Ecuación de Poisson filtrada

En física , la ecuación de Poisson apantallada es una ecuación de Poisson que surge (por ejemplo) en la ecuación de Klein-Gordon , el apantallamiento del campo eléctrico en plasmas y la fluidez granular no local ^[1] en el flujo granular .

Enunciado de la ecuación

La ecuación es $${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$$

donde es el operador de Laplace , λ es una constante que expresa el "cribado", f es una función arbitraria de la posición (conocida como "función fuente") y u es la función a determinar. ${\displaystyle \Delta }$

En el caso homogéneo ( f = 0), la ecuación de Poisson apantallada es la misma que la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo . En el caso no homogéneo, la ecuación de Poisson apantallada es muy similar a la ecuación no homogénea de Helmholtz , la única diferencia es el signo dentro de los corchetes.

Electrostática

En el apantallamiento del campo eléctrico , la ecuación de Poisson apantallada para el potencial eléctrico se escribe generalmente como (unidades SI) ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},}$$

donde es la longitud de apantallamiento, es la densidad de carga producida por un campo externo en ausencia de apantallamiento y es la permitividad del vacío . Esta ecuación se puede derivar en varios modelos de apantallamiento como el apantallamiento de Thomas-Fermi en física del estado sólido y el apantallamiento de Debye en plasmas . ${\displaystyle k_{0}^{-1}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

Soluciones

Tres dimensiones

Sin pérdida de generalidad, tomaremos λ como no negativo. Cuando λ es cero , la ecuación se reduce a la ecuación de Poisson . Por lo tanto, cuando λ es muy pequeño, la solución se aproxima a la de la ecuación de Poisson sin filtrar, que, en dimensión , es una superposición de funciones 1/ r ponderadas por la función fuente f : ${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Por otra parte, cuando λ es extremadamente grande, u se acerca al valor f / λ ² , que tiende a cero cuando λ tiende a infinito. Como veremos, la solución para valores intermedios de λ se comporta como una superposición de funciones 1/ r apantalladas (o amortiguadas) , donde λ se comporta como la fuerza del apantallamiento.

La ecuación de Poisson apantallada se puede resolver para f general utilizando el método de las funciones de Green . La función de Green G se define por

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$$donde δ ³ es una función delta con masa unitaria concentrada en el origen de R ³ .

Suponiendo que u y sus derivadas se desvanecen en r grande , podemos realizar una transformada de Fourier continua en coordenadas espaciales:

$${\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

donde la integral se toma sobre todo el espacio. Entonces es sencillo demostrar que

$${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}$$

La función de Green en r viene dada por la transformada de Fourier inversa,

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Esta integral puede evaluarse utilizando coordenadas esféricas en el espacio k . La integración sobre las coordenadas angulares es sencilla y la integral se reduce a uno sobre el número de onda radial : ${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Esto se puede evaluar mediante la integración de contornos . El resultado es:

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$$

La solución del problema completo viene entonces dada por

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$$

Como se indicó anteriormente, se trata de una superposición de funciones 1/ r apantalladas , ponderadas por la función fuente f y con λ actuando como la fuerza del apantallamiento. La función 1/ r apantallada se encuentra a menudo en física como un potencial de Coulomb apantallado, también llamado " potencial de Yukawa ".

Dos dimensiones

En dos dimensiones: En el caso de un plasma magnetizado, la ecuación de Poisson apantallada es cuasi-2D: con y , con el campo magnético y es el radio de Larmor (ion) . La transformada de Fourier bidimensional de la función de Green asociada es: La ecuación de Poisson apantallada en 2D da: La función de Green viene dada por la transformada de Fourier inversa : Esta integral se puede calcular utilizando coordenadas polares en el espacio k : La integración sobre la coordenada angular da una función de Bessel , y la integral se reduce a uno sobre el número de onda radial : $${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$$ ${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$ ${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$$ $${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1.}$$ $${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$$ ${\displaystyle k_{r}}$ $${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$$

Conexión a la distribución de Laplace

Las funciones de Green tanto en 2D como en 3D son idénticas a la función de densidad de probabilidad de la distribución de Laplace multivariada para dos y tres dimensiones respectivamente.

Aplicación en geometría diferencial

El caso homogéneo, estudiado en el contexto de la geometría diferencial, que involucra variedades de productos deformados de Einstein, explora casos donde la función deformada satisface la versión homogénea de la ecuación de Poisson apantallada. Bajo condiciones específicas, el tamaño de la variedad, la curvatura de Ricci y el parámetro de apantallamiento están interconectados a través de una relación cuadrática ^[2] .

Véase también

• Interacción con Yukawa

Referencias

1. Kamrin, Ken; Koval, Georg (26 de abril de 2012). "Relación constitutiva no local para flujo granular estacionario" (PDF) . Physical Review Letters . 108 (17): 178301. Bibcode :2012PhRvL.108q8301K. doi :10.1103/PhysRevLett.108.178301. hdl : 1721.1/71598 . PMID  22680912.
2. Pigazzini, Alexander; Lussardi, Luca; Toda, Magdalena; DeBenedictis, Andrew (29 de julio de 2024). "Variedades de productos deformados de Einstein y la ecuación de Poisson apantallada". Aceptado para su publicación en la serie de Matemáticas Contemporáneas de la Sociedad Matemática Estadounidense (AMS) - Libro titulado: "Avances recientes en geometría diferencial y áreas relacionadas" (que aparecerá en 2025) .