Ecuación de Helmholtz

Problema de valor propio para el operador de Laplace

En matemáticas, la ecuación de Helmholtz es el problema de valor propio para el operador de Laplace . Corresponde a la ecuación diferencial parcial elíptica : donde ∇ ² es el operador de Laplace, k ² es el valor propio y f es la función (propia). Cuando la ecuación se aplica a ondas, k se conoce como el número de onda . La ecuación de Helmholtz tiene una variedad de aplicaciones en física y otras ciencias, incluidas la ecuación de onda , la ecuación de difusión y la ecuación de Schrödinger para una partícula libre. $${\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,}$$

En óptica , la ecuación de Helmholtz es la ecuación de onda del campo eléctrico . ^[1]

La ecuación recibe su nombre de Hermann von Helmholtz , quien la estudió en 1860. ^[2]

Motivación y usos

La ecuación de Helmholtz surge a menudo en el estudio de problemas físicos que involucran ecuaciones diferenciales parciales (EDP) tanto en el espacio como en el tiempo. La ecuación de Helmholtz, que representa una forma independiente del tiempo de la ecuación de onda , resulta de aplicar la técnica de separación de variables para reducir la complejidad del análisis.

Por ejemplo, considere la ecuación de onda $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$

La separación de variables comienza asumiendo que la función de onda u ( r , t ) es de hecho separable: $${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$$

Sustituyendo esta forma en la ecuación de onda y luego simplificando, obtenemos la siguiente ecuación: $${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Nótese que la expresión del lado izquierdo depende únicamente de r , mientras que la expresión del lado derecho depende únicamente de t . Como resultado, esta ecuación es válida en el caso general si y sólo si ambos lados de la ecuación son iguales al mismo valor constante. Este argumento es clave en la técnica de resolución de ecuaciones diferenciales parciales lineales por separación de variables. A partir de esta observación, obtenemos dos ecuaciones, una para A ( r ) , la otra para T ( t ): $${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}$$

donde hemos elegido, sin pérdida de generalidad, la expresión − k ² para el valor de la constante. (Es igualmente válido utilizar cualquier constante k como constante de separación; − k ² se elige sólo por conveniencia en las soluciones resultantes.)

Reordenando la primera ecuación, obtenemos la ecuación de Helmholtz (homogénea): $${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$$

De la misma manera, después de hacer la sustitución ω = kc , donde k es el número de onda , y ω es la frecuencia angular (asumiendo un campo monocromático), la segunda ecuación se convierte en

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}$$

Ahora tenemos la ecuación de Helmholtz para la variable espacial r y una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en el tiempo. La solución en el tiempo será una combinación lineal de funciones seno y coseno , cuya forma exacta está determinada por las condiciones iniciales, mientras que la forma de la solución en el espacio dependerá de las condiciones de contorno . Alternativamente, las transformadas integrales , como la transformada de Laplace o la transformada de Fourier , se utilizan a menudo para transformar una EDP hiperbólica en una forma de la ecuación de Helmholtz. ^[3]

Debido a su relación con la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz surge en problemas en áreas de la física como el estudio de la radiación electromagnética , la sismología y la acústica .

Solución de la ecuación de Helmholtz mediante separación de variables

La solución de la ecuación espacial de Helmholtz: se puede obtener para geometrías simples utilizando separación de variables . $${\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A}$$

Membrana vibratoria

El análogo bidimensional de la cuerda vibrante es la membrana vibrante, con los bordes fijados para que no se muevan. La ecuación de Helmholtz fue resuelta para muchas formas básicas en el siglo XIX: la membrana rectangular por Siméon Denis Poisson en 1829, el triángulo equilátero por Gabriel Lamé en 1852 y la membrana circular por Alfred Clebsch en 1862. El parche elíptico fue estudiado por Émile Mathieu , lo que dio lugar a la ecuación diferencial de Mathieu .

Si los bordes de una forma son segmentos de líneas rectas, entonces una solución es integrable o cognoscible en forma cerrada sólo si es expresable como una combinación lineal finita de ondas planas que satisfacen las condiciones de contorno (cero en el contorno, es decir, membrana sujeta).

Si el dominio es un círculo de radio a , entonces es apropiado introducir las coordenadas polares r y θ . La ecuación de Helmholtz toma la forma $${\displaystyle \ A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0~.}$$

Podemos imponer la condición de contorno de que A se desvanece si r = a ; así    $${\displaystyle \ A(a,\theta )=0~.}$$

El método de separación de variables conduce a soluciones de prueba de la forma donde Θ debe ser periódica de periodo   2 π  . Esto conduce a $${\displaystyle \ A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )\ ,}$$

$${\displaystyle \ \Theta ''+n^{2}\Theta =0\ ,}$$ $${\displaystyle \ r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0~.}$$

De la condición de periodicidad se deduce que y que   n   debe ser un entero. La componente radial  R  tiene la forma donde la función de Bessel J _n ( ρ )   satisface la ecuación de Bessel y z = kr . La función radial J _n tiene infinitas raíces para cada valor de   n   , denotado por ρ _{m , n} . La condición de contorno de que A se anule donde r = a se cumplirá si los números de onda correspondientes están dados por $${\displaystyle \ \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta \ ,}$$ $${\displaystyle \ R=\gamma \ J_{n}(\rho )\ ,}$$   $${\displaystyle \ z^{2}J_{n}''+zJ_{n}'+(z^{2}-n^{2})J_{n}=0\ ,}$$             $${\displaystyle \ k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}~.}$$

La solución general A toma entonces la forma de una serie de Fourier generalizada de términos que involucran productos de J _n ( k _m,n r )   y el seno (o coseno) de n θ . Estas soluciones son los modos de vibración de un parche circular .     

Soluciones tridimensionales

En coordenadas esféricas, la solución es:

$${\displaystyle \ A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{+\ell }{\bigl (}\ a_{\ell m}\ j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}\ y_{\ell }(kr)\ {\bigr )}\ Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )~.}$$

Esta solución surge de la solución espacial de la ecuación de onda y la ecuación de difusión . Aquí j _ℓ ( kr ) e y _ℓ ( kr ) son las funciones esféricas de Bessel , y Y ^metro
_​( θ , φ ) son los armónicos esféricos (Abramowitz y Stegun, 1964). Nótese que estas formas son soluciones generales y requieren que se especifiquen las condiciones de contorno para su uso en cualquier caso específico. Para dominios exteriores infinitos, también puede requerirse una condición de radiación (Sommerfeld, 1949).

Escribiendo r ₀ = ( x , y , z ) la función A ( r ₀ ) tiene asintóticas $${\displaystyle A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty }$$

donde la función f se llama amplitud de dispersión y u ₀ ( r ₀ ) es el valor de A en cada punto límite r ₀ .

Soluciones tridimensionales dada la función en un plano bidimensional

Dado un plano bidimensional donde se conoce A, la solución de la ecuación de Helmholtz viene dada por: ^[4] $${\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y')\ {\frac {~~e^{ikr}\ }{r}}\ {\frac {\ z\ }{r}}\left(\ i\ k-{\frac {1}{r}}\ \right)\ \operatorname {d} x'\ \operatorname {d} y'\ ,}$$

dónde

• ${\displaystyle \ A'(x',y')\ }$es la solución en el plano bidimensional,
• ${\displaystyle \ r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}\ }}\ ,}$

A medida que   z   se acerca a cero, todas las contribuciones de la integral se desvanecen, excepto r = 0. Por lo tanto , hasta un factor numérico, que se puede verificar que es 1 transformando la integral a coordenadas polares.  ${\displaystyle \ A(x,y,0)=A'(x,y)\ }$ ${\displaystyle \ \left(\rho ,\theta \right)~.}$

Esta solución es importante en la teoría de difracción, por ejemplo para derivar la difracción de Fresnel .

Aproximación paraxial

En la aproximación paraxial de la ecuación de Helmholtz, ^[5] la amplitud compleja A se expresa como donde u representa la amplitud de valor complejo que modula la onda plana sinusoidal representada por el factor exponencial. Luego, bajo una suposición adecuada, u resuelve aproximadamente donde es la parte transversal del laplaciano . $${\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}}$$ $${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}$$ ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

Esta ecuación tiene importantes aplicaciones en la ciencia de la óptica , donde proporciona soluciones que describen la propagación de ondas electromagnéticas (luz) en forma de ondas paraboloidales o haces gaussianos . La mayoría de los láseres emiten haces que adoptan esta forma.

El supuesto bajo el cual la aproximación paraxial es válida es que la derivada z de la función de amplitud u es una función de z que varía lentamente :

$${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}$$

Esta condición equivale a decir que el ángulo θ entre el vector de onda k y el eje óptico z es pequeño: θ ≪ 1 .

La forma paraxial de la ecuación de Helmholtz se obtiene sustituyendo la expresión indicada anteriormente para la amplitud compleja en la forma general de la ecuación de Helmholtz de la siguiente manera:

$${\displaystyle \nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.}$$

La expansión y cancelación produce lo siguiente:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.}$$

Debido a la desigualdad paraxial indicada anteriormente, el término ∂ ² u /∂ z ² se descuida en comparación con el término k ·∂ u /∂ z . Esto produce la ecuación paraxial de Helmholtz. Sustituyendo u ( r ) = A ( r ) e ^{− ikz} se obtiene la ecuación paraxial para la amplitud compleja original A :

$${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0.}$$

La integral de difracción de Fresnel es una solución exacta de la ecuación de Helmholtz paraxial. ^[6]

Ecuación de Helmholtz no homogénea

La ecuación de Helmholtz no homogénea es la ecuación donde ƒ  : R ⁿ → C es una función con soporte compacto , y n = 1, 2, 3. Esta ecuación es muy similar a la ecuación de Poisson apantallada , y sería idéntica si el signo más (delante del término k ) se cambiara a un signo menos. $${\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} )\ {\text{ in }}\mathbb {R} ^{n},}$$

Para resolver esta ecuación de forma única, es necesario especificar una condición límite en el infinito, que normalmente es la condición de radiación de Sommerfeld.

$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0}$$

En dimensiones espaciales, para todos los ángulos (es decir, cualquier valor de ). Aquí donde están las coordenadas del vector . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ,\phi }$ ${\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Con esta condición, la solución de la ecuación no homogénea de Helmholtz es

$${\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )\,\mathrm {d} \mathbf {x'} }$$

(nótese que esta integral es en realidad sobre una región finita, ya que f tiene soporte compacto). Aquí, G es la función de Green de esta ecuación, es decir, la solución a la ecuación no homogénea de Helmholtz con f igual a la función delta de Dirac , por lo que G satisface

$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

La expresión de la función de Green depende de la dimensión n del espacio. Se tiene para n = 1 , $${\displaystyle G(x,x')={\frac {ie^{ik|x-x'|}}{2k}}}$$

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}$$para n = 2 , donde H⁽¹⁾
₀es una función de Hankel , y para n = 3. Nótese que hemos elegido la condición de contorno de que la función de Green es una onda saliente para | x | → ∞ . $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}}$$

Finalmente, para n general,

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=c_{d}k^{p}{\frac {H_{p}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{p}}}}$$

donde y . ^[7] ${\displaystyle p={\frac {n-2}{2}}}$ ${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{2i(2\pi )^{p}}}}$

Véase también

• Ecuación de Laplace (un caso particular de la ecuación de Helmholtz)
• Expansión de Weyl

Notas

1. Blanca 2014.
2. Ecuación de Helmholtz, de la Enciclopedia de Matemáticas .
3. Noble 1958, págs. 27-29.
4. Mehrabkhani y Schneider 2017.
5. Goodman 1996, págs. 61–62.
6. Grella 1982.
7. Engquist y Zhao 2018.

Referencias

• Blanche, Pierre-Alexandre (2014). Guía de campo de la holografía . Bellingham, Washington, EE. UU.: SPIE-Sociedad Internacional de Ingeniería Óptica. ISBN 978-0-8194-9957-8.
• Engquist, Björn; Zhao, Hongkai (2018). "Separabilidad aproximada de la función de Green de la ecuación de Helmholtz en el límite de alta frecuencia". Communications on Pure and Applied Mathematics . 71 (11): 2220–2274. doi :10.1002/cpa.21755. ISSN  0010-3640.
• Goodman, Joseph W. (1996). Introducción a la óptica de Fourier . Nueva York: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-024254-8.
• Grella, R (1982). "Propagación y difracción de Fresnel y ecuación de onda paraxial". Revista de Óptica . 13 (6): 367–374. doi :10.1088/0150-536X/13/6/006. ISSN  0150-536X.
• Mehrabkhani, Soheil; Schneider, Thomas (2017). "¿La difracción de Rayleigh-Sommerfeld es siempre una referencia exacta para algoritmos de difracción de alta velocidad?". Optics Express . 25 (24): 30229-30240. arXiv : 1709.09727 . doi :10.1364/OE.25.030229. ISSN  1094-4087.
• Noble, Ben (1958). Métodos basados ​​en la técnica de Wiener-Hopf para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York, NY: Taylor & Francis US. ISBN 978-0-8284-0332-0.

Lectura adicional

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, eds. (1964). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2002). "Capítulo 19". Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Riley, KF (2002). "Capítulo 16". Métodos matemáticos para científicos e ingenieros . Sausalito, California: University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Saleh, Bahía EA; Teich, Malvin Carl (1991). "Capítulo 3". Fundamentos de Fotónica . Serie Wiley en Óptica Pura y Aplicada. Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 80-107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Capítulo 16". Ecuaciones diferenciales parciales en física . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0126546569.

• Howe, MS (1998). Acústica de interacciones fluido-estructural . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.

Enlaces externos

• Ecuación de Helmholtz en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Ecuación de Helmholtz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Membrana circular vibrante por Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project .
• Funciones de Green para las ecuaciones de onda, Helmholtz y Poisson en un dominio bidimensional sin límites