Distribución de Laplace multivariante

En la teoría matemática de la probabilidad, las distribuciones de Laplace multivariadas son extensiones de la distribución de Laplace y de la distribución de Laplace asimétrica a múltiples variables. Las distribuciones marginales de las variables de la distribución de Laplace multivariada simétrica son distribuciones de Laplace. Las distribuciones marginales de las variables de la distribución de Laplace multivariada asimétrica son distribuciones de Laplace asimétricas. ^[1]

Distribución de Laplace multivariante simétrica

Una caracterización típica de la distribución de Laplace multivariada simétrica tiene la función característica :

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},}$

donde es el vector de medias para cada variable y es la matriz de covarianza . ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

A diferencia de la distribución normal multivariada , incluso si la matriz de covarianza tiene covarianza y correlación cero , las variables no son independientes. ^[1] La distribución de Laplace multivariada simétrica es elíptica . ^[1]

Función de densidad de probabilidad

Si , la función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada de dimensión k se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$

dónde:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

En el caso bivariado correlacionado, es decir, k  = 2, la función de densidad de probabilidad se reduce a: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}K_{0}\left({\sqrt {\frac {2\left({\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {2\rho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)}{1-\rho ^{2}}}}\right),}$

dónde:

${\displaystyle \sigma _{1}}$y son las desviaciones estándar de y , respectivamente, y es el coeficiente de correlación de y . ^[1] ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Para el caso de Laplace bivariado no correlacionado, es decir k  = 2, y , la función de densidad de probabilidad se convierte en: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\rho =0}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi }}K_{0}\left({\sqrt {2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}\right).}$^[1]

Distribución de Laplace multivariante asimétrica

Una caracterización típica de la distribución de Laplace multivariada asimétrica tiene la función característica :

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.}$^[1]

Al igual que con la distribución de Laplace multivariada simétrica, la distribución de Laplace multivariada asimétrica tiene media , pero la covarianza se convierte en . ^[3] La distribución de Laplace multivariada asimétrica no es elíptica a menos que , en cuyo caso la distribución se reduce a la distribución de Laplace multivariada simétrica con . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

La función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada asimétrica k -dimensional es:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{v/2}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )},}$

dónde:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . ^[1] ${\displaystyle K_{v}}$

La distribución asimétrica de Laplace, incluido el caso especial de , es un ejemplo de una distribución geométrica estable . ^[3] Representa la distribución límite para una suma de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con varianza y covarianza finitas donde el número de elementos a sumar es en sí mismo una variable aleatoria independiente distribuida de acuerdo con una distribución geométrica . ^[1] Tales sumas geométricas pueden surgir en aplicaciones prácticas dentro de la biología, la economía y los seguros. ^{[1] La distribución también puede ser aplicable en situaciones más amplias para modelar datos multivariados con colas más pesadas que una distribución normal pero} momentos finitos . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

La relación entre la distribución exponencial y la distribución de Laplace permite un método simple para simular variables de Laplace asimétricas bivariadas (incluido el caso de ). Simule un vector de variable aleatoria normal bivariada a partir de una distribución con y matriz de covarianza . Simule de forma independiente una variable aleatoria exponencial a partir de una distribución Exp(1). será una distribución Laplace bivariada (asimétrica) con media y matriz de covarianza . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\sqrt {W}}\mathbf {Y} +W{\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Referencias

1. Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof (2001). La distribución de Laplace y las generalizaciones . Birkhauser. págs. 229–245. ISBN 0817641661.
2. Fragiadakis, Konstantinos y Meintanis, Simos G. (marzo de 2011). "Pruebas de bondad de ajuste para distribuciones de Laplace multivariadas". Modelado matemático y computacional . 53 (5–6): 769–779. doi : 10.1016/j.mcm.2010.10.014 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). "Distribuciones de Laplace generalizadas multivariadas y campos aleatorios relacionados". Revista de análisis multivariado . 113 . Universidad de Gotemburgo: 59–72. doi : 10.1016/j.jmva.2012.02.010 . S2CID  206252976.