Sección transversal de rayos gamma

Probabilidad de que un rayo gamma interactúe con la materia

La sección eficaz de un rayo gamma es una medida de la probabilidad de que un rayo gamma interactúe con la materia. La sección eficaz total de las interacciones de los rayos gamma se compone de varios procesos independientes: efecto fotoeléctrico , dispersión Compton (incoherente) , producción de pares electrón-positrón en el campo del núcleo y producción de pares electrón-positrón en el campo del electrón (producción de tripletes). La sección eficaz de cada proceso individual mencionado anteriormente es una parte de la sección eficaz total de los rayos gamma.

Otros efectos, como la absorción fotonuclear y la dispersión de Thomson o Rayleigh (coherente) pueden omitirse debido a su contribución no significativa en el rango de energías de los rayos gamma.

A continuación se enumeran las ecuaciones detalladas para las secciones transversales (granero/átomo) de todos los efectos mencionados relacionados con la interacción de los rayos gamma con la materia.

Sección transversal del efecto fotoeléctrico

El fenómeno del efecto fotoeléctrico describe la interacción de un fotón gamma con un electrón ubicado en la estructura atómica . Esto da como resultado la expulsión de ese electrón del átomo . El efecto fotoeléctrico es el mecanismo de transferencia de energía dominante para los fotones de rayos X y rayos gamma con energías inferiores a 50 keV . Es mucho menos importante a energías más altas, pero aún así debe tenerse en cuenta.

Generalmente, la sección transversal del fotoefecto se puede aproximar mediante la ecuación simplificada de ^{[1] [2]}

${\displaystyle \sigma _{ph}={\frac {16}{3}}{\sqrt {2}}\pi r_{e}^{2}\alpha ^{4}{\frac {Z^{5}}{k^{3.5}}}\approx 5\cdot 10^{11}{\frac {Z^{5}}{E_{\gamma }^{3.5}}}\,\mathrm {b} }$

donde k = E _γ / E _e , y donde E _γ = hν es la energía del fotón dada en eV y E _e = m _e c ² ≈ 5,11∙10 ⁵ eV es la energía de la masa en reposo del electrón , Z es un número atómico del elemento del absorbedor, α = e ² /(ħc) ≈ 1/137 es la constante de estructura fina , y r _e ² = e ⁴ /E _e ² ≈ 0.07941 b es el cuadrado del radio clásico del electrón en barns .

Sin embargo, para una mayor precisión, la ecuación de Sauter ^[3] es más apropiada:

${\displaystyle \sigma _{ph}={\frac {3}{2}}\phi _{0}\alpha ^{4}{\biggl (}Z{\frac {E_{e}}{E_{\gamma }}}{\biggr )}^{5}(\gamma ^{2}-1)^{3/2}{\Biggl [}{\frac {4}{3}}+{\frac {\gamma (\gamma -2)}{\gamma +1}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{2\gamma (\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}\ln {\frac {\gamma +(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}{\gamma -(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {E_{\gamma }-E_{B}+E_{e}}{E_{e}}}}$

y E _B es una energía de enlace del electrón, y ϕ ₀ es una sección transversal de Thomson (ϕ ₀ = 8 πe ⁴ /(3E _e ² ) ≈ 0,66526 barn).

Para energías más altas (>0,5 MeV ), la sección transversal del efecto fotoeléctrico es muy pequeña porque predominan otros efectos (especialmente la dispersión Compton ). Sin embargo, para cálculos precisos de la sección transversal del efecto fotoeléctrico en el rango de alta energía, la ecuación de Sauter se sustituirá por la ecuación de Pratt-Scofield ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle \sigma _{ph}=Z^{5}{\Biggl (}\sum _{n=1}^{4}{\frac {a_{n}+b_{n}Z}{1+c_{n}Z}}k^{-p_{n}}{\Biggr )}}$

donde todos los parámetros de entrada se presentan en la siguiente tabla.

Sección transversal de dispersión Compton

La dispersión Compton (o efecto Compton) es una interacción en la que un fotón gamma incidente interactúa con un electrón atómico para provocar su expulsión y la dispersión del fotón original con menor energía. La probabilidad de dispersión Compton disminuye al aumentar la energía del fotón. Se cree que la dispersión Compton es el principal mecanismo de absorción de rayos gamma en el rango de energía intermedio de 100 keV a 10 MeV.

La sección transversal del efecto Compton se describe mediante la ecuación de Klein-Nishina :

${\displaystyle \sigma _{C}=Z2\pi r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {1+k}{k^{2}}}{\Biggl [}{\frac {2(1+k)}{1+2k}}-{\frac {\ln {(1+2k)}}{k}}{\Biggr ]}+{\frac {\ln {(1+2k)}}{2k}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}{\Biggr \}}}$

Para energías superiores a 100 keV (k > 0,2). Sin embargo, para energías inferiores, esta ecuación se sustituirá por: ^[6]

${\displaystyle \sigma _{C}=Z{\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}{\frac {1}{(1+2k)^{2}}}{\biggl (}1+2k+{\frac {6}{5}}k^{2}-{\frac {1}{2}}k^{3}+{\frac {2}{7}}k^{4}-{\frac {6}{35}}k^{5}+{\frac {8}{105}}k^{6}+{\frac {4}{105}}k^{7}{\biggr )}}$

que es proporcional al número atómico del absorbente , Z.

La sección transversal adicional relacionada con el efecto Compton se puede calcular solo para el coeficiente de transferencia de energía: la absorción de la energía del fotón por el electrón: ^[7]

${\displaystyle \sigma _{C,abs}=Z2\pi r_{e}^{2}{\biggl [}{\frac {2(1+k)^{2}}{k^{2}(1+2k)}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}-{\frac {(1+k)(2k^{2}-2k-1)}{k^{2}(1+2k)^{2}}}-{\frac {4k^{2}}{3(1+2k)^{3}}}-{\Bigl (}{\frac {1+k}{k^{3}}}-{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{2k^{3}}}{\Bigr )}\ln {(1+2k)}{\biggr ]}}$

que se utiliza a menudo en los cálculos de protección radiológica .

Sección transversal de producción de pares (en el campo del núcleo)

Por interacción con el campo eléctrico de un núcleo , la energía del fotón incidente se convierte en la masa de un par electrón- positrón (e ⁻ e ⁺ ) . La sección transversal para el efecto de producción del par se describe generalmente mediante la ecuación de Maximon: ^{[8] [6]}

${\displaystyle \sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\frac {2\pi }{3}}{\biggl (}{\frac {k-2}{k}}{\biggr )}^{3}{\biggl (}1+{\frac {1}{2}}\rho +{\frac {23}{40}}\rho ^{2}+{\frac {11}{60}}\rho ^{3}+{\frac {29}{960}}\rho ^{4}{\biggr )}}$para energías bajas ( k <4),

dónde

${\displaystyle \rho ={\frac {2k-4}{2+k+2{\sqrt {2k}}}}}$.

Sin embargo, para energías más altas ( k >4) la ecuación de Maximon tiene una forma de

${\displaystyle \sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+({\frac {2}{k}})^{2}{\biggl [}6\ln {2k}-{\frac {7}{2}}+{\frac {2}{3}}\ln ^{3}{2k}-\ln ^{2}{2k}-{\frac {1}{3}}\pi ^{2}\ln {2k}+2\zeta (3)+{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{4}{\biggl [}{\frac {3}{16}}\ln {2k}+{\frac {1}{8}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{6}{\biggl [}{\frac {29}{9\cdot 256}}\ln {2k}-{\frac {77}{27\cdot 512}}{\biggr ]}{\Biggr \}}}$

donde ζ(3)≈1,2020569 es la función zeta de Riemann . El umbral de energía para el efecto de producción de pares es k = 2 (la energía de masa en reposo del positrón y el electrón ).

Sección transversal de producción de tripletes

El efecto de producción de tripletes, en el que se produce un positrón y un electrón en el campo de otro electrón, es similar a la producción de pares, con el umbral en k = 4. Este efecto, sin embargo, es mucho menos probable que la producción de pares en el campo del núcleo . La forma más popular de la sección eficaz del triplete se formuló como ecuación de Borsellino-Ghizzetti ^[6].

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{trip}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}&+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3\ln ^{2}{2k}-{\frac {60+16a}{3}}\ln {2k}+{\frac {123+12a+16b}{3}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{2}}}{\biggl (}{\frac {8}{3}}\ln ^{3}{2k}-4\ln ^{2}{2k}+{\frac {51+32a}{3}}\ln {2k}-{\frac {123+32a+64b}{6}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{3}}}{\biggl (}\ln ^{2}{2k}-{\frac {53}{9}}\ln {2k}-{\frac {2915-288a}{216}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{4}}}{\biggl (}-{\frac {49}{18}}\ln {2k}-{\frac {115}{432}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{5}}}{\biggl (}-{\frac {77}{36}}\ln {2k}-{\frac {10831}{8640}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{6}}}{\biggl (}-{\frac {641}{300}}\ln {2k}-{\frac {64573}{36000}}{\biggr )}\\&+{\frac {1}{k^{7}}}{\biggl (}-{\frac {4423}{1800}}\ln {2k}-{\frac {394979}{216000}}{\biggr )}{\Biggl ]}\end{aligned}}}$

donde a = -2,4674 y b = -1,8031. Esta ecuación es bastante larga, por lo que Haug ^[9] propuso formas analíticas más simples de la sección eficaz del triplete. Especialmente para las energías más bajas 4< k <4,6:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}[5.6+20.4(k-4)-10.9(k-4)^{2}-3.6(k-4)^{3}+7.4(k-4)^{4}]10^{-3}(k-4)^{2}}$

Para 4.6< k <6:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}(0.582814-0.29842k+0.04354k^{2}-0.0012977k^{3})}$

Para 6< k <18:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\biggl (}{\frac {3.1247-1.3394k+0.14612k^{2}}{1+0.4648k+0.016683k^{2}}}{\biggr )}}$

Para k > 14, Haug propuso utilizar una forma más corta de la ecuación de Borsellino: ^{[9] [10]}

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3.863\ln ^{2}{2k}-11\ln {2k}+27.9{\biggr )}{\Biggr ]}}$

Sección transversal total

Se puede presentar la sección transversal total por átomo como una simple suma de cada efecto: ^[2]

${\displaystyle \sigma _{total}=\sigma _{ph}+\sigma _{C}+\sigma _{pair}+\sigma _{trip}}$

A continuación, utilizando la ley de Beer-Lambert-Bouguer , se puede calcular el coeficiente de atenuación lineal para la interacción del fotón con un absorbedor de densidad atómica N :

${\displaystyle \mu =\sigma _{total}N}$

o el coeficiente de atenuación de masa :

${\displaystyle \mu _{d}={\frac {\mu }{\rho }}={\frac {\sigma _{total}}{uA}}}$

donde ρ es la densidad de masa , u es una unidad de masa atómica , a A es la masa atómica del absorbedor.

Esto se puede utilizar directamente en la práctica, por ejemplo en la protección radiológica .

El cálculo analítico de la sección transversal de cada fenómeno específico es bastante difícil porque las ecuaciones correspondientes son largas y complicadas. Por lo tanto, la sección transversal total de la interacción gamma se puede presentar en una ecuación fenomenológica formulada por Fornalski, ^[11] que se puede utilizar en su lugar:

${\displaystyle \sigma _{total}(k,Z)=\sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {k})^{i}\sum _{j=0}^{4}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}}$

donde los parámetros _i,j se presentan en la Tabla siguiente. Esta fórmula es una aproximación de la sección transversal total de la interacción de los rayos gamma con la materia, para diferentes energías (de 1 MeV a 10 GeV, es decir, 2< k <20.000) y números atómicos del absorbente (de Z = 1 a 100).

Para la región de menor energía (<1 MeV), la ecuación de Fornalski es más complicada debido a la mayor variabilidad de la función de los diferentes elementos . Por lo tanto, la ecuación modificada ^[11]

${\displaystyle \sigma _{total}(E,Z)=\exp \sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {E})^{i}\sum _{j=0}^{6}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}}$

es una buena aproximación para energías de fotones de 150 keV a 10 MeV, donde la energía del fotón E se da en MeV, y los parámetros _i,j se presentan en la Tabla siguiente con mucha mejor precisión. Análogamente, la ecuación es válida para todos los Z de 1 a 100.

Base de datos de secciones transversales de XCOM

El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de Estados Unidos publicó en línea ^[12] una base de datos completa y detallada de valores de sección transversal de interacciones de rayos X y rayos gamma con diferentes materiales en diferentes energías. La base de datos, llamada XCOM, también contiene coeficientes de atenuación lineal y de masa, que son útiles para aplicaciones prácticas.

Véase también

• Sección transversal (física)
• Luz de gama
• Coeficiente de atenuación lineal
• Coeficiente de atenuación de masa
• Sección transversal del neutrón
• Sección transversal nuclear

Enlaces externos

• Base de datos de XCOM

Referencias

1. Davisson, CM (1965). Interacción de la radiación gamma con la materia. En: Alpha-, Beta- and Gamma-ray Spectroscopy: Volume 1. Editado por Kai Siegbahn . Ámsterdam: North-Holland Publishing Company.
2. Fornalski, Krzysztof W (22 de marzo de 2018). "Funciones de corrección empíricas simples para secciones transversales del efecto fotoeléctrico, dispersión Compton, producción de pares y tripletes para escudos de radiación de carbono para energías de fotones intermedias y altas". Journal of Physics Communications . 2 (3): 035038. doi : 10.1088/2399-6528/aab408 . ISSN  2399-6528.
3. Davisson, Charlotte Meaker; Evans, Robley D. (1 de abril de 1952). "Coeficientes de absorción de rayos gamma". Reseñas de física moderna . 24 (2): 79–107. doi :10.1103/RevModPhys.24.79. ISSN  0034-6861.
4. Pratt, RH (15 de febrero de 1960). "Efecto fotoeléctrico atómico a altas energías". Physical Review . 117 (4): 1017–1028. doi :10.1103/PhysRev.117.1017. ISSN  0031-899X.
5. Scofield JH 1973. Secciones transversales de fotoionización teóricas de 1 a 1500 keV . Informe técnico n.º UCRL—51326, Universidad de California, Livermore. Laboratorio Lawrence Livermore.
6. Hubbell, JH; Gimm, HA; O/verbo/, I. (1980). "Secciones transversales atómicas de pares, tripletes y totales (y coeficientes de atenuación de masa) para fotones de 1 MeV a 100 GeV en elementos Z = 1 a 100". Journal of Physical and Chemical Reference Data . 9 (4): 1023–1148. doi :10.1063/1.555629. ISSN  0047-2689.
7. Attix FH 1986. Introducción a la física radiológica y la dosimetría de la radiación . John Wiley & Sons
8. Maximon LC 1968. Expresiones analíticas simples para la sección eficaz de aproximación de Born total para la producción de pares en un campo de Coulomb . J. Res. Nat. Bur. Stand., vol. 72B (Math. Sci.), n.º 1, págs. 79-88 [1]
9. Haug E. 1981. Expresiones analíticas simples para la sección transversal total para la producción de pares γ-e . Zeitschrift für Naturforschung, vol. 36a, págs. 413-414
10. Haug E. 1975. Bremsstrahlung y producción de pares en el campo de los electrones libres . Zeitschrift für Naturforschung, vol. 30a, págs. 1099-1113
11. Fornalski, Krzysztof Wojciech (1 de enero de 2021). "Fórmulas fenomenológicas de sección transversal total para la interacción de rayos X y radiación gamma con materia para diferentes energías y tipos de absorbentes". Revista de ingeniería nuclear y ciencia de la radiación . 7 (1). doi :10.1115/1.4045806. ISSN  2332-8983. S2CID  214397083.
12. Berger, MJ, Hubbell, JH, Seltzer, SM, Chang, J., Coursey, JS, Sukumar, R., Zucker, DS y Olsen, K., 2010. XCOM: Base de datos de secciones transversales de fotones (versión 1.5), Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD, EE. UU., DOI: 10.18434/T48G6X [2]