Armónicos esféricos vectoriales

Extensión de los armónicos esféricos escalares para su uso con campos vectoriales

En matemáticas , los armónicos esféricos vectoriales ( VSH ) son una extensión de los armónicos esféricos escalares para su uso con campos vectoriales . Los componentes de los VSH son funciones de valor complejo expresadas en vectores de base de coordenadas esféricas .

Definición

Se han utilizado varias convenciones para definir el VSH. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Seguimos la de Barrera et al .. Dado un armónico esférico escalar Y _ℓm ( θ , φ ) , definimos tres VSH:

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},}$

siendo el vector unitario a lo largo de la dirección radial en coordenadas esféricas y el vector a lo largo de la dirección radial con la misma norma que el radio, es decir, . Los factores radiales se incluyen para garantizar que las dimensiones de los VSH sean las mismas que las de los armónicos esféricos ordinarios y que los VSH no dependan de la coordenada esférica radial. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$

El interés de estos nuevos campos vectoriales es separar la dependencia radial de la angular cuando se utilizan coordenadas esféricas, de modo que un campo vectorial admita una expansión multipolar.

$${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Las etiquetas de los componentes reflejan que es el componente radial del campo vectorial, mientras que y son componentes transversales (con respecto al radio vector ). ${\displaystyle E_{\ell m}^{r}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Propiedades principales

Simetría

Al igual que los armónicos esféricos escalares, los VSH satisfacen

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}$$

lo que reduce el número de funciones independientes aproximadamente a la mitad. La estrella indica conjugación compleja .

Ortogonalidad

Los VSH son ortogonales en la forma tridimensional habitual en cada punto : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

También son ortogonales en el espacio de Hilbert:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$$

Un resultado adicional en un solo punto (no informado en Barrera et al, 1985) es, para todos , ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Momentos multipolares vectoriales

Las relaciones de ortogonalidad permiten calcular los momentos multipolares esféricos de un campo vectorial como

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

El gradiente de un campo escalar

Dada la expansión multipolar de un campo escalar

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

Podemos expresar su gradiente en términos de VSH como

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

Divergencia

Para cualquier campo multipolar tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Por superposición obtenemos la divergencia de cualquier campo vectorial:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

Vemos que el componente de Φ _ℓm es siempre solenoidal .

Rizo

Para cualquier campo multipolar tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Por superposición obtenemos el rotacional de cualquier campo vectorial:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Laplaciano

La acción del operador de Laplace se separa de la siguiente manera: ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$donde y ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta también que esta acción se vuelve simétrica , es decir, los coeficientes fuera de la diagonal son iguales a , para VSH correctamente normalizado . ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$

Ejemplos

Visualizaciones de las partes reales de los VSH. Haga clic para expandir. ${\displaystyle \ell =1,2,3}$

Primeros armónicos esféricos vectoriales

• ${\displaystyle \ell =0}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =1}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =2}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$

Las expresiones para valores negativos de m se obtienen aplicando las relaciones de simetría.

Aplicaciones

Electrodinámica

Los VSH son especialmente útiles en el estudio de campos de radiación multipolares . Por ejemplo, un multipolo magnético se debe a una corriente oscilante con frecuencia angular y amplitud compleja. ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

y los campos eléctricos y magnéticos correspondientes, se pueden escribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss se cumple automáticamente.

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

Mientras que la ley de Faraday se desacopla como

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

La ley de Gauss para el campo magnético implica

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

y la ecuación de Ampère-Maxwell da

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

De esta manera, las ecuaciones diferenciales parciales se han transformado en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición alternativa

Parte angular de los armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes indican la dirección del campo. También se presentan funciones escalares generadoras, solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos, octupolos).

En muchas aplicaciones, los armónicos esféricos vectoriales se definen como el conjunto fundamental de las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas. ^{[6] [7]}

En este caso, los armónicos esféricos vectoriales son generados por funciones escalares, que son soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz con el vector de onda . aquí están los polinomios de Legendre asociados , y son cualquiera de las funciones esféricas de Bessel . ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$ ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Los armónicos esféricos vectoriales se definen como:

armónicos longitudinales

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

armónicos magnéticos

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

armónicos eléctricos

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

Aquí utilizamos la parte angular de valor real de armónicos, donde , pero las funciones complejas se pueden introducir de la misma manera. ${\displaystyle m\geq 0}$

Introduzcamos la notación . En la forma de componentes, los armónicos esféricos vectoriales se escriben como: ${\displaystyle \rho =kr}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$No existe una parte radial para los armónicos magnéticos. Para los armónicos eléctricos, la parte radial disminuye más rápido que la angular, y para los grandes puede despreciarse. También podemos ver que para los armónicos eléctricos y magnéticos las partes angulares son las mismas hasta la permutación de los vectores unitarios polar y azimutal, por lo que para los grandes armónicos eléctricos y magnéticos los vectores son iguales en valor y perpendiculares entre sí. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Armónicos longitudinales: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

Ortogonalidad

Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen a las siguientes relaciones de ortogonalidad: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}$$

Todas las demás integrales sobre los ángulos entre funciones diferentes o funciones con índices diferentes son iguales a cero.

Rotación e inversión

Ilustración de la transformación de armónicos esféricos vectoriales bajo rotaciones. Se puede ver que se transforman de la misma manera que las funciones escalares correspondientes.

Bajo rotación, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí de la misma manera que las funciones esféricas escalares correspondientes , que son generadoras para un tipo específico de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son los armónicos esféricos habituales , entonces los armónicos vectoriales también se transformarán a través de las matrices D de Wigner ^{[8] [9] [10]} El comportamiento bajo rotaciones es el mismo para los armónicos eléctricos, magnéticos y longitudinales. $${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$

Bajo inversión, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir , los magnéticos tienen paridad opuesta: $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

Dinámica de fluidos

En el cálculo de la ley de Stokes para la resistencia que ejerce un fluido viscoso sobre una pequeña partícula esférica, la distribución de velocidad obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes descuidando la inercia, es decir,

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

con las condiciones de contorno

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

donde U es la velocidad relativa de la partícula respecto del fluido que se encuentra lejos de ella. En coordenadas esféricas, esta velocidad en el infinito se puede escribir como

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

La última expresión sugiere una expansión en armónicos esféricos para la velocidad del líquido y la presión.

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

La sustitución en las ecuaciones de Navier-Stokes produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes.

Relaciones integrales

Aquí se utilizan las siguientes definiciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$En el caso de que en lugar de sean funciones de Bessel esféricas , con ayuda de la expansión de ondas planas se pueden obtener las siguientes relaciones integrales: ^[11] ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

En el caso de que sean funciones de Hankel esféricas, se deben utilizar fórmulas diferentes. ^{[12] [11]} Para los armónicos esféricos vectoriales se obtienen las siguientes relaciones: ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$donde , índice significa que se utilizan funciones de Hankel esféricas. ${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle (3)}$

Véase también

• Armónicos esféricos
• Armónicos esféricos de espinor
• Armónicos esféricos ponderados por espín
• Radiación electromagnética
• Base esférica

Referencias

1. Barrera, RG; Estevez, GA; Giraldo, J (1985-10-01). "Armónicos esféricos vectoriales y su aplicación a la magnetostática". Revista Europea de Física . 6 (4). IOP Publishing: 287–294. Bibcode :1985EJPh....6..287B. CiteSeerX  10.1.1.718.2001 . doi :10.1088/0143-0807/6/4/014. ISSN  0143-0807. S2CID  250894245.
2. Carrascal, B; Estevez, GA; Lee, Peilian; Lorenzo, V (1991-07-01). "Armónicos esféricos vectoriales y su aplicación a la electrodinámica clásica". Revista Europea de Física . 12 (4). IOP Publishing: 184–191. Bibcode :1991EJPh...12..184C. doi :10.1088/0143-0807/12/4/007. ISSN  0143-0807. S2CID  250886412.
3. Hill, EL (1954). "La teoría de los armónicos esféricos vectoriales" (PDF) . American Journal of Physics . 22 (4). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 211–214. Bibcode :1954AmJPh..22..211H. doi :10.1119/1.1933682. ISSN  0002-9505. S2CID  124182424. Archivado desde el original (PDF) el 2020-04-12.
4. Weinberg, Erick J. (15 de enero de 1994). "Armónicos esféricos de vector monopolar". Physical Review D . 49 (2). American Physical Society (APS): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 . Código Bibliográfico :1994PhRvD..49.1086W. doi :10.1103/physrevd.49.1086. ISSN  0556-2821. PMID  10017069. S2CID  6429605.
5. PM Morse y H. Feshbach, Métodos de física teórica, Parte II , Nueva York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)
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7. Stratton, JA (1941). Teoría electromagnética . Nueva York: McGraw-Hill.
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Enlaces externos

• Armónicos esféricos vectoriales en Mathworld de Eric Weisstein