDANCIA DE ENTRADA […] Modo común […] 10 ¹³ ∥ 2 […] Ω ∥ pF […] Diferencial […] 10 ¹³ ∥ 4 […] Ω ∥ pF […](37 páginas) (NB: Uso inusual de ∥ tanto para valores como para unidades).

Enlaces externos

• https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py