La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parcial parabólica . En física, describe el comportamiento macroscópico de muchas micropartículas en movimiento browniano , resultante de los movimientos aleatorios y las colisiones de las partículas (ver las leyes de difusión de Fick ). En matemáticas, está relacionada con los procesos de Markov , como los paseos aleatorios , y se aplica en muchos otros campos, como la ciencia de los materiales , la teoría de la información y la biofísica . La ecuación de difusión es un caso especial de la ecuación de convección-difusión cuando la velocidad volumétrica es cero. Es equivalente a la ecuación del calor en algunas circunstancias.
La ecuación generalmente se escribe así:
donde ϕ ( r , t ) es la densidad del material que se difunde en la ubicación r y el tiempo t y D ( ϕ , r ) es el coeficiente de difusión colectivo para la densidad ϕ en la ubicación r ; y ∇ representa el operador diferencial vectorial del . Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, entonces la ecuación es no lineal; de lo contrario, es lineal.
La ecuación anterior se aplica cuando el coeficiente de difusión es isótropo ; en el caso de la difusión anisotrópica, D es una matriz definida positiva simétrica y la ecuación se escribe (para difusión tridimensional) como:
La ecuación de difusión tiene numerosas soluciones analíticas. [1]
Si D es constante, entonces la ecuación se reduce a la siguiente ecuación diferencial lineal :
que es idéntica a la ecuación del calor .
La ecuación de difusión de partículas fue derivada originalmente por Adolf Fick en 1855. [2]
La ecuación de difusión se puede derivar de manera trivial a partir de la ecuación de continuidad , que establece que un cambio en la densidad en cualquier parte del sistema se debe a la entrada y salida de material dentro y fuera de esa parte del sistema. Efectivamente, no se crea ni se destruye ningún material: donde j es el flujo del material que se difunde. La ecuación de difusión se puede obtener fácilmente a partir de esto cuando se combina con la primera ley de Fick fenomenológica , que establece que el flujo del material que se difunde en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente de densidad local:
Si hay que tener en cuenta la deriva, la ecuación de Fokker-Planck proporciona una generalización apropiada.
La ecuación de difusión es continua tanto en el espacio como en el tiempo. Se puede discretizar el espacio, el tiempo o ambos, lo que surge en la aplicación. Discretizar el tiempo solo corresponde a tomar porciones de tiempo del sistema continuo, y no surgen nuevos fenómenos. Al discretizar solo el espacio, la función de Green se convierte en el núcleo gaussiano discreto , en lugar del núcleo gaussiano continuo . Al discretizar tanto el tiempo como el espacio, se obtiene el paseo aleatorio .
La regla del producto se utiliza para reescribir la ecuación de difusión del tensor anisotrópico, en esquemas de discretización estándar, porque la discretización directa de la ecuación de difusión con solo diferencias centrales espaciales de primer orden conduce a artefactos de tablero de ajedrez. La ecuación de difusión reescrita utilizada en el filtrado de imágenes: donde "tr" denota la traza del tensor de segundo rango , y el superíndice "T" denota transposición , en la que en el filtrado de imágenes D ( ϕ , r ) son matrices simétricas construidas a partir de los vectores propios de los tensores de estructura de imagen . Las derivadas espaciales pueden entonces aproximarse mediante dos diferencias finitas centrales de primer orden y una de segundo orden . El algoritmo de difusión resultante puede escribirse como una convolución de imagen con un núcleo variable (plantilla) de tamaño 3 × 3 en 2D y 3 × 3 × 3 en 3D.
![{\displaystyle {\frac {\phi parcial (\mathbf {r}, t)}{\t parcial}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi,\mathbf {r})\ \nabla \phi (\mathbf {r}, t){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a15942a9ac71f7c08edb85cb28c88d3d3cfdf)
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a834bc395bf7a4cbc476fc91c39c7b89c49092f)
![{\displaystyle {\frac {\phi parcial (\mathbf {r}, t)}{\t parcial}}=\nabla \cdot \left[D(\phi,\mathbf {r})\right]\nabla \phi (\mathbf {r}, t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi,\mathbf {r}){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r}, t){\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d7a01952a98ef98842a774946434e851c2b176)