Estado estacionario

Estado cuántico con todos los observables independientes del tiempo

Un estado estacionario es un estado cuántico con todos los observables independientes del tiempo. Es un vector propio del operador de energía (en lugar de una superposición cuántica de diferentes energías). También se le llama vector propio de energía , estado propio de energía , función propia de energía o elemento propio de energía . Es muy similar al concepto de orbital atómico y orbital molecular en química, con algunas pequeñas diferencias que se explican a continuación.

Introducción

Un oscilador armónico en mecánica clásica (A–B) y mecánica cuántica (C–H). En (A–B), una bola, unida a un resorte , oscila de un lado a otro. (C–H) son seis soluciones de la ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición, el eje vertical es la parte real (azul) o la parte imaginaria (roja) de la función de onda . (C, D, E, F), pero no (G, H), son estados estacionarios u ondas estacionarias . La frecuencia de oscilación de la onda estacionaria, multiplicada por la constante de Planck , es la energía del estado.

Un estado estacionario se llama estacionario porque el sistema permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en todas las formas observables. Para un hamiltoniano de una sola partícula , esto significa que la partícula tiene una distribución de probabilidad constante para su posición, su velocidad, su espín , etc. ^[1] (Esto es cierto suponiendo que el entorno de la partícula también es estático, es decir, el hamiltoniano no cambia en el tiempo). La función de onda en sí no es estacionaria: cambia continuamente su factor de fase complejo general , de modo que forma una onda estacionaria . La frecuencia de oscilación de la onda estacionaria, multiplicada por la constante de Planck , es la energía del estado según la relación de Planck-Einstein .

Los estados estacionarios son estados cuánticos que son soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo : donde $${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle ,}$$

• ${\displaystyle |\Psi \rangle }$es un estado cuántico , que es un estado estacionario si satisface esta ecuación;
• ${\displaystyle {\hat {H}}}$es el operador hamiltoniano ;
• ${\displaystyle E_{\Psi }}$es un número real y corresponde al valor propio de energía del estado . ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Esta es una ecuación de valor propio : es un operador lineal en un espacio vectorial, es un vector propio de y es su valor propio. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle E_{\Psi }}$

Si se introduce un estado estacionario en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, el resultado es ^[2] ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle .}$$

Suponiendo que es independiente del tiempo (no cambia con el tiempo), esta ecuación se cumple para cualquier tiempo t . Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial que describe cómo varía con el tiempo. Su solución es ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$

Por lo tanto, un estado estacionario es una onda estacionaria que oscila con un factor de fase complejo global , y su frecuencia angular de oscilación es igual a su energía dividida por . ${\displaystyle \hbar }$

Propiedades del estado estacionario

Tres soluciones de función de onda para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un oscilador armónico . Izquierda: La parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda. Derecha: La probabilidad de encontrar la partícula en una posición determinada. Las dos filas superiores son dos estados estacionarios y la inferior es el estado de superposición , que no es un estado estacionario. La columna de la derecha ilustra por qué los estados estacionarios se denominan "estacionarios". ${\textstyle \psi _{N}\equiv (\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

Como se muestra arriba, un estado estacionario no es matemáticamente constante: $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$

Sin embargo, todas las propiedades observables del estado son, de hecho, constantes en el tiempo. Por ejemplo, si representa una función de onda unidimensional simple de una partícula , la probabilidad de que la partícula esté en la posición x es que es independiente del tiempo t . ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=\left|e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }\Psi (x,0)\right|^{2}=\left|e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }\right|^{2}\left|\Psi (x,0)\right|^{2}=\left|\Psi (x,0)\right|^{2},}$$

La imagen de Heisenberg es una formulación matemática alternativa de la mecánica cuántica donde los estados estacionarios son verdaderamente matemáticamente constantes en el tiempo.

Como se mencionó anteriormente, estas ecuaciones suponen que el hamiltoniano es independiente del tiempo. Esto significa simplemente que los estados estacionarios solo son estacionarios cuando el resto del sistema también es fijo y estacionario. Por ejemplo, un electrón 1s en un átomo de hidrógeno está en un estado estacionario, pero si el átomo de hidrógeno reacciona con otro átomo, entonces el electrón, por supuesto, se verá perturbado.

Descomposición espontánea

La desintegración espontánea complica la cuestión de los estados estacionarios. Por ejemplo, según la mecánica cuántica simple ( no relativista ) , el átomo de hidrógeno tiene muchos estados estacionarios: 1s, 2s, 2p , etc., son todos estados estacionarios. Pero en realidad, solo el estado fundamental 1s es verdaderamente "estacionario": un electrón en un nivel de energía superior emitirá espontáneamente uno o más fotones para desintegrarse en el estado fundamental. ^[3] Esto parece contradecir la idea de que los estados estacionarios deberían tener propiedades inmutables.

La explicación es que el hamiltoniano utilizado en la mecánica cuántica no relativista es sólo una aproximación al hamiltoniano de la teoría cuántica de campos . Los estados de electrones de mayor energía (2s, 2p, 3s, etc.) son estados estacionarios según el hamiltoniano aproximado, pero no estacionarios según el hamiltoniano verdadero, debido a las fluctuaciones del vacío . Por otro lado, el estado 1s es verdaderamente un estado estacionario, según el hamiltoniano aproximado y el verdadero.

Comparación con el término "orbital" en química

Un orbital es un estado estacionario (o aproximación del mismo) de un átomo o molécula de un electrón; más específicamente, un orbital atómico para un electrón en un átomo, o un orbital molecular para un electrón en una molécula. ^[4]

Para una molécula que contiene un solo electrón (por ejemplo, hidrógeno atómico o H ₂ ⁺ ), un orbital es exactamente lo mismo que un estado estacionario total de la molécula. Sin embargo, para una molécula de muchos electrones, un orbital es completamente diferente de un estado estacionario total, que es un estado de muchas partículas que requiere una descripción más complicada (como un determinante de Slater ). ^[5] En particular, en una molécula de muchos electrones, un orbital no es el estado estacionario total de la molécula, sino más bien el estado estacionario de un solo electrón dentro de la molécula. Este concepto de orbital solo tiene sentido bajo la aproximación de que si ignoramos los términos de repulsión instantánea electrón-electrón en el hamiltoniano como una suposición simplificadora, podemos descomponer el vector propio total de una molécula de muchos electrones en contribuciones separadas de estados estacionarios de electrones individuales (orbitales), cada uno de los cuales se obtiene bajo la aproximación de un electrón. (Afortunadamente, los químicos y físicos pueden utilizar a menudo (pero no siempre) esta "aproximación de un solo electrón"). En este sentido, en un sistema de muchos electrones, un orbital puede considerarse como el estado estacionario de un electrón individual en el sistema.

En química, el cálculo de orbitales moleculares normalmente también supone la aproximación de Born-Oppenheimer .

Véase también

• Transición de estado
• Número cuántico
• Vacío mecánico cuántico o estado de vacío
• Partícula virtual
• Estado estable

Referencias

1. Claude Cohen-Tannoudji , Bernard Diu y Franck Laloë . Mecánica cuántica: volumen uno . Hermann, 1977. pág. 32.
2. Quanta: Un manual de conceptos, P. W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN  0-19-855493-1 .
3. Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
4. Química física, P. W. Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7 . 
5. Löwdin, Per-Olov (1955). "Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas. I. Interpretaciones físicas por medio de matrices de densidad, orbitales de espín naturales y problemas de convergencia en el método de interacción configuracional". Physical Review . 97 (6): 1474–1489. Bibcode :1955PhRv...97.1474L. doi :10.1103/PhysRev.97.1474.

Lectura adicional

• Estados estacionarios , Alan Holden, Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3