Imagen de Heisenberg

Formulación de la mecánica cuántica

En física , la imagen de Heisenberg o representación de Heisenberg ^[1] es una formulación (debida en gran parte a Werner Heisenberg en 1925) de la mecánica cuántica en la que los operadores ( observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo, una base fija arbitraria que subyace rígidamente a la teoría.

Se contrapone a la imagen de Schrödinger, en la que los operadores son constantes y los estados evolucionan en el tiempo. Las dos imágenes solo se diferencian por un cambio de base con respecto a la dependencia temporal, que corresponde a la diferencia entre transformaciones activas y pasivas . La imagen de Heisenberg es la formulación de la mecánica matricial en una base arbitraria, en la que el hamiltoniano no es necesariamente diagonal.

Sirve además para definir una tercera imagen híbrida: la imagen de interacción .

Detalles matemáticos

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, los vectores de estado | ψ ⟩ no cambian con el tiempo, mientras que los observables A satisfacen

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},}$

donde "H" y "S" etiquetan observables en las imágenes de Heisenberg y Schrödinger respectivamente, H es el hamiltoniano y [·,·] denota el conmutador de dos operadores (en este caso H y A ). Al tomar valores esperados se obtiene automáticamente el teorema de Ehrenfest , que aparece en el principio de correspondencia .

Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes, solo un cambio de base en el espacio de Hilbert . En cierto sentido, la imagen de Heisenberg es más natural y conveniente que la imagen equivalente de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas . La invariancia de Lorentz se manifiesta en la imagen de Heisenberg, ya que los vectores de estado no distinguen el tiempo o el espacio.

Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica : simplemente reemplazando el conmutador anterior por el corchete de Poisson , la ecuación de Heisenberg se reduce a una ecuación de mecánica hamiltoniana .

Equivalencia de la ecuación de Heisenberg con la ecuación de Schrödinger

Con fines pedagógicos, se introduce aquí la imagen de Heisenberg a partir de la imagen posterior, pero más conocida, de Schrödinger .

Según la ecuación de Schrödinger , el estado cuántico en el tiempo es , donde es el operador de evolución temporal inducido por un hamiltoniano que podría depender del tiempo, y es el estado inicial. se refiere al ordenamiento temporal, ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria. El valor esperado de un observable en la imagen de Schrödinger , que es un operador lineal hermítico que también podría depender del tiempo, en el estado está dado por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle U(t)=Te^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dsH_{\rm {S}}(s)}}$ ${\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{\rm {S}}(t)}$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A_{\rm {S}}(t)|\psi (t)\rangle .}$$

En la imagen de Heisenberg, se supone que el estado cuántico permanece constante en su valor inicial , mientras que los operadores evolucionan con el tiempo según la definición Esto implica fácilmente , por lo que se puede obtener el mismo valor esperado trabajando en cualquiera de las imágenes. La ecuación de Schrödinger para el operador de evolución temporal es Se deduce que donde la diferenciación se llevó a cabo según la regla del producto . Esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg. Nótese que el hamiltoniano que aparece en la línea final anterior es el hamiltoniano de Heisenberg , que puede diferir del hamiltoniano de Schrödinger . ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle A_{\rm {H}}(t):=U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)\,.}$$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|A_{\rm {H}}(t)|\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {i}{\hbar }}H_{\rm {S}}(t)U(t).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&=\left({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)\right)A_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)\left({\frac {d}{dt}}U(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {H}}(t),A_{\rm {H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H_{\rm {H}}(t)}$ ${\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}$

Un caso especial importante de la ecuación anterior se obtiene si el hamiltoniano no varía con el tiempo. Entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como y por lo tanto, dado que ahora conmuta con . Por lo tanto, y siguiendo los análisis anteriores, ${\displaystyle H_{\rm {S}}}$ $${\displaystyle U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH_{\rm {S}}},}$$ ${\displaystyle H_{\rm {H}}\equiv H_{\rm {S}}\equiv H}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}A_{\rm {S}}(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}|\psi (0)\rangle }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)]+e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}.\end{aligned}}}$$

Además, si también es independiente del tiempo, entonces el último término se desvanece y ${\displaystyle A_{\rm {S}}\equiv A}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)],}$

donde en este caso particular. La ecuación se resuelve mediante el uso del operador estándar identidad , lo que implica ${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)\equiv A(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}Ae^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}}$ $${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,}$$ $${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots }$$

Una relación similar también se aplica a la mecánica clásica , el límite clásico de lo anterior, dado por la correspondencia entre corchetes de Poisson y conmutadores : En la mecánica clásica, para una A sin dependencia explícita del tiempo, por lo que nuevamente la expresión para A ( t ) es la expansión de Taylor alrededor de t = 0. $${\displaystyle [A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}.}$$ $${\displaystyle \{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,}$$

En efecto, el estado inicial del sistema cuántico ha desaparecido de la vista y solo se lo considera en el paso final, cuando se toman valores específicos esperados o elementos de matriz de observables que evolucionaron en el tiempo de acuerdo con la ecuación de movimiento de Heisenberg. Se aplica un análisis similar si el estado inicial es mixto .

El estado evolucionado en el tiempo en la imagen de Schrödinger se escribe a veces de tal manera que se pueda diferenciar del estado evolucionado que aparece en las diferentes imágenes de interacción . ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle }$

Relaciones de conmutadores

Las relaciones de conmutación pueden parecer diferentes a las de la imagen de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere los operadores x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) y p ( t ₂ ) . La evolución temporal de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Considerando el oscilador armónico unidimensional, la evolución de los operadores de posición y momento viene dada por: $${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.}$$

Nótese que el hamiltoniano es independiente del tiempo y, por lo tanto, son los operadores de posición y momento en la imagen de Heisenberg. Derivando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas, se llega a ${\displaystyle x(t),p(t)}$ $${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$$ $${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),}$$ $${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).}$$

El cálculo directo produce relaciones de conmutador más generales, $${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}$$ $${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}$$ $${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).}$$

Para , uno simplemente recupera las relaciones de conmutación canónicas estándar válidas en todas las imágenes. ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Véase también

• Notación de corchetes
• Imagen de interacción
• Imagen de Schrödinger
• Ecuaciones de Heisenberg-Langevin
• Formulación del espacio de fases

Referencias

1. "Representación de Heisenberg". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 3 de septiembre de 2013 .

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. pp. 312–314. ISBN. 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés de GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3.ª ed., John Wiley 1998) págs. 430–431 ISBN 0-471-88702-1 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN. 978-0-08-020940-1.Copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0306447907 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0201539295 . 

Enlaces externos

• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace del capítulo 2 para encontrar una introducción extensa y simplificada a la imagen de Heisenberg.
• Algunas derivaciones ampliadas y un ejemplo del oscilador armónico en la imagen de Heisenberg [1]
• El artículo original de Heisenberg traducido (aunque difícil de leer, contiene un ejemplo del oscilador anarmónico): Fuentes de la mecánica cuántica BL Van Der Waerden [2]
• Los cálculos para el átomo de hidrógeno en la representación de Heisenberg provienen originalmente de un artículo de Pauli [3]